グラフの概形と漸近線（一覧）

== グラフの概形と漸近線（一覧） ==

【このページの使い方】
• このページの問題を全部解く必要はありません．問題数も多く，時間がかかります．
• 「問題の式の形」⇔「グラフの形」の対応関係を一覧で確かめるために使うとよいでしょう．
• 漸近線の練習が全然できていない生徒の場合は，(1.x)のような大区分の問題を各2題ずつ解けば，基本練習になります．

• このページでは，グラフの概形と漸近線を扱う．
• はじめに，漸近線の計算によく登場する「重要な極限値」を確認しておく

【重要な極限値】
任意の正の定数nに対して，次の極限が成り立つ

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{x^n}=\infty$ …(Ⅰ)

特に，n=1のとき $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{x}=\infty$ …(Ⅰ.1)

分母と分子を入れ替えると，次の極限が成り立つ
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^n}{e^x}=0$ …(Ⅰ.2)

特に，n=1のとき $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^x}=0$ …(Ⅰ.3)

任意の正の定数nに対して，次の極限が成り立つ

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^n}{\log x}=\infty$ …(Ⅱ)

特に，n=1のとき $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\log x}=\infty$ …(Ⅱ.1)

分母と分子を入れ替えると，次の極限が成り立つ
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x^n}=0$ …(Ⅱ.2)
特に，n=1のとき $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x}=0$ …(Ⅱ.3)

任意の正の定数nに対して，次の極限が成り立つ

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{(\log x)^n}=\infty$ …(Ⅲ)

分母と分子を入れ替えると，次の極限が成り立つ
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(\log x)^n}{x}=0$ …(Ⅲ.2)

また，x→+0のとき，次の極限が成り立つ

$\lim_{x\rightarrow+ 0}x(\log x)^n=0$ …(Ⅳ)

特に，n=1のとき $\lim_{x\rightarrow+ 0}x\log x=0$ …(Ⅳ.1)

（証明）
高校数学の教科書には，必ずしも書かれていないが「コーシーの平均値の定理」から導かれる「ロピタルの定理」を使って行うのが楽
（大学入試の記述式答案でも「ロピタルの定理」によりと書けば，答案として成り立つはず）

【ロピタルの定理】
ⅰ)　x→aのとき，f(x)→0, g(x)→0, (g(x)≠0)ならば
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\apos(x)}{g\apos(x)}$
ⅱ)　ロピタルの定理は，x→∞またはx→−∞のときも成り立つ
すなわち，
① x→∞(−∞)のとき，f(x)→0, g(x)→0, (g(x)≠0)ならば
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f\apos(x)}{g\apos(x)}$
② ロピタルの定理は，x→∞(−∞)のとき，f(x)→∞, g(x)→∞のときも成り立つ

(Ⅰ.1)←
ロピタルの定理ⅱ)②を用いる
x→∞のとき， $\lim_{x\rightarrow\infty}e^x=\infty,\hspace{5}\lim_{x\rightarrow\infty}x=\infty$ で，分母も分子も微分可能だから
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{1}=\infty$ ∎∥

(Ⅰ)←
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{2}=\infty$
同様にして，分母がｎ次式のときは，ｎ回微分すると，分母が定数になる
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{x^n}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{nx^{n-1}}=\cdots=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{n!}=\infty$ ∎∥
これらの分母分子を入れ替えると(Ⅰ.2)(Ⅰ.3)が示される

(Ⅱ.1)←
ロピタルの定理ⅱ)②を用いる
x→∞のとき， $\lim_{x\rightarrow\infty}\log x=\infty,\hspace{5}\lim_{x\rightarrow\infty}x=\infty$ で，分母も分子も微分可能だから
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\log x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}x=\infty$ ∎∥

（別の証明）
(Ⅰ.1)の結果を用いる． $x=e^t$ とおくと
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\log x}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{e^t}{t}=\infty$ ∎∥

(Ⅱ)←
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{\log x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}2x^2=\infty$
同様にして
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^n}{\log x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{nx^{n-1}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}nx^n=\infty$ ∎∥

(Ⅲ)←
(Ⅰ)において， $x=\log t\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}t=e^x$ とおくと
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{x^n}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{t}{(\log t)^n}=\infty$
だから
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{(\log x)^n}=\infty$ ∎∥

(Ⅳ)←
x→+0のとき， $x=e^{-t}\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}-t=\log x$ とおくと
$\lim_{x\rightarrow+ 0}x(\log x)^n=\lim_{t\rightarrow\infty}\{e^{-t}\times(-t)^n\}$
(Ⅰ.2)により
$=\lim_{t\rightarrow\infty}\{\frac{(-t)^n}{e^t}\}=0$ ∎∥

(Ⅳ.2)←
(Ⅳ)において，n=1のとき，
$\lim_{x\rightarrow+ 0}x\log x=0$ ∎∥

♪～指数関数のグラフと漸近線～♠

(1.1)　 $y=xe^{x}$

• $y\apos=e^x+ xe^x=(x+ 1)e^x$
$y\apos=0\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}x=-1$
• $y\apos\apos=(x+ 1)e^x+ e^x=(x+ 2)e^x$
$y\apos\apos=0\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}x=-2$

• x→∞のときの極限は，不定形でも何でもなく，∞×∞で発散する．
• x→−∞のときの極限を求めるとき，(Ⅰ.3)の公式を使う．
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^x}=0$
これにより
$\lim_{x\rightarrow-\infty}xe^x=\lim_{t\rightarrow\infty}(-te^{-t})=\lim_{t\rightarrow\infty}(-\frac{t}{e^t})=0$

x	0←	･･･	−2	･･･	−1	･･･	→∞
y'		−	−	−	0	+
y"		−	0	+	+	+
y	0←		$-\frac{2}{e^2}$ $ \displaystyle -\frac{2}{e^2} $		$-\frac{1}{e}$ $ \displaystyle -\frac{1}{e} $		→∞

