== グラフの概形と漸近線(一覧) ==
【このページの使い方】
• このページの問題を全部解く必要はありません.問題数も多く,時間がかかります.
• 「問題の式の形」⇔「グラフの形」の対応関係を一覧で確かめるために使うとよいでしょう.
• 漸近線の練習が全然できていない生徒の場合は,(1.x)のような大区分の問題を各2題ずつ解けば,基本練習になります.
• このページでは,グラフの概形と漸近線を扱う.
• はじめに,漸近線の計算によく登場する「重要な極限値」を確認しておく
【重要な極限値】
任意の正の定数nに対して,次の極限が成り立つ
…(T)
特に,n=1のとき…(T.1)
分母と分子を入れ替えると,次の極限が成り立つ
…(T.2)
特に,n=1のとき…(T.3)
任意の正の定数nに対して,次の極限が成り立つ
…(U)
特に,n=1のとき…(U.1)
分母と分子を入れ替えると,次の極限が成り立つ
…(U.2)
特に,n=1のとき…(U.3)
任意の正の定数nに対して,次の極限が成り立つ
…(V)
分母と分子を入れ替えると,次の極限が成り立つ
…(V.2)
また,x→+0のとき,次の極限が成り立つ
…(W)
特に,n=1のとき…(W.1)
(証明)
高校数学の教科書には,必ずしも書かれていないが「コーシーの平均値の定理」から導かれる「ロピタルの定理」を使って行うのが楽
(大学入試の記述式答案でも「ロピタルの定理」によりと書けば,答案として成り立つはず)
【ロピタルの定理】
@) x→aのとき,f(x)→0, g(x)→0, (g(x)≠0)のとき

A) ロピタルの定理は,x→∞のときも成り立つ

(T.1)←
ロピタルの定理A)を用いる
x→∞のとき,で,分母も分子も微分可能だから
∎∥
(T)←

同様にして,分母がn次式のときは,n回微分すると,分母が定数になる
∎∥
これらの分母分子を入れ替えると(T.2)(T.3)が示される
(U.1)←
ロピタルの定理A)を用いる
x→∞のとき,で,分母も分子も微分可能だから
∎∥
(別の証明)
(T.1)の結果を用いる.とおくと
∎∥
(U)←

同様にして
∎∥
(V)←
(T)において,とおくと

だから
∎∥
(W)←
x→+0のとき,とおくと

(T.2)により
∎∥
(W.2)←
(W)において,n=1のとき,
∎∥

〜指数関数のグラフと漸近線〜
(1.1) 





x→∞のときの極限は,不定形でも何でもなく,∞×∞で発散する.
x→−∞のときの極限を求めるとき,(T.3)の公式を使う.

これにより

x0←・・・−2・・・−1・・・→∞
y'0+
y"0+++
y0←→∞
極大値:なし, 極小値:有り
変曲点:有り
横向き漸近線:有り---
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし
グラフは,図のようになる
(1.2) 

x→−∞のときの極限は,不定形でも何でもなく,(−∞)×∞で発散します.
x→∞のときの極限を求めるとき,(T.3)の公式を使う.

これにより

x−∞←・・・1・・・2・・・→∞
y'+0
y"0+
y−∞←→0
極大値:有り, 極小値:なし
変曲点:有り
横向き漸近線:有り---
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし
グラフは,図のようになる

(1.3) 

x→−∞のときの極限は,不定形でも何でもなく,∞×∞で発散します.
x→∞のときの極限を求めるとき,(T)の公式を使う.

x−∞←02→∞
y’0+++0
y”+++00+
y∞←00.360.540.38→0
極大値:有り, 極小値:有り(0, 0)
変曲点:有り
横向き漸近線:有り---
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし
グラフは,図のようになる
(1.4) 

漸近線の方程式は,左右ともy=0
x−∞←0→∞
y’+++0
y”+00+
y0←1→0
• 図のようにy軸に関して対称なグラフになる
• 統計の分野で重要な正規分布曲線の形になる
極大値:有り(0, 1), 極小値:なし
変曲点:有り
横向き漸近線:有り---
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

(1.5) 

• 定義域はx≠0
グラフは,右図のようになる
⇒ 漸近線 y=1
⇒ 漸近線 y=1
⇒ 白点は,定義されない
⇒ 漸近線 x=0
x−∞←・・・・・・0・・・→∞
y'×
y"0+×+
y1←
0
→1
極大値:なし, 極小値:なし
変曲点:有り
横向き漸近線:有り---
縦向き漸近線:有りx=0, 斜め漸近線:なし
〜対数関数〜
(2.1) 

