【問題1】☆
　1辺の長さが1の正六角形の頂点を反時計回りにA, B, C, D, E, Fとする．このとき，2つのベクトル\( \overrightarrow{\rm{AC}},\hspace{2px}\overrightarrow{\rm{AD}} \)の内積\( \overrightarrow{\rm{AC}}\cdot\overrightarrow{\rm{AD}} \)の値はアである．

（解答）
• 中学校で習う三平方の定理を使えば，6個ある正三角形の高さが\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \) であることが分かる
• \( \displaystyle \mid\overrightarrow{\rm{AC}}\mid=\sqrt{3},\hspace{3px}\mid\overrightarrow{\rm{AD}}\mid=2 \)
• ∠CAD=30°
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AC}}\cdot\overrightarrow{\rm{AD}}=\sqrt{3}\times 2\times\cos 30^{\circ} \)
\( \displaystyle =\sqrt{3}\times 2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3 \)
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【問題2】☆
　ベクトル\( \displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b} \)が\( \displaystyle \mid\vec{a}\mid=3,\hspace{3px}\mid\vec{b}\mid=1,\hspace{3px}\mid\vec{a}+\vec{b}\mid=\sqrt{13} \)を満たすとき，\( \displaystyle \vec{a} \)と\( \displaystyle \vec{b} \)のなす角θはθ=(d)である．ただし，0°≦θ≦180°とする．

（解答）
\( \displaystyle \mid\vec{a}+\vec{b}\mid^2=13 \)
\( \displaystyle \mid\vec{a}\mid^2+ 2\vec{a}\cdot\vec{b}+\mid\vec{b}\mid^2=13 \)
\( 9+ 2\times 3\times 1\cos\theta+ 1=13 \)
\( 6\cos\theta=3 \)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \theta=60^{\circ} \)･･･（答）
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【問題3】☆
　平面ベクトル\( \displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b} \)について，\( \displaystyle \mid\vec{a}\mid=3,\hspace{3px}\mid\vec{b}\mid=2 \), \( \displaystyle \mid 2\vec{a}-3\vec{b}\mid=2\sqrt{3} \)が成り立つとき， \( \displaystyle \mid 3\vec{a}-2\vec{b}\mid=2\sqrt{3} \)の値は である．

（解答）
\( \displaystyle \mid\vec{a}\mid=3 \)により， \( \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{a}=9 \)･･･�@
\( \displaystyle \mid\vec{b}\mid=2 \)により， \( \displaystyle \vec{b}\cdot\vec{b}=4 \)･･･�A
\( \displaystyle \mid 2\vec{a}-3\vec{b}\mid=2\sqrt{3} \)により，
\( \displaystyle (2\vec{a}-3\vec{b})\cdot(2\vec{a}-3\vec{b})=12 \)
\( \displaystyle 4\vec{a}\cdot\vec{a}-12\vec{a}\cdot\vec{b}+ 9\vec{b}\cdot\vec{b}=12 \)
�@�Aを用いると
\( \displaystyle 36-12\vec{a}\cdot\vec{b}+ 36=12 \)
\( \displaystyle 12\vec{a}\cdot\vec{b}=60 \)
\( \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=5 \)･･･�B
このとき
\( \displaystyle \mid 3\vec{a}-2\vec{b}\mid^2=9\vec{a}\cdot\vec{a}-12\vec{a}\cdot\vec{b}+ 4\vec{b}\cdot\vec{b} \)
\( \displaystyle =81-12\vec{a}\cdot\vec{b}+ 16=97-60=37 \)
\( \displaystyle \mid 3\vec{a}-2\vec{b}\mid=\sqrt{37} \)･･･（答） →解説を隠す←

【問題4】☆
　ベクトル\( \displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b} \)は\( \displaystyle \mid\vec{a}\mid=\sqrt{5},\hspace{3px}\mid\vec{b}\mid=\sqrt{3},\hspace{3px}\mid\vec{a}-\vec{b}\mid=3 \)を満たす．\( \displaystyle \vec{c}=\vec{a}+ t\vec{b} \)（tは実数）とおく．このとき，\( \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}= \)(b)であり， \( \displaystyle \vec{a} \)と\( \displaystyle \vec{c} \) のなす角が90°であるようなtの値は (c)である．