極大値:なし, 極小値:有り● $(-1,-\frac{1}{e})$
変曲点:有り● $(-2,-\frac{2}{e^2})$
横向き漸近線：有り--- $\lim_{x\rightarrow-\infty}y=0$
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

グラフは，図のようになる

(1.2)　 $y=xe^{-x}$

• x→−∞のときの極限は，不定形でも何でもなく，(−∞)×∞で発散します．
• x→∞のときの極限を求めるとき，(Ⅰ.3)の公式を使う．
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^x}=0$
これにより
$\lim_{x\rightarrow\infty}xe^x=0$

x	−∞←	･･･	1	･･･	2	･･･	→∞
y'		+	0	−	−	−
y"		−	−	−	0	+
y	−∞←		$\frac{1}{e}$ $ \displaystyle \frac{1}{e} $		$\frac{2}{e^2}$ $ \displaystyle \frac{2}{e^2} $		→0

極大値:有り● $(1,\frac{1}{e})$ , 極小値:なし
変曲点:有り● $(2,\frac{2}{e^2})$
横向き漸近線：有り--- $\lim_{x\rightarrow\infty}y=0$
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

グラフは，図のようになる

(1.3)　 $y=x^2e^{-x}$

• x→−∞のときの極限は，不定形でも何でもなく，∞×∞で発散します．
• x→∞のときの極限を求めるとき，(Ⅰ)の公式を使う．
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{e^x}=0$

x	−∞←	…	0	…	$2-\sqrt{2}$ $ \displaystyle 2-\sqrt{2} $	…	2	…	$2+\sqrt{2}$ $ \displaystyle 2+\sqrt{2} $	…	→∞
y’		−	0	+	+	+	0	−	−	−
y”		+	+	+	0	−	−	−	0	+
y	∞←		0		0.36		0.54		0.38		→0

極大値:有り● $(2,\frac{4}{e^2})$ , 極小値:有り●(0, 0)
変曲点:有り●
横向き漸近線：有り--- $\lim_{x\rightarrow\infty}y=0$
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

グラフは，図のようになる

(1.4)　 $y=e^{-x^2}$

• $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}e^{-x^2}=0$ 漸近線の方程式は，左右ともy=0

x	−∞←	…	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$ $ \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}} $	…	0	…	$\frac{1}{\sqrt{2}}$ $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $	…	→∞
y’		+	+	+	0	−	−	−
y”		+	0	−	−	−	0	+
y	0←		$\frac{1}{\sqrt{e}}$ $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}} $		1		$\frac{1}{\sqrt{e}}$ $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}} $		→0

• 図のようにy軸に関して対称なグラフになる
• 統計の分野で重要な正規分布曲線の形になる

極大値:有り●(0, 1), 極小値:なし
変曲点:有り● $(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\hspace{3}\frac{1}{\sqrt{e}})$
横向き漸近線：有り--- $\lim_{x\rightarrow\infty}y=0$
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

(1.5)　 $y=e^{\frac{1}{x}}$

• 定義域はx≠0

グラフは，右図のようになる
• $\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{\frac{1}{x}}=\lim_{t\rightarrow -0}e^t=1$ ⇒ 漸近線 y=1
• $\lim_{x\rightarrow\infty}e^{\frac{1}{x}}=\lim_{t\rightarrow + 0}e^t=1$ ⇒ 漸近線 y=1
• $\lim_{x\rightarrow-0}e^{\frac{1}{x}}=\lim_{t\rightarrow -\infty}e^t=0$ ⇒ 白点は，定義されない
• $\lim_{x\rightarrow+ 0}e^{\frac{1}{x}}=\lim_{t\rightarrow \infty}e^t=\infty$ ⇒ 漸近線 x=0

x	−∞←	･･･	$-\frac{1}{2}$ $ \displaystyle -\frac{1}{2} $	･･･	0	･･･	→∞
y'		−	−	−	×	−
y"		−	0	+	×	+
y	1←		$\frac{1}{e^2}$ $ \displaystyle \frac{1}{e^2} $		∞ 0		→1

極大値:なし, 極小値:なし
変曲点:有り● $(-\frac{1}{2},\frac{1}{e^2})$
横向き漸近線：有り--- $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=1$
縦向き漸近線:有りx=0, 斜め漸近線:なし

♪～対数関数～♠

(2.1)　 $y=\frac{\log x}{x}$

• 定義域はx>0
• x→∞のときのロピタルの定理を利用する
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$ ⇒ 漸近線 y=0
• $x=e^t$ とおいて，指数関数の極限に直す
$\lim_{x\rightarrow+ 0}\frac{\log x}{x}=\lim_{t\rightarrow-\infty}\frac{t}{e^t}=\lim_{s\rightarrow\infty}\frac{-s}{e^{-s}}$
$=\lim_{s\rightarrow\infty}(-se^{s})=-\infty$ ⇒ 漸近線 x=0

x	0←	･･･	e	･･･	$e^{\frac{2}{3}}$ $ \displaystyle e^{\frac{2}{3}} $	･･･	→∞
y'		+	0	−	−	−
y"		−	−	−	0	+
y	−∞←		$\frac{1}{e}$ $ \displaystyle \frac{1}{e} $		$\frac{3}{2}e^{-\frac{3}{2}}$		→0

極大値:有り●, 変曲点:有り●, 横向き漸近線:有り---
極小値:なし, 縦向き漸近線:あり･･･, 斜め漸近線:なし

(2.2)　 $y=\frac{x}{\log x}$

• 定義域はx>0, x≠1
• x→∞のとき，漸近線があるとした場合の傾きmを求める
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{x\log x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\log x}=0$
• 次に，x→∞のとき，漸近線があるとした場合の切片kを求める
x→∞のときのロピタルの定理を利用する
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\log x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}x=\infty$
　以上により，x→∞のときの漸近線はない