• 定義域はx>0
x→∞のときのロピタルの定理を利用する
⇒ 漸近線 y=0
とおいて,指数関数の極限に直す

⇒ 漸近線 x=0
x0←・・・e・・・・・・→∞
y'+0
y"0+
y−∞←→0
極大値:有り, 変曲点:有り, 横向き漸近線:有り---
極小値:なし, 縦向き漸近線:あり・・・, 斜め漸近線:なし

(2.2) 

• 定義域はx>0, x≠1
x→∞のとき,漸近線があるとした場合の傾きmを求める

次に,x→∞のとき,漸近線があるとした場合の切片kを求める
x→∞のときのロピタルの定理を利用する

 以上により,x→∞のときの漸近線はない
※傾きが0に収束するが,切片が∞に発散し,結局,漸近線がないという例は,他にもある.


定義域は,x>0であるが,x→+0のときの極限値を求める
とおいて,指数関数の極限に直す

x→+0のときの漸近線なし
x→1のとき,(分母)→0となるので,漸近線を調べる

x→1t→0とおいて,指数関数の極限に直す


 以上により,x→1のとき,漸近線はx=1
x+0←・・・1・・・e・・・→∞
y'×0+
y0←±∞e→∞
極大値:なし, (変曲点:有り), 横向き漸近線:なし
極小値:有り, 縦向き漸近線:あり・・・, 斜め漸近線:なし
(2.3) 

• 定義域はx>0



x→∞のときの極限は,不定形でも何でもなく,∞×∞で発散する.
x→+0のときの極限を求めるとき,(W.1)の公式を使う.

x0←・・・・・・→∞
y'0+
y"+++
y0←→∞
極大値:なし, 極小値:有り
変曲点:なし
横向き漸近線:なし
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし
グラフは,図のようになる

(2.4) 

• 定義域はx>0




x→∞のときの極限は,不定形でも何でもなく,∞×∞で発散する.
x→+0のときの極限を求める
x→+0のとき,とおくと


x+0←・・・・・・・・・→∞
y'0+
y''0+++
y0←→∞
極大値:なし, 極小値:有り
変曲点:有り
横向き漸近線:なし
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし
グラフは,図のようになる
(2.5) 

• 定義域はx>0




x→∞のときの極限は,不定形でも何でもなく,∞×∞で発散する.

x+0←・・・1・・・e・・・→∞
y'0+++
y''+++0
y∞←01→∞
極大値:なし, 極小値:有り
変曲点:有り
横向き漸近線:なし
縦向き漸近線:有り x=0, 斜め漸近線:なし
グラフは,図のようになる

(2.6) 

「底がeでないとき」や,「指数がxでないとき」には,対数微分法(絶対値の対数をとる)が有効(この問題では,x>0だから,絶対値はなくてもよい)




x→∞のときの漸近線があれば求める
ロピタルの定理(U.3)により

だから
y→1 漸近線の方程式はy=1
x→+0のときのグラフを調べる

だから
y→+0
(別の証明)
x+0←・・・e・・・→∞
y'+0
y+0←→1
極大値:有り, 極小値:なし
変曲点:有りx≒0.47865…, 31.3384…
横向き漸近線:有り (y=1)
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし
(2.7) 

「底がeでないとき」や,「指数がxでないとき」には,対数微分法(絶対値の対数をとる)が有効(この問題では,x>0だから,絶対値はなくてもよい)





となって,このような方程式は容易には解けないが「たまたま」x=1が解になっている.
変曲点は(1, 1)
x→∞のときの漸近線があれば求める

だから
y→+0 漸近線の方程式はy=0
x→+0のときのグラフを調べる

ロピタルの定理(W.1)により

だから
y→1
極大値:有り, 極小値:なし
変曲点:有り(1, 1)
横向き漸近線:有り (y=0)
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

(2.8) 