（解答）
\( \displaystyle \mid\vec{a}-\vec{b}\mid=3 \)だから
\( \displaystyle \mid\vec{a}-\vec{b}\mid^2=9 \)
\( \displaystyle \mid\vec{a}\mid^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\mid\vec{b}\mid^2=9 \)
\( \displaystyle 5-2\vec{a}\cdot\vec{b}+ 3=9 \)
\( \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=-\frac{1}{2} \)･･･（答）
\( \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{c}=0 \)となるときは
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【問題5】★
　２つの単位ベクトル\( \displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b} \)のなす角が60°であるとする．\( \displaystyle \vec{a}+t\vec{b} \)と\( \displaystyle t\vec{a}-2\vec{b} \)とが垂直であるような正の実数tの値はカである．

（解答）
\( \displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b} \)は，単位ベクトルだから
\( \displaystyle \mid\vec{a}\mid=1,\hspace{3px}\mid\vec{b}\mid=1 \)･･･�@
また，60°だから
\( \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot 1\cdot\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2} \)･･･�A
ベクトルの垂直条件から
\( \displaystyle (\vec{a}+ t\vec{b})\cdot(t\vec{a}-2\vec{b})=0 \)
\( \displaystyle t\mid\vec{a}\mid^2+(t^2-2)\vec{a}\cdot\vec{b}-2t\mid\vec{b}\mid^2=0 \)
\( \displaystyle t+(t^2-2)\times\frac{1}{2}-2t=0 \)
\( \displaystyle 2t+(t^2-2)-4t=0 \)
\( \displaystyle t^2-2t-2=0 \)
解の公式により
\( \displaystyle t=1\pm\sqrt{3} \)
t>0により
\( \displaystyle t=1+\sqrt{3} \)･･･（答）
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【問題6】★
　Oを原点とする平面上に点A, B, Cがあり，\( \displaystyle \mid\overrightarrow{\rm{OA}}\mid=1 \),\( \displaystyle \mid\overrightarrow{\rm{OB}}\mid=2,\hspace{3px}\overrightarrow{\rm{OA}}\cdot\overrightarrow{\rm{OB}}=-1 \)，三角形ABCの重心はOであるとする．このとき，∠AOB=アである．また，\( \displaystyle \mid\overrightarrow{\rm{OC}}\mid= \)イであり，三角形ABCの面積はウである．

（解答）
∠AOB=θとおくと
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OA}}\cdot\overrightarrow{\rm{OB}} \)
\( \displaystyle =\mid\overrightarrow{\rm{OA}}\mid\cdot\mid\overrightarrow{\rm{OB}}\mid\cos\theta \)
\( \displaystyle =1\times 2\times\cos\theta=-1 \)
\( \displaystyle \cos\theta=-\frac{1}{2} \)
θ=120°→ア
三角形ABCの重心はOであるから
\( \displaystyle \frac{\overrightarrow{\rm{OA}}+\overrightarrow{\rm{OB}}+\overrightarrow{\rm{OC}}}{3}=\vec{0} \)
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OC}}=-(\overrightarrow{\rm{OA}}+\overrightarrow{\rm{OB}}) \)
\( \displaystyle \mid\overrightarrow{\rm{OC}}\mid^2=(\overrightarrow{\rm{OA}}+\overrightarrow{\rm{OB}})\cdot(\overrightarrow{\rm{OA}}+\overrightarrow{\rm{OB}}) \)
\( \displaystyle =\mid\overrightarrow{\rm{OA}}\mid^2+ 2\overrightarrow{\rm{OA}}\cdot\overrightarrow{\rm{OB}}+\mid\overrightarrow{\rm{OB}}\mid^2 \)
=1−2+4=3
\( \displaystyle \mid\overrightarrow{\rm{OC}}\mid=\sqrt{3} \)→イ･･･（答）
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OC}}=-(\overrightarrow{\rm{OA}}+\overrightarrow{\rm{OB}}) \)だから
\( \displaystyle \rm{\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA})} \)
\( =-(1-1)=0 \)
したがって
∠COA=φとおくと，φ=90°
また
∠BOC=360°−(120°+90°)=150°
\( \rm{\Delta ABC=\Delta OAB+\Delta OBC+\Delta OCA} \)
\( \rm{\!=\!\dfrac{1}{2}\Big(\!\mid\!\overrightarrow{OA}\!\mid\!\cdot\!\mid\!\overrightarrow{OB}\!\mid\!\sin 120^{\circ}\!+\!\mid\overrightarrow{OB}\!\mid\!\cdot\!\mid\!\overrightarrow{OC}\!\mid\!\sin 150^{\circ}} \)
\( \rm{+\mid\overrightarrow{OC}\mid\cdot\mid\overrightarrow{OA}\mid\sin 90^{\circ}\Big)} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}(1\cdot 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot 1\cdot 1) \)
\( \displaystyle =\frac{3}{2}\sqrt{3} \)･･･（答）
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【ベクトルの一次独立 ⇒ 2直線の交点の求め方】
\( \displaystyle \vec{a}\ne\vec{0},\hspace{3px}\vec{b}\ne\vec{0} \) かつ\( \displaystyle \vec{a} \)∦\( \displaystyle \vec{b} \)のとき
•\( \displaystyle s\vec{a}+t\vec{b}=\vec{0} \) ⇔ \( \displaystyle s=0,\hspace{5px}t=0 \)･･･(#1)
•\( \displaystyle s_1\vec{a}+ t_1\vec{b}\!=\!s_2\vec{a}+ t_2\vec{b} \) ⇔ \( \displaystyle s_1\!=\!s_2,\hspace{5px}t_1\!=\!t_2 \)･･･(#2)
(#1)の形で使ってもよいし，(#2)の形で使ってもよい．(#1)(#2)は互いに同値