※傾きが0に収束するが，切片が∞に発散し，結局，漸近線がないという例は,他にもある．
$y=\log x$
$y=\sqrt{x}$

• 定義域は，x>0であるが，x→+0のときの極限値を求める
$x=e^t$ とおいて，指数関数の極限に直す
$\lim_{x\rightarrow+ 0}\frac{x}{\log x}=\lim_{t\rightarrow-\infty}\frac{e^t}{t}=\lim_{s\rightarrow\infty}\frac{e^{-s}}{-s}$
$=\lim_{s\rightarrow\infty}(-\frac{1}{se^{s}})=0$ ⇒ x→+0のときの漸近線なし
• x→1のとき，(分母)→0となるので，漸近線を調べる
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{\log x}$
$x=e^t$ ，x→1，t→0とおいて，指数関数の極限に直す
$\lim_{x\rightarrow 1+ 0}\frac{x}{\log x}=\lim_{t\rightarrow + 0}\frac{e^t}{t}=\infty$
$\lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{x}{\log x}=\lim_{t\rightarrow -0}\frac{e^t}{t}=-\infty$
　以上により，x→1のとき，漸近線はx=1

x	+0←	･･･	1	･･･	e	･･･	→∞
y'		−	×	−	0	+
y	0←	$\searrow$ $ \displaystyle \searrow $	±∞	$\searrow$ $ \displaystyle \searrow $	e	$\nearrow$ $ \displaystyle \nearrow $	→∞

極大値:なし, (変曲点:有り), 横向き漸近線:なし
極小値:有り●, 縦向き漸近線:あり･･･, 斜め漸近線:なし

(2.3)　 $y=x\log x$

• 定義域はx>0

• $y\apos=\log x+ 1$
$y\apos=0\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}x=\frac{1}{e}$
• $y\apos\apos=\frac{1}{x}\hspace{5}(\gt 0)$

• x→∞のときの極限は，不定形でも何でもなく，∞×∞で発散する．
• x→+0のときの極限を求めるとき，(Ⅳ.1)の公式を使う．
$\lim_{x\rightarrow+ 0}x\log x=0$

x	0←	･･･	$\frac{1}{e}$ $ \displaystyle \frac{1}{e} $	･･･	→∞
y'		−	0	+
y"		+	+	+
y	0←		$-\frac{1}{e}$ $ \displaystyle -\frac{1}{e} $		→∞

極大値:なし, 極小値:有り● $(\frac{1}{e},-\frac{1}{e})$
変曲点:なし
横向き漸近線：なし
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

グラフは，図のようになる

(2.4)　 $y=x^2\log x$

• 定義域はx>0

• $y\apos=2x\log x+ x=x(2\log x+ 1)$
$y\apos=0\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}x=-\frac{1}{2}$
• $y\apos\apos=2\log x+ 1+ x\times\frac{2}{x}=2\log x+ 3$
$y\apos\apos=0\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}x=-\frac{3}{2}$

• x→∞のときの極限は，不定形でも何でもなく，∞×∞で発散する．
• x→+0のときの極限を求める
x→+0のとき， $x=e^{-t}\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}-t=\log x$ とおくと
$\lim_{x\rightarrow+ 0}x^2\log x=\lim_{t\rightarrow\infty}\{e^{-2t}\times(-t)\}$
$=\lim_{t\rightarrow\infty}\big(-\frac{t}{e^{2t}}\big)=0$

x	+0←	･･･	$\frac{1}{e\sqrt{e}}$ $ \displaystyle \frac{1}{e\sqrt{e}} $	･･･	$\frac{1}{\sqrt{e}}$ $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}} $	･･･	→∞
y'		−	−	−	0	+
y''		−	0	+	+	+
y	0←		$-\frac{3}{2e^3}$ $ \displaystyle -\frac{3}{2e^3} $		$-\frac{1}{2e}$ $ \displaystyle -\frac{1}{2e} $		→∞

極大値:なし, 極小値:有り● $(\frac{1}{\sqrt{e}},-\frac{1}{2e})$
変曲点:有り● $(\frac{1}{e\sqrt{e}},-\frac{3}{2e^3})$
横向き漸近線：なし
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

グラフは，図のようになる

(2.5)　 $y=(\log x)^2$

• 定義域はx>0

• $y\apos=2\log x\times\frac{1}{x}$
$y\apos=0\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}x=1$
• $y\apos\apos=2\{\frac{1}{x}\times\frac{1}{x}+\log x\times(-\frac{1}{x^2})\}=\frac{2}{x^2}(1-\log x)$
$y\apos\apos=0\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}x=e$

• x→∞のときの極限は，不定形でも何でもなく，∞×∞で発散する．
• $\lim_{x\rightarrow+ 0}(\log x)^2=\infty$

x	+0←	･･･	1	･･･	e	･･･	→∞
y'		−	0	+	+	+
y''		+	+	+	0	−
y	∞←		0		1		→∞

極大値:なし, 極小値:有り●(1, 0)
変曲点:有り●(e, 1)
横向き漸近線：なし
縦向き漸近線:有り x=0, 斜め漸近線:なし

グラフは，図のようになる

(2.6)　 $y=x^{\frac{1}{x}}\hspace{10}(x\gt 0)$

• 「底がeでないとき」や，「指数がxでないとき」には，対数微分法（絶対値の対数をとる）が有効（この問題では，x>0だから，絶対値はなくてもよい）
$\log\mid y\mid=\frac{1}{x}\log x$
$\frac{y\apos}{y}=-\frac{1}{x^2}\log x+\frac{1}{x}\times\frac{1}{x}=\frac{1-\log x}{x^2}$
$y\apos=\frac{1-\log x}{x^2}\times x^{\frac{1}{x}}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\log x)$
$y\apos=0\leftrightarrow x=e$
• x→∞のときの漸近線があれば求める
ロピタルの定理(Ⅱ.3)により
$\log y=\frac{1}{x}\log x=\frac{\log x}{x}\rightarrow 0$
だから
y→1　漸近線の方程式はy=1
• x→+0のときのグラフを調べる
$\lim_{x\rightarrow+ 0}\log y=\lim_{x\rightarrow+ 0}\frac{1}{x}\log x=\infty\times(-\infty)=-\infty$
だから
y→+0

