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♪♬∃∀ ∅====♫♠♣♥♦
■三角関数■
増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線，グラフ
《例 T1》
\(\displaystyle y=\sin x\) のグラフ

\(-2\pi\) \(-\frac{3\pi}{2}\) \(-\pi\) \(-\frac{\pi}{2}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\pi\) \(\frac{3\pi}{2}\) \(2\pi\)

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=\cos x\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\cdots\)
\(\displaystyle y^{"}=-\sin x\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=0,\pi,2\pi,\cdots\)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small 0\)\(\small \frac{\pi}{2}\)\(\small \pi\)\(\small \frac{3\pi}{2}\)\(\small 2\pi\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)
\(\small y\)\(\small\displaystyle 0\)\(\small 1\)\(\small\displaystyle 0\)\(\small -1\)\(\small 0\)
■漸近線
《縦線形》
有限の値 \(a\) について \(\small x\rightarrow a\) のとき \(\small y\rightarrow \pm\infty\) となるものはないから，縦線 \(\small x=a\) の形）の漸近線はない
《横線形・斜め線形》
漸近線はない
■まとめ
\(\small\displaystyle x=-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\cdots\) のとき，極小値 \(\small -1\)　(→ ●)
\(\small\displaystyle x=\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\cdots\) のとき，極大値 \(\small 1\)　(→ ●)
\(\small\displaystyle (0,0),(\pi,0),\cdots\) のとき変曲点　(→ ●)
漸近線 なし

《例 T2》
\(\displaystyle y=\sin^2 x\) のグラフ


■まとめ
\(\small\displaystyle x=\cdots, -\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\cdots\) のとき，極大値 \(\small 1\)　(→ ●)
\(\small\displaystyle x=\cdots, -\pi,0,\pi,\cdots\) 　のとき，極小値 \(\small 0\)(→ ●)
\(\small\displaystyle x=\cdots, (-\frac{5\pi}{4}, \frac{1}{2}), (-\frac{3\pi}{4}, \frac{1}{2}), (-\frac{\pi}{4}, \frac{1}{2}),(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{2}), \)
\(\small\displaystyle (\frac{3\pi}{4}, \frac{1}{2}), (\frac{5\pi}{4}, \frac{1}{2}), \cdots\) のとき変曲点 (→ ●)
漸近線 なし

《例 T3》
\(\displaystyle y=\tan x\) のグラフ


■まとめ
極値　なし
変曲点 \(\small\displaystyle \cdots, (\pi, 0), (0, 0), (\pi, 0), \cdots\) (→ ●)
漸近線 \(\small\displaystyle \cdots, x=-\frac{\pi}{2}, x=\frac{\pi}{2}, x=\frac{3\pi}{2}, \cdots \) (→ ---)

《例 T4》
\(\displaystyle y=x-2\sin x\) のグラフ


■まとめ
\(\small\displaystyle x=2n\pi+\frac{\pi}{3}\) のとき，極小値　(→ ●)
\(\small\displaystyle x=2n\pi-\frac{\pi}{3}\) 　のとき，極大値 (→ ●)
\(\small\displaystyle x=n\pi\) のとき変曲点 (→ ●)
漸近線 なし

《例 T5》
\(\displaystyle y=\sin\frac{1}{x}\) のグラフ


■まとめ
\(\small\displaystyle n\) を正の整数として
〇 \(\small\displaystyle x=-\frac{2}{(4n+1)\pi},\frac{2}{(4n+3)\pi}\) のとき，極小値\(\small\displaystyle-1\)　(→ ●)
〇 \(\small\displaystyle x=-\frac{2}{(4n+3)\pi},\frac{2}{(4n+1)\pi}\) のとき，極大値\(\small\displaystyle 1\) (→ ●)
〇 変曲点はあるが，数値として直接示すのは難しい．
（\(\small\displaystyle \cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}\) となる角 \(\small\displaystyle \alpha\)，整数 \(\small\displaystyle n\) を用いて，
　　\(\small\displaystyle x=\frac{2n+1}{2}\pi-\alpha\) となる値など）
〇 漸近線 \(\small\displaystyle y=0\) (→ －－－)