【問題7】★
　三角形ABCにおいて\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AB}}=\vec{b},\hspace{3px}\overrightarrow{\rm{AC}}=\vec{c} \)とおく．線分ABの中点をP，線分ACを1：3に内分する点をQ，三角形ABCの重心をRとおく．また，2点A, Rを通る直線と線分PQの交点をS，線分SRを3：2に外分する点をTとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　\( \displaystyle \rm{\overrightarrow{AP}}= \)

ア

イ

\( \displaystyle \vec{b},\hspace{3px}\rm{\overrightarrow{AQ}}= \)

ウ

エ

\( \displaystyle \vec{c} \)である．

(2)　\( \displaystyle \rm{\overrightarrow{AR}}= \)

オ

カ

\( \displaystyle \vec{b}+ \)

キ

ク

\( \displaystyle \vec{c} \)，

\( \displaystyle \rm{\overrightarrow{AS}}= \)

ケ

コ

\( \displaystyle \vec{b}+ \)

サ

シ

\( \displaystyle \vec{c} \) である．

(3)　\( \displaystyle \rm{\overrightarrow{AT}}= \)

ス

セ

\( \displaystyle \vec{b}+ \)

ソ

タ

\( \displaystyle \vec{c} \)である．

(4)　△PQTの面積が\( \displaystyle \frac{9}{4} \)でベクトル\( \displaystyle \vec{b},\hspace{3px}\vec{c} \)のなす角が60°のとき\( \displaystyle \vec{b} \)と\( \displaystyle \vec{c} \)の内積\( \displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}= \)テ\( \displaystyle \sqrt{\hspace{36px}} \)ト　　　　 である．