（別の証明）
$\lim_{x\rightarrow+ 0}x^{\frac{1}{x}}=\lim_{t\rightarrow\infty}\big(\frac{1}{t}\big)^t=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t^t}=0$

x	+0←	･･･	e	･･･	→∞
y'		+	0	−
y	+0←	$\nearrow$ $ \displaystyle \nearrow $	$e^{\frac{1}{e}}$ $ \displaystyle e^{\frac{1}{e}} $	$\searrow$ $ \displaystyle \searrow $	→1

極大値:有り● $(e,e^{\frac{1}{e}})$ , 極小値:なし
変曲点:有り●x≒0.47865…, 31.3384…
横向き漸近線：有り (y=1)
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

(2.7)　 $y=\big(\frac{1}{x}\big)^x\hspace{10}(x\gt 0)$

• 「底がeでないとき」や，「指数がxでないとき」には，対数微分法（絶対値の対数をとる）が有効（この問題では，x>0だから，絶対値はなくてもよい）
$\log\mid y\mid=x\log\big(\frac{1}{x}\big)=-x\log x$
$\frac{y\apos}{y}=-\log x-1=-(\log x+ 1)$
$y\apos=-\big(\frac{1}{x}\big)^x(\log x+ 1)$
$y\apos=0\leftrightarrow x=\frac{1}{e}$
• $y\apos\apos=x^{-x-1}\{x(\log x)^2+ 2x\log x+ x-1\}$
となって，このような方程式は容易には解けないが「たまたま」x=1が解になっている．
変曲点は(1, 1)
• x→∞のときの漸近線があれば求める
$\log y=-x\log x=\rightarrow-\infty$
だから
y→+0　漸近線の方程式はy=0
• x→+0のときのグラフを調べる
$\lim_{x\rightarrow+ 0}\log y=\lim_{x\rightarrow+ 0}(-x\log x)$
ロピタルの定理(Ⅳ.1)により
$\lim_{x\rightarrow+ 0}(-x\log x)=0$
だから
y→1

極大値:有り● $(\frac{1}{e},e^{\frac{1}{e}})$ , 極小値:なし
変曲点:有り●(1, 1)
横向き漸近線：有り (y=0)
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

(2.8)　 $y=x^{\sin x}\hspace{10}(x\gt 0)$

• 対数微分法を使えば，導関数は求められる．（この問題では，x>0, y>0だから，絶対値は付けなくてもよい）
$\log\mid y\mid=\sin x\log x$
$\frac{y\apos}{y}=\cos x\log x+ \sin x\times\frac{1}{x}$
$y\apos=(\cos x\log x+ \sin x\times\frac{1}{x})\times x^{\sin x}$
• y'=0となるxの値を代数的に解いて，極値を求めることは難しい．
しかし，x→∞のとき，漸近線がないことは，次のようにして示せる．
1) $x=2n\pi+\frac{\pi}{2}$ のとき， $\sin x=1$ だから， $y=x$ になる．（図の桃色の点）
2) $x=2n\pi+\frac{3\pi}{2}$ のとき， $\sin x=-1$ だから， $y=x^{-1}=\frac{1}{x}$ になる．（図の水色の点）
x→∞のとき，1)2)が交互に現れ，どこまで行っても接近しない．（+∞と+0の間の振動となり，収束しない）

※極値や変曲点も計算できないのに「なぜ，グラフが描けるのか?」と疑問をもつ読者がいるかもしれません．
これに対する答えは「あなたの見ているのは，コンピュータの画面ですから，点を細かくつなげばグラフが描ける．」･･･代数的にではなく，数値的に点を結んで行くプログラムが組んである．･･･画面上で1000個の点を折れ線としてつないである．･･･細かいのでそれが曲線に見えるということです．

• x→+0のとき，y→1, y'→∞です．

極大値:有り, 極小値:有り
変曲点:有り
漸近線：なし

(2.9)　 $y=\big(\frac{1}{x}\big)^{\log x}\hspace{10}(x\gt 0)$

• 対数微分法を使えば，導関数は求められる．（この問題では，x>0, y>0だから，絶対値は付けなくてもよい）
$\log\mid y\mid=\log x\log\frac{1}{x}=-(\log x)^2$
$\frac{y\apos}{y}=-2(\log x)\times\frac{1}{x}$
$y\apos=-2(\log x)\times\frac{1}{x}\times\big(\frac{1}{x}\big)^{\log x}$
$=-2(\log x)\big(\frac{1}{x}\big)^{\log x-1}$
$y\apos=0\leftrightarrow x=1$
• 第2階導関数を計算して，変曲点を求める
$y\apos\apos=\cdots=2x^{-\log x-2}(2\log x-1)(\log x+ 1)$
$y\apos\apos=0\leftrightarrow x=\sqrt{e},\frac{1}{e}$
• x→∞のとき
$\log y=\log x\log\frac{1}{x}=-(\log x)^2\rightarrow-\infty$
だからy→0（漸近線の方程式はy=0）
• x→+0のとき
$\log y=\log x\log\frac{1}{x}=-(\log x)^2\rightarrow-\infty$
だからy→0

x	+0←	…	$\frac{1}{e}$ $ \displaystyle \frac{1}{e} $	…	1	…	$\sqrt{e}$ $ \displaystyle \sqrt{e} $	…	→∞
y’		+	+	+	0	−	−	−
y”		+	0	−	−	−	0	+
y	0←		$\frac{1}{e}$ $ \displaystyle \frac{1}{e} $		1		$\frac{1}{\sqrt{e}}$ $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}} $		→0

極大値:有り●(1, 1), 極小値:なし
変曲点:有り● $(\frac{1}{e},\hspace{2}\frac{1}{e}),(\sqrt{e},\hspace{2}\frac{1}{2\sqrt{e}})$