《例 T6》■■■
\(\displaystyle y=\frac{\sin x}{x}\) のグラフ


① 対称性
\(\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}\) とおくと，\(\displaystyle f(-x)=f(x)\) となるから，この関数のグラフは \(y\) 軸に関して対称になる．（\(x\gt 0\) の部分を描けば，全体像が分かる）
② 除外点
\(\small \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\) は，三角関数の微分を定義するうえで，重要な極限値となっており，\(\small \displaystyle x\rightarrow 0\) のときの極限値が \(1\) となることを目で確かめることができる．
　　ただし，\(x=0\) のときは，関数が定義されておらず，青丸で示した点 \((0,1)\) は除外点となっている．
③ 漸近線
\(\small \displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty}\left|\frac{\sin x}{x}\right|\leqq\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\left|\frac{1}{x}\right|=0\) だから，\(\small x\rightarrow\pm\infty\) のとき，（水平）漸近線の方程式は \(\small y=0\) になる （→茶色の破線）
④ 包絡線
\(\small x\gt 0\) のとき \(\small \displaystyle -\frac{1}{x}\leqq\frac{1}{x}\sin x\leqq\frac{1}{x}\) から分かるように，このグラフは2つの双曲線 \(\small \displaystyle y=-\frac{1}{x},y=\frac{1}{x}\) の間に収まる形になり， \(\small \displaystyle y=-\frac{1}{x},y=\frac{1}{x}\) が包絡線となっている（→赤の破線は漸近線でなく，包絡線）
⑤ 零点
零点（ｘ軸との共有点）は \(\small x=n\pi\)　（ \(\small n\) は整数，ただし \(x=0\) を除く）（→●）
⑥ 極値
極値 \(\small\displaystyle y'=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\) となるから，\(\small\displaystyle \tan x=x \)の解が極値になる．この値を筆算で求めるのは難しいが，コンピュータを用いて数値解で求めると，\(\small x\ne 0\) として，小数第4位までの近似値で \(\small \pm 4.4934, \pm 7.7252, \pm 10.9041, \cdots\) となる．（ｙ軸対称で，極小値（→●），極大値（→●）が交代に並ぶ）
⑦ 変曲点
変曲点 \(\small\displaystyle y^{''}=-\frac{\cos x\{(x^2-2)\tan x+2x\}}{x^3}\) となるから，\(\small\displaystyle (2-x^2)\tan x=2x \)の解が変曲点になる．この値を筆算で求めるのは難しいが，コンピュータを用いて数値解で求めると，小数第4位までの近似値で \(\small \pm 2.0815, \pm 5.9403, \pm 9.2058, \cdots\) となる．（→●）

《例 T7》
\(\displaystyle y=x\sin \frac{1}{x}\) のグラフ

① 対称性
\(\small \displaystyle f(x)=x\sin \frac{1}{x}\) とおくと，\(\displaystyle f(-x)=f(x)\) となるから，この関数のグラフは \(y\) 軸に関して対称になる．（\(x\gt 0\) の部分を描けば，全体像が分かる）
② 除外点
\(x=0\) のときは，関数が定義されておらず，青丸で示した原点 \((0,0)\) は除外点となっている．
\(\small\displaystyle x\rightarrow 0\) のとき，\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\leqq\lim_{x\rightarrow 0}|x|=0\) だから， 原点に限りなく近づく
③ 漸近線
\(\small\displaystyle x\rightarrow\pm\infty\) のとき，\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty}x\sin\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\lim_{t\rightarrow \pm 0}\frac{\sin t}{t}=1\) だから， \(\small\displaystyle x\rightarrow\pm\infty\) のとき，\(\small y=1\) が漸近線になる． （→茶色の破線）
④ 包絡線
\(\small x\gt 0\) のとき \(\small \displaystyle -x\leqq x\sin\frac{1}{x}\leqq x\) から分かるように，このグラフは2直線 \(\small \displaystyle y=\pm x\) の間に収まる形になり， \(\small \displaystyle y=\pm x\) が包絡線となっている（→赤の破線は漸近線でなく，包絡線）
⑤ 零点
零点（\(x\) 軸との共有点）は \(\small\displaystyle \frac{1}{x}=n\pi\hspace{5px}\leftrightarrow\hspace{5px}x=\frac{1}{n\pi}\hspace{5px}(n\ne 0) \)　（ \(\small n\) は整数，ただし \(n=0\) を除く）（→●）…無限個の零点が \(\small x=0\) まで連なっている
⑥ 極値
極値 \(\small\displaystyle y'=\frac{x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}}{x}\) となるから，\(\small\displaystyle \tan \frac{1}{x}=\frac{1}{x} \)の解が極値になる．この値を筆算で求めるのは難しいが，コンピュータを用いて数値解で求めると，\(\small x\ne 0\) として，小数第4位までの近似値で \(\small \pm 0.2225, \pm 0.1294, \pm 0.0917, \cdots\) となる．（ｙ軸対称で，極小値（→●），極大値（→●）が交代に並ぶ）
⑦ 変曲点
変曲点 \(\small\displaystyle y^{''}=-\frac{\sin\frac{1}{x}}{x^3}\) となるから，変曲点は⑤の零点と一致する．（→●）
極大値●，極小値●，変曲点●のいずれも，原点に向かって無限に点が連なっている．
Google geminiを利用した場合，あいまいな質問の仕方では，必ずしも納得の得られる解答が返されるとは限らないが，例えば「y=x*sin(1/x)の増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線を調べ，グラフをHTML5上のcanvasで描いてください。」という質問を送ったら，web画面上でマウス操作に応答する視覚的なアプリケーションが得られたので，参考にしてください．

《例 T8》
\(\displaystyle y=2\cos x+\sin 2x\) のグラフ
\(y=2\cos x\) \(y=\sin 2x\) \(y=2\cos x+\sin 2x\)