（解答）
(1)
PはABの中点だから
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\rm{AB}}=\frac{1}{2}\vec{b} \)
AQ:QC=1:3だから
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AQ}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\rm{AC}}=\frac{1}{4}\vec{c} \)
(2)
Rは三角形\( \displaystyle \rm{A}(\vec{0}),\hspace{3px}\rm{B}(\vec{b}),\hspace{3px}\rm{C}(\vec{c}) \)の重心だから
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AR}}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c} \)
SはAR上にあるから
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AS}}=s\overrightarrow{\rm{AR}}=s\big(\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}\big) \)　（sは実数）･･･(#1)
また，SはPQ上にあるから
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AS}}=\overrightarrow{\rm{AP}}+ t\overrightarrow{\rm{PQ}}=\frac{1}{2}\vec{b}+ t\big(\frac{1}{4}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b}\big) \)
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AS}}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t)\vec{b}+ \frac{1}{4}t\vec{c} \)　（tは実数）･･･(#2)
\( \displaystyle \vec{b}\ne\vec{0},\hspace{3px}\vec{c}\ne\vec{0} \)かつ\( \displaystyle \vec{b} \)∦\( \displaystyle \vec{c} \)と(#1)(#2)から\( \displaystyle \vec{b},\hspace{3px}\vec{c} \)の係数は，それぞれ等しいと言える.
\( \displaystyle \frac{1}{3}s=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t \) ⇔ 2s=3−3t･･･(#1')
\( \displaystyle \frac{1}{3}s=\frac{1}{4}t \) ⇔ 4s=3t･･･(#2')
連立方程式(#1')(#2')を解くと
\( \displaystyle s=\frac{1}{2},\hspace{5px}t=\frac{2}{3} \)
(#1)に戻すと
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AS}}=\frac{1}{2}\big(\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}\big)=\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c} \)
(3)
線分SRを3：2に外分する点がTだから
ST=3SR
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AT}}=\overrightarrow{\rm{AS}}+\overrightarrow{\rm{ST}}=\overrightarrow{\rm{AS}}+ 3\overrightarrow{\rm{SR}} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c}+ 3\big\{\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}-(\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c})\big\} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c}+ \frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c} \)
\( \displaystyle =\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c} \)
AP:AB=1:2, AQ:AC=1:4だから
△APQ:△ABC=1:8
また，AS:ST=1:3だから
△APQ:△PQT=1:3
したがって
\( \displaystyle \rm{\frac{\Delta PQT}{\Delta ABC}=\frac{S_1}{S_2}}=\frac{3}{8} \)
(4)
上記の(3)の結果から
\( \displaystyle \frac{3}{8}\rm{\Delta ABC}=\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle \frac{3}{8}\times\frac{1}{2}\mid\vec{b}\mid\cdot\mid\vec{c}\mid\cdot\sin 60^{\circ}=\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle \mid\vec{b}\mid\cdot\mid\vec{c}\mid=8\sqrt{3} \)
したがって
\( \displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}=\mid\vec{b}\mid\cdot\mid\vec{c}\mid\cos 60^{\circ}=8\sqrt{3}\times\frac{1}{2}=4\sqrt{3} \)
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【問題8】★
　次の設問(1)〜(3)までの空欄を，あてはまる数値や記号，式で埋めなさい．空欄は全部で3箇所である．
　OA=4, OB=3, ∠AOB=60°の平行四辺形OACBにおいて，\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OA}}=\vec{a},\hspace{3px}\overrightarrow{\rm{OB}}=\vec{b} \)とする．また，辺OAの中点をD，線分CDを1:2に内分する点をEとする．
(1)　\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OE}} \)を\( \displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b} \)を用いて表すと\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OE}}= \)1である．
(2)　直線OEと辺ACの交点をFとする．\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OF}} \)を\( \displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b} \)を用いて表すと\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OF}}= \)2である．
(3)　\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AE}}= \)3である．