対数微分法を使えば,導関数は求められる.(この問題では,x>0, y>0だから,絶対値は付けなくてもよい)



y'=0となるxの値を代数的に解いて,極値を求めることは難しい.
しかし,x→∞のとき,漸近線がないことは,次のようにして示せる.
1) のとき,だから,になる.(図の桃色の点)
2) のとき,だから,になる.(図の水色の点)
x→∞のとき,1)2)が交互に現れ,どこまで行っても接近しない.(+∞と+0の間の振動となり,収束しない)
※極値や変曲点も計算できないのに「なぜ,グラフが描けるのか?」と疑問をもつ読者がいるかもしれません.
これに対する答えは「あなたの見ているのは,コンピュータの画面ですから,点を細かくつなげばグラフが描ける.」・・・代数的にではなく,数値的に点を結んで行くプログラムが組んである.・・・画面上で1000個の点を折れ線としてつないである.・・・細かいのでそれが曲線に見えるということです.
x→+0のとき,y→1, y'→∞です.
極大値:有り, 極小値:有り
変曲点:有り
漸近線:なし
(2.9) 

対数微分法を使えば,導関数は求められる.(この問題では,x>0, y>0だから,絶対値は付けなくてもよい)





第2階導関数を計算して,変曲点を求める


x→∞のとき

だからy→0(漸近線の方程式はy=0
x→+0のとき

だからy→0
x+0←1→∞
y’+++0
y”+00+
y0←1→0
極大値:有り(1, 1), 極小値:なし
変曲点:有り

横向き漸近線:有り (y=0)
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

〜無理関数〜
(3.1) 

• 定義域は−∞<x<∞

y'の符号は,常に正


x→−∞のとき,漸近線はy=0
x→∞のとき(y=mx+kの形の漸近線を求める)



x→∞のとき,漸近線はy=2x
x+0←・・・→∞
y'+
y0←→∞
極大値:なし, 極小値:なし
変曲点:なし
横向き漸近線:有り y=0
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:有り y=2x
(3.2) 

• 定義域は−∞<x<∞

x→∞のとき,漸近線はy=1

=−1
x→−∞のとき,漸近線はy=−1


y'の符号は,常に正

x−∞←・・・0・・・→∞
y'+++
y"+0
y−1←0→1
極大値:なし, 極小値:なし
変曲点:有り (0, 0)
横向き漸近線:有り y=1, −1
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

(3.3) 

• 定義域はx≠0

x→∞のとき,漸近線はy=1

=−1
x→−∞のとき,漸近線はy=−1

x→+0のとき,(分母)→0 (>0),(分子)→1だから
(分数)→+∞,漸近線はx=0

x→−0のとき,(分母)→0 (<0),(分子)→1だから
(分数)→−∞,漸近線はx=0

y'の符号は,常に負

x−∞←・・・0・・・→∞
y'×
y”×+
y−1←±∞→1
極大値:なし, 極小値:なし
変曲点:なし(…この問題では,第2次導関数や変曲点を求める必要はない)
横向き漸近線:有り y=1, −1
縦向き漸近線:有り x=0, 斜め漸近線:なし
(3.4) 

• 定義域は−1≦x≦1



x−1・・・・・・1
y'×+0×
y−11
極大値:有り
極小値:あり (−1, −1), (1, 1)
x=aの近傍で,x≠aならばf(x)≧f(a)が成り立つとき,x=aで極小と言い,f(a)を極小値という.
• このように,極値の定義にとっては,微分可能であることや,f’(x)=0であることは,必要ではない.
• 上記のように定義すると,両端を含む閉区間で定義される関数について,端の点が極値になることがある.
変曲点:なし(…この問題では,第2次導関数や変曲点を求める必要はない)
横向き漸近線:なし
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

(3.5) 

• 定義域は−1≦x≦1




ここで,つねにだから

x−101
y’×0+++0×
y”×+++0×
y000
極大値:有り
極小値:有り
変曲点:有り(0, 0)
横向き漸近線:なし
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし
(3.6) 

• 定義域はx≦−1, 1≦x


x≧1(>0)のとき,だからy’>0
x≦−1(<0)のとき,x=−t, t>0とおくと

ここで,だからy’<0
x→∞のとき(y=mx+kの形の漸近線を求める)

=2


x→∞のとき,漸近線の方程式はy=2x
x→−∞のとき,漸近線を求める


x→−∞のとき,漸近線の方程式はy=0
x−∞←・・・−1・・・1・・・→∞
y'×××+
y0←−1×1→∞
極大値:なし,極小値:"有り" (−1, −1), (1, 1)
変曲点:なし
横向き漸近線:有り (y=0)
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:有り (y=2x)

(3.7) 
奇数乗根の関数は,奇妙なことが起こるので,要注意!