横向き漸近線：有り (y=0)
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

♪～無理関数～♠

(3.1)　 $y=x+\sqrt{x^2+ 1}$

• 定義域は−∞<x<∞

• $y\apos=1+ \frac{1}{2}\times\frac{2x}{\sqrt{x^2+ 1}}=\frac{\sqrt{x^2+ 1}+ x}{\sqrt{x^2+ 1}}$
y'の符号は，常に正
• $\lim_{x\rightarrow-\infty}(x+\sqrt{x^2+ 1})=\lim_{t\rightarrow\infty}(-t+\sqrt{t^2+ 1})$
$=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{t^2+ 1-t^2}{\sqrt{t^2+ 1}-t}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{t^2+ 1}+ t}=0$
x→−∞のとき，漸近線はy=0
• x→∞のとき（y=mx+kの形の漸近線を求める）
$m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x+\sqrt{x^2+ 1}}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\big(1+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\big)=2$
$k=\lim_{x\rightarrow\infty}(x+\sqrt{x^2+ 1}-2x)=\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{x^2+ 1}-x)$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2+ 1-x^2}{\sqrt{x^2+ 1}+ x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+ 1}+ x}=0$
x→∞のとき，漸近線はy=2x

x	+0←	･･･	→∞
y'		+
y	0←	$\nearrow$ $ \displaystyle \nearrow $	→∞

極大値:なし, 極小値:なし
変曲点:なし
横向き漸近線：有り y=0
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:有り y=2x

(3.2)　 $y=\frac{x}{\sqrt{x^2+ 1}}$

• 定義域は−∞<x<∞

• $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+ 1}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=1$
x→∞のとき，漸近線はy=1
• $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+ 1}}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{-t}{\sqrt{t^2+ 1}}=\lim_{t\rightarrow\infty}(-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}})$
=−1
x→−∞のとき，漸近線はy=−1
• $y\apos=\frac{\sqrt{x^2+ 1}-x\times\frac{1}{2}(x^2+ 1)^{-\frac{1}{2}}\times 2x}{x^2+ 1}$
$=\frac{1}{(x^2+ 1)\sqrt{x^2+ 1}}$
y'の符号は，常に正
• $y\apos\apos=\frac{-3x}{(x^2+ 1)^2\sqrt{x^2+ 1}}$

x	−∞←	･･･	0	･･･	→∞
y'		+	+	+
y"		+	0	−
y	−1←		0		→1

極大値:なし, 極小値:なし
変曲点:有り● (0, 0)
横向き漸近線：有り y=1, −1
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

(3.3)　 $y=\frac{\sqrt{x^2+ 1}}{x}$

• 定義域はx≠0

• $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x^2+ 1}}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=1$
x→∞のとき，漸近線はy=1
• $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+ 1}}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{-t}{\sqrt{t^2+ 1}}=\lim_{t\rightarrow\infty}(-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}})$
=−1
x→−∞のとき，漸近線はy=−1
• $\lim_{x\rightarrow+ 0}\frac{\sqrt{x^2+ 1}}{x}$
x→+0のとき，(分母)→0 (>0)，(分子)→1だから
(分数)→+∞，漸近線はx=0
$\lim_{x\rightarrow-0}\frac{\sqrt{x^2+ 1}}{x}$
x→−0のとき，(分母)→0 (<0)，(分子)→1だから
(分数)→−∞，漸近線はx=0
• $y\apos=\cdots=\frac{-1}{x^2\sqrt{x^2+ 1}}$
y'の符号は，常に負
• $y\apos\apos=\cdots=\frac{3x^2+ 1}{x^3(x^2+ 1)\sqrt{x^2+ 1}}$

x	−∞←	･･･	0	･･･	→∞
y'		−	×	−
y”		−	×	+
y	−1←		±∞		→1

極大値:なし, 極小値:なし
変曲点:なし(…この問題では，第2次導関数や変曲点を求める必要はない)
横向き漸近線：有り y=1, −1
縦向き漸近線:有り x=0, 斜め漸近線:なし

(3.4)　 $y=x+\sqrt{1-x^2}$

• 定義域は−1≦x≦1
• $y\apos=1+\frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\times(-2x)$
$=\frac{\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}$
$y\apos=0\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}\sqrt{1-x^2}=x\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

x	−1	･･･	$\frac{1}{\sqrt{2}}$ $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $	･･･	1
y'	×	+	0	−	×
y	−1	$\nearrow$ $ \displaystyle \nearrow $	$\sqrt{2}$ $ \displaystyle \sqrt{2} $	$\searrow$ $ \displaystyle \searrow $	1

極大値:有り● $(\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2})$
極小値:あり● (−1, −1), (1, 1)

• x=aの近傍で，x≠aならばf(x)≧f(a)が成り立つとき，x=aで極小と言い，f(a)を極小値という．
• このように，極値の定義にとっては，微分可能であることや，f’(x)=0であることは，必要ではない．
• 上記のように定義すると，両端を含む閉区間で定義される関数について，端の点が極値になることがある．

変曲点:なし(…この問題では，第2次導関数や変曲点を求める必要はない)
横向き漸近線：なし
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

(3.5)　 $y=x\sqrt{1-x^2}$

• 定義域は−1≦x≦1
• $y\apos=\sqrt{1-x^2}+ x\times\frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\times(-2x)$
$=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$
$y\apos=0\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$
• $y\apos\apos=\cdots=\frac{x(2x^2-3)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}$
ここで，つねに $2x^2-3\lt 0$ だから
$y\apos\apos=0\hspace{5}\leftrightarrow\hspace{5}x=0$

x	−1	…	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$ $ \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}} $	…	0	…	$\frac{1}{\sqrt{2}}$ $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $	…	1
y’	×	−	0	+	+	+	0	−	×
y”	×	+	+	+	0	−	−	−	×
y	0		$-\frac{1}{2}$ $ \displaystyle -\frac{1}{2} $		0		$\frac{1}{2}$ $ \displaystyle \frac{1}{2} $		0

極大値:有り● $(-1,0),(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2})$
極小値:有り● $(1,0),(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{2})$
変曲点:有り●(0, 0)
横向き漸近線：なし
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

