三角関数のグラフ(周期)

== 三角関数のグラフ ==

【重要】･･･「初心者の勘」とは反対になることに注意！
○ $y=\sin n\theta$ のグラフは $y=\sin \theta$ のグラフを横方向に縮めたものになる．
○ $y=\sin\frac{\theta}{n}$ のグラフは $y=\sin \theta$ のグラフを横方向に伸ばしたものになる．
※ $\cos \theta,\hspace{5}\tan \theta$ についても同様

（解説）
【 $y=\sin 2\theta$ のグラフ】

【間違いの図】

○習ったばかりの高校生が $y=\sin 2\theta$ のグラフを描くと，右の図のようになることが多い．
これは間違いです．

○ $y=\sin 2\theta$ のグラフを正しく描くためには，一度は次のような対応表に立ち返って考えてみるとよいでしょう．

θ	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
2θ	0°	60°	90°	120°	180°	240°	270°	300°	360°
$\small\color{blue} \sin\theta$	$ 0 $	$ \frac{1}{2} $	$ \frac{1}{\sqrt{2}} $	$ \frac{\sqrt{3}}{2} $	$ 1 $	$ \frac{\sqrt{3}}{2} $	$ \frac{1}{\sqrt{2}} $	$ \frac{1}{2} $	$ 0 $
$\small\color{red} \sin 2\theta$	$ 0 $	$ \frac{\sqrt{3}}{2} $	$ 1 $	$ \frac{\sqrt{3}}{2} $	$ 0 $	$ \small-\frac{\sqrt{3}}{2} $	$ -1 $	$ \small-\frac{\sqrt{3}}{2} $	$ 0 $

○$x=45^{\circ}$のときに$2x=90^{\circ}$になり，$\sin 2x=1$です．
また，$x=90^{\circ}$のときに$2x=180^{\circ}$になり，$\sin 2x=0$です．
　次の図において，青●，赤●で示した点がそれらに対応しています．

【正しい図】

○このように２が付いていることにより，角度が速く増えるので，波の形が速く描かれます．

【 $y=\sin\frac{\theta}{2}$ のグラフ】
○ $y=\sin\frac{\theta}{2}$ のグラフを描くためには，次の対応表を作ります．

θ	0°	60°	90°	120°	180°	240°	270°	300°	360°
$\frac{\theta}{2}$	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
$\small\color{blue} \sin\theta$	$ 0 $	$ \frac{\sqrt{3}}{2} $	$ 1 $	$ \frac{\sqrt{3}}{2} $	$ 0 $	$ \small -\frac{\sqrt{3}}{2} $	$ -1 $	$\small -\frac{\sqrt{3}}{2} $	$ 0 $
$\color{#990000}\sin\frac{\theta}{2}$	$ 0 $	$ \frac{1}{2} $	$ \frac{1}{\sqrt{2}} $	$ \frac{\sqrt{3}}{2} $	$ 1 $	$ \frac{\sqrt{3}}{2} $	$ \frac{1}{\sqrt{2}} $	$ \frac{1}{2} $	$ 0 $

○$\theta=180^{\circ}$のときに$\frac{\theta}{2}=90^{\circ}$になり，$\sin\frac{\theta}{2}=1$です．
また，$\theta=360^{\circ}$のときに$\frac{\theta}{2}=180^{\circ}$になり，$\sin\frac{\theta}{2}=0$です．
　次の図において，青●，茶●で示した点がそれらに対応しています．

【正しい図】

○このように$\frac{1}{2}$が付いていることにより，角度が遅く増えるので，波の形がゆっくり描かれます．

【よくある間違い】
○ $y=\tan n\theta,\hspace{5}y=\tan\frac{\theta}{n}$ のグラフを書くときに，「リクライニングシートでトラブルが発生している図を描いてはいけない」

○ $\cos \theta,\hspace{5}\tan \theta$ についても $\sin \theta$ のときと同様ですが，
なぜか $y=\tan\frac{\theta}{2}$ のグラフを描いてもらうと，非常に多くの生徒が間違って「リクライニングシートでトラブルが発生している図」を描きます．

【間違いの図】

○１人分の座席の区画（１つの周期）が終わってから，次の人の座席を描くようにしましょう．

【正しい図】

《問題1》
　上欄に書かれた三角関数のグラフを下欄から選びなさい．
（ルール：問題を一つクリックし，続けて対応するものをクリックすると消えます．間違えば消えません．）