（解答）
(1)
Oを原点とする位置ベクトルで表すとき，Dは，\( \displaystyle \rm{O}(\vec{0}) \),\( \displaystyle \rm{A}(\vec{\it a}) \)の中点だから
\( \displaystyle \rm D(\frac{\vec{\it a}}{2}) \)
Eは，\( \displaystyle \rm C(\vec{\it a}+\vec{\it b}) \),\( \displaystyle \rm D(\frac{\vec{\it a}}{2}) \)を1:2に内分する点だから
\( \displaystyle \frac{2(\vec{a}+ \vec{b})+ 1\times\dfrac{\vec{a}}{2}}{2+ 1}=\frac{5\vec{a}+ 4\vec{b}}{6} \)
したがって
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm OE}=\frac{5\vec{\it a}+ 4\vec{\it b}}{6} \)･･･（答）
（別解）
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OE}}=\overrightarrow{\rm{OD}}+\overrightarrow{\rm{DE}}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}) \)
\( \displaystyle =\frac{5\vec{a}+4\vec{b}}{6} \)･･･（答）
(2)
FはOE上にあるから
\( \displaystyle \rm{\overrightarrow{OF}}=\it{s}\rm{\overrightarrow{OE}} \)
\( \displaystyle =s\big(\frac{5\vec{a}+4\vec{b}}{6}\big) \)　（sは実数）･･･�@
また，FはAC上にもあるから
\( \displaystyle \rm{\overrightarrow{OF}}=\rm{\overrightarrow{OA}}+ t\rm{\overrightarrow{AC}} \)
\( \displaystyle =\vec{a}+t\vec{b} \)（tは実数）･･･�A
�@�Aにおいて，\( \displaystyle \vec{a}\ne\vec{0},\hspace{3px}\vec{b}\ne\vec{0} \)かつ\( \displaystyle \vec{a} \)∦\( \displaystyle \vec{b} \)だから
\( \displaystyle \frac{5}{6}s=1 \)
\( \displaystyle \frac{4}{6}s=t \)
この連立方程式を解くと
\( \displaystyle s=\frac{6}{5},\hspace{3px}t=\frac{4}{5} \)
�Aに戻すと
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OF}}=\vec{a}+\frac{4}{5}\vec{b} \)･･･（答）
(3)
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{AE}}=\frac{5\vec{a}+4\vec{b}}{6}-\vec{a}=\frac{-\vec{a}+ 4\vec{b}}{6} \)
\( \displaystyle \mid\overrightarrow{\rm{AE}}\mid^2=\frac{1}{36}\big(\mid\vec{a}\mid^2-8\vec{a}\cdot\vec{b}+ 16\mid\vec{b}\mid^2\big) \)
\( \displaystyle =\frac{1}{36}\big(16-8\times 4\times 3\times\frac{1}{2}+16\times 9\big)=\frac{112}{36}=\frac{28}{9} \)
\( \displaystyle \mid\overrightarrow{\rm{AE}}\mid=\sqrt{\frac{28}{9}}=\frac{2\sqrt{7}}{3} \)･･･（答）
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【角の二等分線定理】
ADが∠Aの二等分線であるとき
BD:DC=BA:AC
が成り立つ．

【問題9】★★
　平面上に三角形OABと点Pがある．\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OA}}=\vec{a},\hspace{2px}\overrightarrow{\rm{OB}}=\vec{b}, \)
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OP}}=\vec{p} \)とおく．線分OPが∠AOBを二等分し，\( \displaystyle \mid\vec{a}\mid=1,\hspace{4px}\mid\vec{b}\mid=3,\hspace{4px}\mid\vec{p}\mid=4,\hspace{4px}\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{3}{8} \)のとき，以下の問いに答えよ．
(1)　θ=∠AOPとするとき，cosθの値を求めよ．
(2)　\( \displaystyle \vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b} \)を満たす実数s, tを求めよ．