(3.6)　 $y=x+\sqrt{x^2-1}$

• 定義域はx≦−1, 1≦x
• $y\apos=1+\frac{1}{2}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}}\times 2x$
$=\frac{\sqrt{x^2-1}+ x}{\sqrt{x^2-1}}$
x≧1(>0)のとき， $\sqrt{x^2-1}+ x\gt 0$ だからy’>0
x≦−1(<0)のとき，x=−t, t>0とおくと
$\sqrt{x^2-1}+ x=\sqrt{t^2-1}-t$
ここで， $\sqrt{t^2-1}\lt\sqrt{t^2}=t$ だからy’<0
• x→∞のとき（y=mx+kの形の漸近線を求める）
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})$
=2
$\lim_{x\rightarrow\infty}(y-2x)=\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{x^2-1}-x)$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}+ x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+ x}=0$
x→∞のとき，漸近線の方程式はy=2x
• x→−∞のとき，漸近線を求める
$\lim_{x\rightarrow-\infty}(x+\sqrt{x^2-1})=\lim_{t\rightarrow\infty}(-t+\sqrt{t^2-1})$
$=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{(t^2-1)-t^2}{\sqrt{t^2-1}+ t}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{-1}{\sqrt{t^2-1}+ t}=0$
x→−∞のとき，漸近線の方程式はy=0

x	−∞←	･･･	−1	･･･	1	･･･	→∞
y'		−	×	×	×	+
y	0←	$\searrow$ $ \displaystyle \searrow $	−1	×	1	$\nearrow$ $ \displaystyle \nearrow $	→∞

極大値:なし，極小値:"有り" ●(−1, −1), (1, 1)
変曲点:なし
横向き漸近線：有り (y=0)
縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:有り (y=2x)

(3.7)　 $y=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x+ 1}$

奇数乗根の関数は，奇妙なことが起こるので，要注意！

• 定義域はx≠−1
• $y\apos=\frac{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\times(x+ 1)-x^{\frac{2}{3}}}{(x+ 1)^2}$
$=\frac{\frac{2}{3}(x+ 1)-x}{(x+ 1)^2\hspace{2}\sqrt[3]{x}}$
$=\frac{-(x-2)}{3(x+ 1)^2\hspace{2}\sqrt[3]{x}}$
y’=0 ⇔ x=2

x=0のときは，y’≠0(±∞)であるが符号が変わる
• $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x+ 1}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{x}(1+\frac{1}{x})}=0$
• $\lim_{x\rightarrow -1\pm 0}\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x+ 1}=\pm\infty$

x	−∞←	…	−1	…	0	…	2	…	→∞
y’		−	×	−	×	+	0	−
y	0←	$\searrow$ $ \displaystyle \searrow $	×	$\searrow$ $ \displaystyle \searrow $	0	$\nearrow$ $ \displaystyle \nearrow $	$\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$	$\searrow$ $ \displaystyle \searrow $	→0

極大値:有り● $(2,\frac{\sqrt[3]{4}}{3})$
極小値:有り●(0, 0)
変曲点:有り●

漸近線を求めるためだけなら，変曲点は必ずしも必要ないが， $y\apos\apos=\frac{2(2x^2-8x-1)}{9x^{\frac{4}{3}}(x+ 1)^3}$ となるので，
$x=\frac{4\pm 3\sqrt{2}}{2}$ ≒−0.12, 4.12に変曲点がある

横向き漸近線：有りy=0
縦向き漸近線:有りx=−1, 斜め漸近線:なし

(3.8)　 $y=\sqrt[3]{\frac{x-2}{x-1}}$

奇数乗根の関数は，奇妙なことが起こるので，要注意！

• 積や商の多い関数を微分するには（絶対値付き）「対数微分法」を使うとよい
• $\log\mid y\mid=\frac{1}{3}\big(\log\mid x-2\mid-\log\mid x-1\mid\big)$
$\frac{y\apos}{y}=\frac{1}{3}\big(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\big)=\frac{1}{3(x-1)(x-2)}$
$y\apos=\frac{1}{3(x-1)(x-2)}\times\sqrt[3]{\frac{x-2}{x-1}}=\frac{1}{3(x-1)^{\frac{4}{3}}(x-2)^{\frac{2}{3}}}$
（符号は常に正になる）
•２階の対数微分法は，めずらしいので確かめておく
$\log\mid y\apos\mid$ の微分 ⇒ $\frac{d(\log\mid y\apos\mid)}{dx}=\frac{d(\log\mid y\apos\mid)}{dy\apos}\cdot\frac{dy\apos}{dx}=\frac{y\apos\apos}{y\apos}$
$\log\mid y\apos\mid=-\log 3-\frac{4}{3}\log\mid x-1\mid-\frac{2}{3}\log\mid x-2\mid$
$\frac{y\apos\apos}{y\apos}=\cdots=-\frac{2(3x-5)}{3(x-1)(x-2)}$
$y\apos\apos=-\frac{2(3x-5)}{3(x-1)(x-2)}\times\frac{1}{3(x-1)^{\frac{4}{3}}(x-2)^{\frac{2}{3}}}$
$=-\frac{2(3x-5)}{9(x-1)^{\frac{5}{3}}(x-2)^{\frac{7}{3}}}$
y”は，x=1, 2, 5/3で符号が変わる
•x→∞のとき，
$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[3]{\frac{x-2}{x-1}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[3]{\frac{1-\frac{2}{x}}{1-\frac{1}{x}}}=1$
漸近線の方程式はy=1
• x→−∞のとき，
$\lim_{x\rightarrow-\infty}\sqrt[3]{\frac{x-2}{x-1}}=\lim_{t\rightarrow\infty}\sqrt[3]{\frac{-t-2}{-t-1}}$
$=\lim_{t\rightarrow\infty}\sqrt[3]{\frac{t+ 2}{t+ 1}}=\lim_{t\rightarrow\infty}\sqrt[3]{\frac{1+\frac{2}{t}}{1+\frac{1}{t}}}=1$
漸近線の方程式はy=1
• x→1+ε (0<ε<1)のとき，
$\lim_{x\rightarrow 1+ 0}\sqrt[3]{\frac{x-2}{x-1}}=\lim_{\epsilon\rightarrow+ 0}\sqrt[3]{\frac{\epsilon-1}{\epsilon}}=-\infty$
• x→1−ε (0<ε<1)のとき，
$\lim_{x\rightarrow 1-0}\sqrt[3]{\frac{x-2}{x-1}}=\lim_{\epsilon\rightarrow+ 0}\sqrt[3]{\frac{-\epsilon-1}{-\epsilon}}=\lim_{\epsilon\rightarrow+ 0}\sqrt[3]{\frac{\epsilon+ 1}{\epsilon}}$
=∞
漸近線の方程式はx=1