解説

※この項から下は，角度の単位を弧度法（ラジアン）で書く．（180°=πラジアン）

【1.周期関数の定義】
　関数f(x)において，pを0でない定数とするとき，任意の実数xに対して
f(x+p)=f(x)
が成り立つとき，f(x)はpを周期とする周期関数であるという．
【2.周期関数の性質】
　pが関数f(x)の周期であるとき，pの整数倍np (n=±1, ±2, ...)も周期である．
【3.基本周期】
　周期のうちで「正の値で最小のもの」を基本周期という．通常，単に周期という場合は，基本周期のことをいう．

【4.三角関数の周期(1)】
〇 y=sinx, y=cosxの周期は，2πである．
すなわち
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
が成り立つ．
〇 y=tanxの周期は，πである．
すなわち
tan(x+π)=tanx
が成り立つ．

【5.三角関数の周期(2)】
　kを正の定数とするとき，〇 y=sinkx, y=coskxの周期は， $\frac{2\pi}{k}$ である．
すなわち
$\sin\big{k(x+\frac{2\pi}{k})\big}=\sin kx$
$\cos\big{k(x+\frac{2\pi}{k})\big}=\cos kx$
が成り立つ．
〇 y=tankxの周期は， $\frac{\pi}{k}$ である．
すなわち
$\tan\big{k(x+\frac{\pi}{k})\big}=\tan kx$
が成り立つ．

《問題2》
　次の関数の周期を求めてください．角度の単位は，弧度法（ラジアン）とします
（正しい選択肢をクリックしてください．解答すれば採点結果と解説が出ます）

(1)　y=sin2x
π 2π 4π $\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{4}$

解説を読む

y=sin2xの周期は， $\frac{2\pi}{2}=\pi$ ･･･（答）

グラフは右図のようになり，0≦x≦πの図形を繰り返す
→解説を隠す←

(2)　y=cos3x
π 2π 3π $\frac{\pi}{3}$ $\frac{2\pi}{3}$

解説を読む

y=sin2xの周期は， $\frac{2\pi}{2}=\pi$ ･･･（答）

$\frac{\pi}{2}$ $\frac{2\pi}{3}$

グラフは右図のようになり，0≦x≦ $\frac{2\pi}{3}$ の図形を繰り返す
→解説を隠す←

(3)　y=tan $\frac{x}{2}$
π 2π 4π $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{2}$

解説を読む

y=sin2xの周期は， $\frac{2\pi}{2}=\pi$ ･･･（答）

グラフは右図のようになり，0≦x≦2πの図形を繰り返す
→解説を隠す←

(4)　y=sin $\frac{x}{2}$
π 2π 4π $\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{4}$

解説を読む

y=sin $\frac{x}{2}$ の周期は，4π･･･（答）

グラフは図のようになり，0≦x≦4πの図形を繰り返す
→解説を隠す←

(5)　y=cos $\frac{2x}{3}$
π 2π 3π $\frac{\pi}{3}$ $\frac{2\pi}{3}$

解説を読む

y=cos $\frac{2x}{3}$ の周期は，3π･･･（答）

グラフは図のようになり，0≦x≦3πの図形を繰り返す
→解説を隠す←

【三角関数の振幅,周期】
y=asin(bx+c), y=acos(bx+c)について
•　|a|を振幅という．
•　周期は， $\mid\frac{2\pi}{b}\mid$ に等しい．

【例】
(1)　y=−2sin(3x+ $\frac{\pi}{4}$ )について

• 振幅は|−2|=2（係数が負の場合は，正の値に直す）
• 周期は $\frac{2\pi}{3}$
• $y=-2\sin\big{3(x+\frac{\pi}{12})\big}$ と変形すると，y=−2sin(3x)のグラフを，x軸方向に $-\frac{\pi}{12}$ だけ平行移動したものであることが分かる．

$-\frac{\pi}{12}$

(2)　y=3cos(2x− $\frac{\pi}{2}$ )について

• 振幅は3
• 周期は $\frac{2\pi}{2}=\pi$
• $y=3\cos\big{2(x-\frac{\pi}{4})\big}$ と変形すると，y=3cos(2x)のグラフを，x軸方向に $\frac{\pi}{4}$ だけ平行移動したものであることが分かる．