• 定義域はx≠−1



y’=0 ⇔ x=2

x=0のときは,y’≠0(±∞)であるが符号が変わる


x−∞←−102→∞
y’××+0
y0←×0→0
極大値:有り
極小値:有り(0, 0)
変曲点:有り
漸近線を求めるためだけなら,変曲点は必ずしも必要ないが,となるので,
≒0.12, 4.12に変曲点がある
横向き漸近線:有りy=0
縦向き漸近線:有りx=−1, 斜め漸近線:なし
(3.8) 
奇数乗根の関数は,奇妙なことが起こるので,要注意!

• 積や商の多い関数を微分するには(絶対値付き)「対数微分法」を使うとよい



(符号は常に正になる)
2階の対数微分法は,めずらしいので確かめておく
の微分 ⇒




y”は,x=1, 2, 5/3で符号が変わる
x→∞のとき,

漸近線の方程式はy=1
x→−∞のとき,


漸近線の方程式はy=1
x→1+ε (0<ε<1)のとき,

x→1−ε (0<ε<1)のとき,

=∞
漸近線の方程式はx=1
x−∞←12→∞
y’+×+++×+
y”+×0+×
y1←±∞0→1

(3.9) 

※3乗根,5乗根,・・・奇数乗根のグラフでは,奇妙なことが起こる

多くの因数の積・商になっている関数を微分するには,対数微分法(絶対値の対数をとる)が有効





,y’の符号が変わる⇔
2階導関数を求めるための対数微分法
xで微分したらになる
(証明)






ここで,だから,つねに正
y”=0x=1
x−∞←12→∞
y’+×+0×+
y”+×××
y−∞←00→∞
x→∞のときの漸近線をy=mx+kの形で求める



※傾きは0に近づくが,y切片が限りなく大きくなるので,漸近線は存在しない
x→−∞のときの漸近線も,同様にして存在しない
極大値:有り
極小値:有り(2, 0)
変曲点:有り(1, 0)
横向き漸近線:なし,縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし
(3.10) 

※3乗根,5乗根,・・・奇数乗根のグラフでは,奇妙なことが起こる

対数微分法を用いて,次の結果が得られる


この問題の,漸近線を求める作業は,計算量が多く大変です.y=mx+kmはすぐわかりますが,kが激辛です.(問題を作った本人が,なかなか解けなくて困った.)



ここで,等比数列の和の公式を思い出す
だから


とおくと

は,いずれも最高次の次数が4で,4次の係数は1になるから,の4次の係数は5

したがって,漸近線の方程式は,
x→−∞のときも,同様
x−∞←12→∞
y’+×0+×+
y”+×+++×
y−∞←00→∞

(4.1) 
−5≦x≦5の場合

x=0付近で,密集している

−0.5≦x≦0.5の場合
−0.05≦x≦0.05の場合

• 定義域はx≠0
x→∞のとき,

漸近線の方程式はy=0
x→−∞のとき,

漸近線の方程式はy=0
(4.2) 


x=0付近で,密集している

• 定義域はx≠0
かつ|x|→0だから


また

したがって,漸近線の方程式はy=1

(4.3) 

筆者にとって,この結果は,意外です.
赤線と青線の間にあることは必要条件としてすぐ分かるが,これらは漸近線ではなく,緑線が漸近線になる

• 定義域はx≠0
かつ|x2|→0だから

漸近線の方程式をy=mx+kの形で求める




ここで「ロピタルの定理」を2回続けて用いる

したがって,漸近線の方程式はy=x
同様にして,x→−∞のときの漸近線の方程式もy=xとなる
(4.4) 

求める曲線は赤の破線青の破線に接するが,これらは漸近線ではない

• 漸近線はない

(4.5) 

定義域は,x≠0
ただし

求める曲線は赤の破線青の破線に接する

x→∞のときの漸近線

だから

x→−∞のときも同様
漸近線の方程式は,y=0
(4.6) 

定義域は,

x→nπのときの漸近線

だから
漸近線の方程式は,x=nπ

だから
求める曲線は緑の破線に接し,y=|x|よりも大きい側と小さい側にある

(4.7) 

x→∞のときの漸近線

だから
漸近線の方程式は,y=0

だから
求める曲線は赤の破線青の破線の間および線上にある
(4.8) 

高周期関数は,低周期関数を振幅として(下端および上端として),その間を往復する.
漸近線はない.
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