x	−∞←	…	1	…	$\frac{5}{3}$ $ \displaystyle \frac{5}{3} $	…	2	…	→∞
y’		+	×	+	+	+	×	+
y”		+	×	−	0	+	×	−
y	1←		±∞		$-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$		0		→1

$ \displaystyle \Big(\frac{5}{3},-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\Big) $は変曲点であるが，$(2,0)$も変曲点であることに注意（$y',y''$は定義されないが，連続であって，凹凸が変化するから変曲点）

(3.9)　 $y=\sqrt[5]{(x-1)(x-2)^2}$

※3乗根，5乗根，･･･奇数乗根のグラフでは，奇妙なことが起こる

• 多くの因数の積・商になっている関数を微分するには，対数微分法（絶対値の対数をとる）が有効
• $\log\mid y\mid=\frac{1}{5}\log\mid x-1\mid+\frac{2}{5}\log\mid x-2\mid$
$\frac{y\apos}{y}=\frac{1}{5(x-1)}+\frac{2}{5(x-2)}=\frac{(x-2)+ 2(x-1)}{5(x-1)(x-2)}$
$=\frac{3x-4}{5(x-1)(x-2)}$
$y\apos=\frac{3x-4}{5(x-1)(x-2)}\times\sqrt[5]{(x-1)(x-2)^2}$
$=\frac{3x-4}{5(x-1)^{\frac{4}{5}}(x-2)^{\frac{3}{5}}}$
$y\apos=0\leftrightarrow x=\frac{4}{3}$ , y’の符号が変わる⇔ $x=\frac{4}{3},\hspace{2}x=2$
• 2階導関数を求めるための対数微分法

$\log\mid y\apos\mid$ をxで微分したら $\frac{y\apos\apos}{y\apos}$ になる
（証明）
$\frac{d(\log\mid y\apos\mid)}{dx}=\frac{d(\log\mid y\apos\mid)}{dy\apos}\cdot\frac{dy\apos}{dx}=\frac{y\apos\apos}{y\apos}$

$\log\mid y\apos\mid=\log\mid 3x-4\mid-\log 5-\frac{4}{5}\log\mid x-1\mid}-\frac{3}{5}\log\mid x-2\mid$
$\frac{y\apos\apos}{y\apos}=\frac{3}{3x-4}-\frac{4}{5(x-1)}-\frac{3}{5(x-2)}$
$=\frac{-10(3x^2-8x+ 7)}{25(3x-4)(x-1)(x-2)}$
$y\apos\apos=\frac{-10(3x^2-8x+ 7)}{25(3x-4)(x-1)(x-2)}\times\frac{3x-4}{5(x-1)^{\frac{4}{5}}(x-2)^{\frac{3}{5}}}$
$=\frac{-2(3x^2-8x+ 7)}{25(x-1)^{\frac{9}{5}}(x-2)^{\frac{8}{5}}}$

ここで， $(x-2)^{\frac{8}{5}}\underset{=}{\gt}0$ ， $3x^2-8x+ 7$ は $D\apos\lt 0$ だから，つねに正
y”=0 ⇔ x=1

x	−∞←	…	1	…	$\frac{4}{3}$ $ \displaystyle \frac{4}{3} $	…	2	…	→∞
y’		+	×	+	0	−	×	+
y”		+	×	−	×	−	×	−
y	−∞←		0		$\sqrt[5]{\frac{4}{27}}$		0		→∞

• x→∞のときの漸近線をy=mx+kの形で求める
$m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[5]{(x-1)(x-2)^2}}{x}$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[5]{\frac{(x-1)(x-2)^2}{x^5}}=0$
$k=\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt[5]{(x-1)(x-2)^2}-0)=\infty$
※傾きは0に近づくが，ｙ切片が限りなく大きくなるので，漸近線は存在しない
• x→−∞のときの漸近線も，同様にして存在しない

極大値:有り● $(\frac{4}{3},\hspace{2}\sqrt[5]{\frac{4}{27}})$
極小値:有り●(2, 0)
変曲点:有り●(1, 0)，実は(2, 0)も変曲点［y', y''は定義されないが，連続で凹凸が変化しているから］
横向き漸近線：なし，縦向き漸近線:なし, 斜め漸近線:なし

