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微分積分など多くの計算において，積（掛け算）よりも和・差・定数倍となっている方が計算しやすく，積の形で表された式を和・差・定数倍で表された式に直したい場面がよくあります．三角関数の積については，右の積和の公式で和・差の形に直すことができます．
逆に，因数分解したいときなどにおいては和・差を積に直すことになります． 「全部，覚えなければいけないのか」と聞かれることがありますが，単語の丸暗記のようなものではなくお互いにつながった内容なので，
(1) 筆者はこれらの公式を覚えずに，必要な時に三角関数の加法定理から作っていますが，
(2) 何度も使っているうちに，自然に身に付いてしまうのもＯＫです．
【積和の公式】 （積を和・差に直す公式）
三角関数の積和の公式は加法定理から導かれます． sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ +)sin(α−β)=sinα·cosβ−cosα·sinβ sin(α+β)+sin(α−β)=2sinα·cosβ…(1) ゆえにsinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α−β)} sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ −)sin(α−β)=sinα·cosβ−cosα·sinβ sin(α+β)−sin(α−β)=2cosα·sinβ…(2) ゆえにcosα·sinβ={sin(α+β)−sin(α−β)} cos(α+β)=cosα·cosβ−sinα·sinβ +)cos(α−β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ cos(α+β)+cos(α−β)=2cosα·cosβ…(3) ゆえにcosα·cosβ={cos(α+β)+cos(α−β)} cos(α+β)=cosα·cosβ−sinα·sinβ −)cos(α−β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinα·sinβ…(4) ゆえにsinα·sinβ=−{cos(α+β)−cos(α−β)}
【和積の公式】 （和・差を積に直す公式）
三角関数の和積の公式は積和の公式を書き直したものです． (1)(2)(3)(4)において α+β=A, α−β=Bとおくと α=, β=となるから (1)→sinA+sinB=2sincos (2)→sinA−sinB=2cossin (3)→cosA+cosB=2coscos (4)→cosA−cosB=−2sinsin  |
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