☀☂〜2直線の交点〜♠♣
【ベクトルの一次独立 ⇒ 2直線の交点の求め方】
\( \displaystyle \vec{a}\ne\vec{0},\hspace{3px}\vec{b}\ne\vec{0} \)
かつ \( \displaystyle \vec{a} \)∦ \( \displaystyle \vec{b} \)のとき
• \( \displaystyle s\vec{a}+t\vec{b}=\vec{0} \) ⇔ \( \displaystyle s=0,\hspace{5px}t=0 \)・・・(#1)
• \( \displaystyle s_1\vec{a}+ t_1\vec{b}\!=\!s_2\vec{a}+ t_2\vec{b} \) ⇔ \( \displaystyle s_1\!=\!s_2,\hspace{5px}t_1\!=\!t_2 \)・・・(#2)
(#1)の形で使ってもよいし,(#2)の形で使ってもよい.(#1)(#2)は互いに同値
【問題7】★
三角形 ABCにおいて \( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AB}}=\vec{b},\hspace{3px}\overrightarrow{\rm{AC}}=\vec{c} \)とおく.線分 ABの中点を P,線分 ACを1:3に内分する点を Q,三角形 ABCの重心を Rとおく.また,2点 A, Rを通る直線と線分 PQの交点を S,線分 SRを3:2に外分する点を Tとする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) \( \displaystyle \rm{\overrightarrow{AP}}= \) |
\( \displaystyle \vec{b},\hspace{3px}\rm{\overrightarrow{AQ}}= \) |
\( \displaystyle \vec{c} \)である. |
(2) \( \displaystyle \rm{\overrightarrow{AR}}= \) |
\( \displaystyle \vec{b}+ \) |
\( \displaystyle \vec{c} \), |
\( \displaystyle \rm{\overrightarrow{AS}}= \) |
\( \displaystyle \vec{b}+ \) |
\( \displaystyle \vec{c} \) である. |
(3) \( \displaystyle \rm{\overrightarrow{AT}}= \) |
\( \displaystyle \vec{b}+ \) |
\( \displaystyle \vec{c} \)である. |
(4) △PQTの面積が \( \displaystyle \frac{9}{4} \)でベクトル \( \displaystyle \vec{b},\hspace{3px}\vec{c} \)のなす角が60°のとき \( \displaystyle \vec{b} \)と \( \displaystyle \vec{c} \)の内積 \( \displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}= \)テ \( \displaystyle \sqrt{\hspace{36px}} \)ト である.
(2021年度 東北医薬科大学入試問題)
解説を読む
(解答)
(1)
Pは ABの中点だから
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\rm{AB}}=\frac{1}{2}\vec{b} \)
AQ:QC=1:3だから
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AQ}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\rm{AC}}=\frac{1}{4}\vec{c} \)
(2)
Rは三角形 \( \displaystyle \rm{A}(\vec{0}),\hspace{3px}\rm{B}(\vec{b}),\hspace{3px}\rm{C}(\vec{c}) \)の重心だから
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AR}}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c} \)
Sは AR上にあるから
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AS}}=s\overrightarrow{\rm{AR}}=s\big(\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}\big) \) ( sは実数)・・・(#1)
また, Sは PQ上にあるから
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AS}}=\overrightarrow{\rm{AP}}+ t\overrightarrow{\rm{PQ}}=\frac{1}{2}\vec{b}+ t\big(\frac{1}{4}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b}\big) \)
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AS}}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t)\vec{b}+ \frac{1}{4}t\vec{c} \) ( tは実数)・・・(#2)
\( \displaystyle \vec{b}\ne\vec{0},\hspace{3px}\vec{c}\ne\vec{0} \)かつ \( \displaystyle \vec{b} \)∦ \( \displaystyle \vec{c} \)と(#1)(#2)から \( \displaystyle \vec{b},\hspace{3px}\vec{c} \)の係数は,それぞれ等しいと言える.
\( \displaystyle \frac{1}{3}s=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t \) ⇔ 2s=3−3t・・・(#1')
\( \displaystyle \frac{1}{3}s=\frac{1}{4}t \) ⇔ 4s=3t・・・(#2')
連立方程式(#1')(#2')を解くと
\( \displaystyle s=\frac{1}{2},\hspace{5px}t=\frac{2}{3} \)
(#1)に戻すと
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AS}}=\frac{1}{2}\big(\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}\big)=\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c} \)
(3)
線分 SRを3:2に外分する点が Tだから
ST=3SR
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AT}}=\overrightarrow{\rm{AS}}+\overrightarrow{\rm{ST}}=\overrightarrow{\rm{AS}}+ 3\overrightarrow{\rm{SR}} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c}+ 3\big\{\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}-(\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c})\big\} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c}+ \frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c} \)
\( \displaystyle =\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c} \)
AP:AB=1:2, AQ:AC=1:4だから
△APQ:△ABC=1:8
また, AS:ST=1:3だから
△APQ:△PQT=1:3
したがって
\( \displaystyle \rm{\frac{\Delta PQT}{\Delta ABC}=\frac{S_1}{S_2}}=\frac{3}{8} \)
(4)
上記の(3)の結果から
\( \displaystyle \frac{3}{8}\rm{\Delta ABC}=\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle \frac{3}{8}\times\frac{1}{2}\mid\vec{b}\mid\cdot\mid\vec{c}\mid\cdot\sin 60^{\circ}=\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle \mid\vec{b}\mid\cdot\mid\vec{c}\mid=8\sqrt{3} \)
したがって
\( \displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}=\mid\vec{b}\mid\cdot\mid\vec{c}\mid\cos 60^{\circ}=8\sqrt{3}\times\frac{1}{2}=4\sqrt{3} \)
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☀☂〜2直線の交点〜♠♣
【問題8】★
次の設問(1)〜(3)までの空欄を,あてはまる数値や記号,式で埋めなさい.空欄は全部で3箇所である.