(3.10)　 $y=\sqrt[5]{(x-1)^2(x-2)^3}$

※3乗根，5乗根，･･･奇数乗根のグラフでは，奇妙なことが起こる

• 対数微分法を用いて，次の結果が得られる
$y\apos=\frac{5x-7}{5(x-1)^{\frac{3}{5}}(x-2)^{\frac{2}{5}}}$
$y\apos\apos=\frac{-6}{25(x-1)^{\frac{8}{5}}(x-2)^{\frac{7}{5}}}$
• この問題の，漸近線を求める作業は，計算量が多く大変です．y=mx+kのmはすぐわかりますが，kが激辛です．（問題を作った本人が，なかなか解けなくて困った．）
$m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[5]{(x-1)^2(x-2)^3}}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[5]{\frac{(x-1)^2(x-2)^3}{x^5}}$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[5]{(1-\frac{1}{x})^2(1-\frac{2}{x})^3}}=1$
$k=\lim_{x\rightarrow\infty}\big(\sqrt[5]{(x-1)^2(x-2)^3}}-x\big)$
ここで，等比数列の和の公式を思い出す
$(a-b)(a^4+ a^3b+ a^2b^2+ ab^3+ b^4)=a^5-b^5$ だから
$a-b=\frac{a^5-b^5}{a^4+ a^3b+ a^2b^2+ ab^3+ b^4}$
$a=\sqrt[5]{(x-1)^2(x-2)^3}},\hspace{5}b=x$
とおくと
$a^5-b^5=(x-1)^2(x-2)^3}-x^5=-8x^4+ 25x^3+\cdots$
$a^4, a^3b, a^2b^2, ab^3, b^4}$ は，いずれも最高次の次数が4で，4次の係数は1になるから， $a^4+ a^3b+ a^2b^2+ ab^3+ b^4$ の4次の係数は5
$k=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{a^5-b^5}{a^4+ a^3b+ a^2b^2+ ab^3+ b^4}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-8}{5}$
したがって，漸近線の方程式は， $y=x-\frac{8}{5}$
• x→−∞のときも，同様

x	−∞←	…	1	…	$\frac{7}{5}$ $ \displaystyle \frac{7}{5} $	…	2	…	→∞
y’		+	×	−	0	+	×	+
y”		+	×	+	+	+	×	−
y	−∞←		0		$-\frac{\sqrt[5]{108}{5}$		0		→∞

(4.1)　 $y=\sin\frac{1}{x}$

−5≦x≦5の場合

x=0付近で，密集している

−0.5≦x≦0.5の場合

−0.05≦x≦0.05の場合

• 定義域はx≠0
•x→∞のとき，
$\lim_{x\rightarrow\infty}\sin\frac{1}{x}=\lim_{t\rightarrow 0}\sin t=0$
漸近線の方程式はy=0
• x→−∞のとき，
$\lim_{x\rightarrow-\infty}\sin\frac{1}{x}=\lim_{t\rightarrow 0}\sin(-t)=0$
漸近線の方程式はy=0

(4.2)　 $y=x\sin\frac{1}{x}$

x=0付近で，密集している

• 定義域はx≠0
• $-\mid x\mid\underset{=}{\lt}x\sin\frac{1}{x}\underset{=}{\lt}\mid x\mid$ かつ|x|→0だから
$\lim_{x\rightarrow 0}x\sin\frac{1}{x}=0$
• $\lim_{x\rightarrow\infty}x\sin\frac{1}{x}=\lim_{t\rightarrow+ 0}\frac{t}{t}=0$
また
$\lim_{x\rightarrow-\infty}x\sin\frac{1}{x}=\lim_{t\rightarrow+ 0}\frac{-t}{-t}=0$
したがって，漸近線の方程式はy=1

(4.3)　 $y=x^2\sin\frac{1}{x}$

• 筆者にとって，この結果は，意外です.（読者はどうですか）
• 赤線と青線の間にあることは必要条件としてすぐ分かるが，これらは漸近線ではなく，緑線が漸近線になる

• 定義域はx≠0
• $-\mid x^2\mid\underset{=}{\lt}x^2\sin\frac{1}{x}\underset{=}{\lt}\mid x^2\mid$ かつ|x2|→0だから
$\lim_{x\rightarrow 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0$
• 漸近線の方程式をy=mx+kの形で求める
$m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}x\sin\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$
$=\lim_{t\rightarrow+ 0}\frac{\sin t}{t}=1$
$k=\lim_{x\rightarrow\infty}\big(x^2\sin\frac{1}{x}-x\big)=\lim_{t\rightarrow+ 0}\big(\frac{1}{t^2}\sin t-\frac{1}{t}\big)$
$=\lim_{t\rightarrow+ 0}\frac{\sin t-t}{t^2}$
ここで「ロピタルの定理」を２回続けて用いる
$k=\lim_{t\rightarrow+ 0}\frac{\cos t-1}{2t}=\lim_{t\rightarrow+ 0}\frac{-\sin t}{2}=0$
したがって，漸近線の方程式はy=x
• 同様にして，x→−∞のときの漸近線の方程式もy=xとなる

(4.4)　 $y=x\sin x$

• 求める曲線は赤の破線と青の破線に接するが，これらは漸近線ではない

• 漸近線はない

(4.5)　 $y=\frac{\sin x}{x}$

• 定義域は，x≠0
ただし
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$
• 求める曲線は赤の破線と青の破線に接する

• x→∞のときの漸近線
$-\mid\frac{1}{x}\mid\underset{=}{\lt}\frac{\sin x}{x}\underset{=}{\lt}\mid\frac{1}{x}\mid$
だから
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=0$
• x→−∞のときも同様
漸近線の方程式は，y=0

(4.6)　 $y=\frac{x}{\sin x}$

• 定義域は， $x\ne n\pi$

• x→nπのときの漸近線
$\lim_{x\rightarrow n\pi}\frac{x}{\sin x}=\pm\infty$
だから
漸近線の方程式は，x=nπ
• $\lim_{x\rightarrow n\pi}\mid x\times\frac{1}{\sin x}\mid\underset{=}{\gt}\mid x\mid$
だから
求める曲線は緑の破線に接し，y=|x|よりも大きい側と小さい側にある

(4.7)　 $y=e^{-\frac{x}{2}}\sin 3x$

• x→∞のときの漸近線
$\mid e^{-\frac{x}{2}}\sin 3x\mid\underset{=}{\lt}e^{-\frac{x}{2}}\rightarrow 0$
だから
漸近線の方程式は，y=0
• $\mid e^{-\frac{x}{2}}\sin 3x\mid\underset{=}{\lt}e^{-\frac{x}{2}}$
だから
求める曲線は赤の破線と青の破線の間および線上にある

(4.8)　 $y=\sin x\cdot\hspace{0.5}\sin 10x$

• 高周期関数 $\sin 10x$ は，低周期関数 $\sin x$ を振幅として（下端および上端として），その間を往復する．
• 漸近線はない.

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