（解答）
《角の二等分線定理を使う答案》
(1)(2)
OPとABの交点をDとすると，角の二等分線定理により
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OD}}=\frac{3\vec{a}+ \vec{b}}{4} \)
\( \displaystyle \vec{p}=t\overrightarrow{\rm{OD}}=t\times\frac{3\vec{a}+ \vec{b}}{4} \)･･･�@
ここで，問題の仮定により\( \displaystyle \mid\vec{p}\mid=4 \)だから
\( \displaystyle \mid\vec{p}\mid^2=\frac{t^2}{16}\big(9\mid\vec{a}\mid^2+ 6\vec{a}\cdot\vec{b}+\mid\vec{b}\mid^2\big) \)
\( \displaystyle =\frac{t^2}{16}\big(9+ 6\times\frac{3}{8}+ 9\big)=\frac{81}{64}t^2 \)
\( \displaystyle \mid\vec{p}\mid=\frac{9}{8}t=4 \)
\( \displaystyle t=\frac{32}{9} \)
�@に戻すと
\( \displaystyle \vec{p}=\frac{\underset{\cancel{32}}{8}}{9}\times\frac{3\vec{a}+ \vec{b}}{\cancel{4}}=\frac{8}{3}\vec{a}+\frac{8}{9}\vec{b} \)･･･（答）
次に（cosθを求める）
\( \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{p}=\frac{8}{3}\mid\vec{a}\mid^2+\frac{8}{9}\vec{a}\cdot\vec{b} \)
\( \displaystyle =\frac{8}{3}+\frac{8}{9}\times\frac{3}{8}=3 \)･･･�A
他方，問題の仮定により
\( \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{p}=\mid\vec{a}\mid\times\mid\vec{p}\mid\times\cos\theta=4\cos\theta \)･･･�B
�A�Bより
\( \displaystyle 4\cos\theta=3 \)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{3}{4} \)･･･（答）
別解《２倍角公式を使う答案》
(1)
\( \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{3}{8} \)だから
\( \displaystyle \mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid\cos 2\theta=\frac{3}{8} \)
\( \displaystyle 1\times 3\times\cos 2\theta=\frac{3}{8} \)
\( \displaystyle \cos 2\theta=\frac{1}{8} \)
余弦の２倍角公式により
\( \displaystyle \cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1 \)だから
\( \displaystyle 2\cos^2\theta-1=\frac{1}{8} \)
\( \displaystyle 2\cos^2\theta=\frac{9}{8} \)
\( \displaystyle \cos^2\theta=\frac{9}{16} \)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{3}{4}\hspace{5px}(\gt 0) \)･･･（答）
(2)
\( \displaystyle \vec{p}=s\vec{a}+ t\vec{b} \)とおくと
\( \displaystyle \vec{p}\cdot\vec{a}=s\mid\vec{a}\mid^2+ t\vec{b}\cdot\vec{a} \)
\( \displaystyle 4\times 1\times\frac{3}{4}=s+ t\times\frac{3}{8} \)
\( \displaystyle 3=s+\frac{3}{8}t \)･･･(#1)
また
\( \displaystyle \vec{p}\cdot\vec{b}=s\vec{a}\cdot\vec{b}+ t\mid\vec{b}\mid^2 \)
\( \displaystyle 4\times 3\times\frac{3}{4}=s\frac{3}{8}+t\times 9 \)
\( \displaystyle 9=\frac{3}{8}s+9t \)･･･(#2)
(#1)(#2)の連立方程式を解くと
\( \displaystyle s=\frac{8}{3},\hspace{3px}t=\frac{8}{9} \)
\( \displaystyle \vec{p}=\frac{8}{3}\vec{a}+\frac{8}{9}\vec{b} \)･･･（答）
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【問題10】★★★
　異なる３つの点P, Q, Rが原点Oを中心とする半径1の円C上にあり，\( \displaystyle 2\overrightarrow{\rm{OP}}+(\sqrt{3}-1)\overrightarrow{\rm{OQ}}+\sqrt{6}\hspace{3px}\overrightarrow{\rm{OR}}=\vec{0} \)を満たしている．ここで，点Pの座標は(1, 0)であり，点Qは第1象限にあるとする．また，△PQRの重心をGとし，\( \displaystyle \vec{g}=\overrightarrow{\rm{OG}} \)とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)　∠QOR, ∠ROPを求めよ．
(2)　△PQRの面積を求めよ．
(3)　動点Sが円C上の点全体を動くとし，\( \displaystyle \vec{s}=\overrightarrow{\rm{OS}} \)とおく．このとき，\( \displaystyle \mid\overrightarrow{\rm{PS}}\mid^2\!+\!\mid\overrightarrow{\rm{QS}}\mid^2\!+\!\mid\overrightarrow{\rm{RS}}\mid^2 \)を\( \displaystyle \vec{g} \)と\( \displaystyle \vec{s} \)を用いて表せ．
(4)　動点Sが円C上の点全体を動くとき，\( \displaystyle \mid\overrightarrow{\rm{PS}}\mid^2+\mid\overrightarrow{\rm{QS}}\mid^2+\mid\overrightarrow{\rm{RS}}\mid^2 \)の最大値を\( \displaystyle \mid\vec{g}\mid \)を用いて表せ．