OA=4, OB=3, ∠AOB=60°の平行四辺形 OACBにおいて, \( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OA}}=\vec{a},\hspace{3px}\overrightarrow{\rm{OB}}=\vec{b} \)とする.また,辺 OAの中点を D,線分 CDを 1:2に内分する点を Eとする.
(1) \( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OE}} \)を \( \displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b} \)を用いて表すと \( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OE}}= \)1である.
(2) 直線 OEと辺 ACの交点を Fとする. \( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OF}} \)を \( \displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b} \)を用いて表すと \( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OF}}= \)2である.
(3) \( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AE}}= \)3である.
(2021年度 獨協大学入試問題)
解説を読む
(解答)
(1)
Oを原点とする位置ベクトルで表すとき, Dは, \( \displaystyle \rm{O}(\vec{0}) \), \( \displaystyle \rm{A}(\vec{\it a}) \)の中点だから
\( \displaystyle \rm D(\frac{\vec{\it a}}{2}) \)
Eは, \( \displaystyle \rm C(\vec{\it a}+\vec{\it b}) \), \( \displaystyle \rm D(\frac{\vec{\it a}}{2}) \)を1:2に内分する点だから
\( \displaystyle \frac{2(\vec{a}+ \vec{b})+ 1\times\dfrac{\vec{a}}{2}}{2+ 1}=\frac{5\vec{a}+ 4\vec{b}}{6} \)
したがって
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm OE}=\frac{5\vec{\it a}+ 4\vec{\it b}}{6} \)・・・(答)
(別解)
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OE}}=\overrightarrow{\rm{OD}}+\overrightarrow{\rm{DE}}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}) \)
\( \displaystyle =\frac{5\vec{a}+4\vec{b}}{6} \)・・・(答)
(2)
Fは OE上にあるから
\( \displaystyle \rm{\overrightarrow{OF}}=\it{s}\rm{\overrightarrow{OE}} \)
\( \displaystyle =s\big(\frac{5\vec{a}+4\vec{b}}{6}\big) \) (sは実数)・・・@
また, Fは AC上にもあるから
\( \displaystyle \rm{\overrightarrow{OF}}=\rm{\overrightarrow{OA}}+ t\rm{\overrightarrow{AC}} \)
\( \displaystyle =\vec{a}+t\vec{b} \)( tは実数)・・・A
【ベクトルの一次独立 ⇒ 2直線の交点の求め方】
\( \displaystyle \vec{a}\ne\vec{0},\hspace{3px}\vec{b}\ne\vec{0} \)かつ \( \displaystyle \vec{a} \)∦ \( \displaystyle \vec{b} \)(平行でない)のとき
\( \displaystyle s\vec{a}+t\vec{b}=\vec{0} \) ⇔ \( \displaystyle s=0,\hspace{5px}t=0 \)・・・(#1)
\( \displaystyle s_1\vec{a}\!+\!t_1\vec{b}\!=\!s_2\vec{a}\!+\!t_2\vec{b} \) ⇔ \( \displaystyle s_1\!=\!s_2,\hspace{3px}t_1\!=\!t_2 \)・・・(#2)
@Aにおいて, \( \displaystyle \vec{a}\ne\vec{0},\hspace{3px}\vec{b}\ne\vec{0} \)かつ \( \displaystyle \vec{a} \)∦ \( \displaystyle \vec{b} \)だから
\( \displaystyle \frac{5}{6}s=1 \)
\( \displaystyle \frac{4}{6}s=t \)
この連立方程式を解くと
\( \displaystyle s=\frac{6}{5},\hspace{3px}t=\frac{4}{5} \)
Aに戻すと
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OF}}=\vec{a}+\frac{4}{5}\vec{b} \)・・・(答)
(3)
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AE}}=\frac{5\vec{a}+4\vec{b}}{6}-\vec{a}=\frac{-\vec{a}+ 4\vec{b}}{6} \)
\( \displaystyle \mid\overrightarrow{\rm{AE}}\mid^2=\frac{1}{36}\big(\mid\vec{a}\mid^2-8\vec{a}\cdot\vec{b}+ 16\mid\vec{b}\mid^2\big) \)
\( \displaystyle =\frac{1}{36}\big(16-8\times 4\times 3\times\frac{1}{2}+16\times 9\big)=\frac{112}{36}=\frac{28}{9} \)
\( \displaystyle \mid\overrightarrow{\rm{AE}}\mid=\sqrt{\frac{28}{9}}=\frac{2\sqrt{7}}{3} \)・・・(答)
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