$\frac{\pi}{4}$

※初歩的な注意
　x軸方向（x軸の正の向きの）平行移動は，式の見かけの符号と逆になることに注意（よく間違う）
• y=asin{b(x+α)}は，y=asinbxのグラフをx軸方向に−αだけ平行移動したもの
• y=asin{b(x−α)}は，y=asinbxのグラフをx軸方向に+αだけ平行移動したもの

《問題3》
　次の関数の振幅と周期を求めてください．また，y=asinbxや，y=acosbxのグラフをどちら向きにどれだけ移動したものか，答えてください．

a, bの値および正弦関数・余弦関数は変更せず，移動方向は向きと組み合わせて「正の最小の角で」答えてください．（角度は弧度法［ラジアン］とします．）

(1)　y=2sin(3x+π)

解説を読む

$y=2\sin\big{3(x+\frac{\pi}{3})\big}$ と変形する
振幅は2，周期は $\frac{2\pi}{3}$ で
y=2sin3xのグラフをx軸の負の向きに $\frac{\pi}{3}$ だけ平行移動したもの（桃色で示した部分）

*1) 三角関数の公式 $\sin x=\cos(x-\frac{\pi}{2})$ を用いると
$y=2\sin(3x+\pi)=2\cos(3x+\pi-\frac{\pi}{2})$
$=2\cos(3x+\frac{\pi}{2})=2\cos\big{3(x+\frac{\pi}{6})\big}$
と変形でき，y=2cos(3x)のグラフをx軸の負の向きに $\frac{\pi}{6}$ だけ平行移動したもの（水色で示した部分）
という解釈もできるが，「正弦関数・余弦関数は変更せず」という約束により，これは解答としない．

*2) 三角関数の公式 $\sin x=\sin(x-2\pi)$ を用いると
$y=2\sin(3x+\pi)=2\sin(3x-\pi)$
$=2\sin\big{3(x-\frac{\pi}{3})\big}$
と変形でき，y=2sin(3x)のグラフをx軸の正の向きに $\frac{\pi}{3}$ だけ平行移動したもの（青色で示した部分）
という解釈ができ，これも解となる．←問題がマズイ

*3) 三角関数の公式 $\sin x=-\sin(x-\pi)$ を用いると
$y=2\sin(3x+\pi)=-2\sin(3x)$
と変形でき，y=−2sin(3x)のグラフ（y=2sin(3x)のグラフを上下逆にしたもの）に一致する
という解釈ができるが，「a, bの値は変更しない」という約束により，これは解答としない．

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(2)　y=3cos(2x− $\frac{\pi}{2}$ )

解説を読む

y=3cos{2(x− $\frac{\pi}{4}$ )}
と変形する．
振幅は3，周期は $\frac{2\pi}{2}$ =πで
y=3sin2xのグラフをx軸の正の向きに $\frac{\pi}{4}$ だけ平行移動したもの（桃色で示した部分）

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(3)　 $y=-\frac{3}{2}\sin\big(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6}\big)$

解説を読む

$y=-\frac{3}{2}\sin\big{\frac{1}{2}(x+\frac{\pi}{3})\big}$
と変形する．
振幅は $\frac{3}{2}$ ，周期は $2\pi\times 2=4\pi$ で
$y=-\frac{3}{2}\sin\frac{1}{2}x$ のグラフをx軸の負の向きに $\frac{\pi}{3}$ だけ平行移動したもの（桃色で示した部分）

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(4)　 $y=\frac{5}{2}\cos\big(\frac{2}{3}x-\frac{\pi}{2}\big)$

解説を読む

$y=\frac{5}{2}\cos\big{\frac{2}{3}(x-\frac{3\pi}{4})\big}$
と変形する．
振幅は $\frac{5}{2}$ ，周期は $2\pi\times\frac{3}{2}=3\pi$ で
$y=\frac{5}{2}\cos\frac{2}{3}x$ のグラフをx軸の正の向きに $\frac{3\pi}{4}$ だけ平行移動したもの（桃色で示した部分）

三角関数の公式 $\cos(x-\frac{\pi}{2})=\sin x$ を用いると
この関数は $y=\frac{5}{2}\sin\big(\frac{2}{3}x\big)$ に等しいことが分かる

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