（解答）
\( \displaystyle (\sqrt{3}-1)\overrightarrow{\rm{OQ}}+\sqrt{6}\hspace{3px}\overrightarrow{\rm{OR}}=-2\overrightarrow{\rm{OP}} \)
において，
\( \displaystyle |\overrightarrow{\rm{OP}}|=1,\hspace{3px}|\overrightarrow{\rm{OQ}}|=1,\hspace{3px}|\overrightarrow{\rm{OR}}|=1 \)
だから，右図のように点OP' R'をとると
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OP'}}=-2\overrightarrow{\rm{OP}},\hspace{5px}|\overrightarrow{\rm{OP'}}|=2 \)
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{OR'}}=\sqrt{6}\overrightarrow{\rm{OR}},\hspace{5px}|\overrightarrow{\rm{OR'}}|=\sqrt{6} \)
\( \displaystyle \overrightarrow{\rm{R'P'}}=(\sqrt{3}-1)\overrightarrow{\rm{OQ}},\hspace{5px}|\overrightarrow{\rm{R'P'}}|=\sqrt{3}-1 \)
そこで，△OP' R'について，余弦定理を用いて，内角の大きさを求める
cos(∠OP' R' )=\( \displaystyle \frac{2^2+(\sqrt{3}-1)^2-(\sqrt{6})^2}{2\times 2\times(\sqrt{3}-1)}=-\frac{1}{2} \)
∠OP' R'=120°
cos(∠OR' P' )=\( \displaystyle \frac{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{3}-1)^2-2^2}{2\times\sqrt{6}\times(\sqrt{3}-1)}=\frac{1}{\sqrt{2}} \)
∠OR' P'=45°
したがって
∠R'OP'=15°
∠QOP'=120°, ∠R'OP'=15°だから
　∠QOR=135°･･･（答）
　∠ROP=165°･･･（答）
(2)
\( \displaystyle \rm{\Delta PQR=\Delta OPQ+\Delta OQR+\Delta ORP} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin 135^{\circ}+\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin 165^{\circ} \)
\( \displaystyle +\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin 60^{\circ} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}(\sin 135^{\circ}+\sin 165^{\circ}+\sin 60^{\circ}) \)
ここで
\( \displaystyle \sin 135^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2},\hspace{5px}\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \displaystyle \sin 165^{\circ}=\sin(120^{\circ}+ 45^{\circ}) \)
\( \displaystyle =\sin 120^{\circ}\cos 45^{\circ}+\cos 120^{\circ}\sin 45^{\circ} \)
\( \displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \)
\( \displaystyle \rm{\Delta PQR}=\frac{1}{2}\big\{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\big\} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}\big\{\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{2}+ 2\sqrt{3}}{4}\big\}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}+ 2\sqrt{3}}{8} \)･･･（答）
(3)
\( \displaystyle \vec{s}=\rm{\overrightarrow{OS}} \)の他に，\( \displaystyle \vec{p}=\rm{\overrightarrow{OP}},\hspace{3px}\vec{q}=\rm{\overrightarrow{OQ}},\hspace{3px}\vec{r}=\rm{\overrightarrow{OP}} \)とおくと，
\( \displaystyle \rm{\mid\overrightarrow{PS}\mid^2+\mid\overrightarrow{QS}\mid^2+\mid\overrightarrow{RS}\mid^2} \)
\( \displaystyle =|\vec{s}-\vec{p}|^2+|\vec{s}-\vec{q}|^2+|\vec{s}-\vec{r}|^2 \)
\( \displaystyle \!=\!|\vec{s}|^2\!-\!2\vec{s}\cdot\vec{p}\!+\!|\vec{p}|^2\!+\!|\vec{s}|^2\!-\!2\vec{s}\cdot\vec{q}\!+\!|\vec{q}|^2\!+\!|\vec{s}|^2\!-\!2\vec{s}\cdot\vec{r}\!+\!|\vec{r}|^2 \)
\( \displaystyle =6-2\vec{s}(\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}) \)
ここで
\( \displaystyle \vec{g}=\frac{\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}}{3} \)
だから
\( \displaystyle \vec{p}+\vec{q}+\vec{r}=3\vec{g} \)
結局
\( \displaystyle \rm{\mid\overrightarrow{PS}\mid^2+\mid\overrightarrow{QS}\mid^2+\mid\overrightarrow{RS}\mid^2}=6-6\vec{s}\cdot\vec{g} \)･･･（答）
(4)
2つのベクトル\( \displaystyle \vec{s},\hspace{3px}\vec{g} \)のなす角をθとおくと，\( \displaystyle \mid\vec{s}\mid=1,\hspace{3px}\vec{s}\cdot\vec{g}=\mid\vec{s}\mid\cdot\mid\vec{g}\mid\cos\theta=\mid\vec{g}\mid\cos\theta \)だから
\( \displaystyle 6-6\vec{s}\cdot\vec{g}\leqq 6+ 6\mid\vec{g}\mid \)
等号は，θ=180°のとき
したがって，最大値は\( \displaystyle 6+ 6\mid\vec{g}\mid \)･･･（答） →解説を隠す←