■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=-2(2\sin x-1)(\sin x+1)\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{5\pi}{6}+n\pi\)
\(\displaystyle y^{"}=-2\cos x(1+4\sin x)\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる
⇒ \(\small\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+n\pi\)，\(\small\displaystyle \sin x=-\frac{1}{4}\) となる角 \(\small\displaystyle \alpha,\beta+2n\pi\)
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small -\pi\)\(\small \beta\)\(\small -\frac{\pi}{2}\)\(\small \alpha\)\(\small \frac{\pi}{6}\)\(\small \frac{\pi}{2}\)\(\small \frac{5\pi}{6}\)\(\small \pi\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y\)\(\small -2\)\(\small -\frac{3\sqrt{15}}{8}\)\(\small 0\)\(\small \frac{3\sqrt{15}}{8}\)\(\small \frac{3\sqrt{3}}{2}\)\(\small 0\)\(\small -\frac{3\sqrt{3}}{2}\)\(\small -2\)
■まとめ
① \(\small\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2n\pi\) のとき，極大値 \(\small\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}\) （→ ●）
② \(\small\displaystyle x=\frac{5\pi}{6}+2n\pi\) のとき，極小値 \(\small\displaystyle -\frac{3\sqrt{3}}{2}\) （→ ●）
③ 変曲点 \(\small\displaystyle (\frac{\pi}{2}+n\pi, 0)\),\(\small\displaystyle \sin x=-\frac{1}{4}\) の解 \(\small\displaystyle x=\alpha+2n\pi,\beta+2n\pi\) に対して，変曲点 \(\small (\alpha,\frac{3\sqrt{15}}{8} ),(\beta,-\frac{3\sqrt{15}}{8})\)（→ ●）
④ 漸近線 なし
⑤ Google geminiを利用して，例えば「y=2*cos(x)+sin(2*x)の増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線を調べ，グラフをHTML5上のcanvasで描いてください。」という質問を送ったら，次のグラフが得られたので，生成ＡＩへの質問の仕方の参考にしてください．
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《例 T9》
\(\displaystyle y=2\cos x+ \sin 2x\) のグラフ

-- 図1 --
■零点（x軸との共有点）
\(\small \displaystyle 2\cos x+ 2\sin x\cos x=0\) となる \(\small x\) の値を求める
\(\small \displaystyle 2\cos x(1+ \sin x)=0\) より
\(\small \displaystyle \cos x=0\) ⇔ \(\small \displaystyle x=\frac{\pi}{2}+n\pi\)　（\(\small n\) は整数）
\(\small \displaystyle \sin x=-1\) ⇔ \(\small \displaystyle x=-\frac{\pi}{2}+2n\pi\)　（\(\small n\) は整数）
以上から，\(\small \displaystyle x=\frac{\pi}{2}+n\pi\)　（\(\small n\) は整数）で零点になる
■導関数，第2次導関数
\(\small\displaystyle y'=-2\sin x+2\cos 2x=-2\sin x+2(1-2\sin^2x )\)
\(\small\displaystyle =2(2\sin x+1)(\sin x-1)\)
\(y'\) の符号が変わる点を調べる．
つねに \(\small\displaystyle \sin x-1\leqq 0\) だから，\(\small \sin x=-\frac{1}{2}\)のとき符号が変わる
以上から，\(\small \displaystyle x=-\frac{\pi}{6}+n\pi\)　（\(\small n\) は整数）で極値となる
\(\displaystyle y^{"}=-2\cos x(1+4\sin x)\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる．\(\small\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+n\pi\) および \(\small \pi\lt \alpha\lt \frac{3\pi}{2}\lt\beta\lt 2\pi\) の範囲で \(\small \sin\alpha=-\frac{1}{4},\sin\beta=-\frac{1}{4}\) として，\(\small x=\alpha+2n\pi,\beta+2n\pi\)で変曲点になる．
■増減凹凸表
\(\small x\)\(\small \frac{\pi}{6}\)\(\small \frac{\pi}{2}\)\(\small \frac{5\pi}{6}\)\(\small \alpha\)\(\small \frac{3\pi}{2}\)\(\small \beta\)
\(\small y'\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)
\(\small y''\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)\(\small 0\)\(\small +\)\(\small 0\)\(\small -\)
\(\small y\)\(\small \frac{3\sqrt{3}}{2}\)\(\small 01\)\(\small -\frac{3\sqrt{3}}{2}\)\(\small -\frac{3\sqrt{15}}{8}\)\(\small\displaystyle 0\)\(\small \frac{3\sqrt{15}}{8}\)
■漸近線
漸近線はない
■まとめ
\(\small x=\frac{\pi}{6}+2n\pi\) のとき極大値 \(\small \frac{3\sqrt{3}}{2}\)　(→ ●)
\(\small x=\frac{5\pi}{6}+2n\pi\) のとき極小値 \(y= -\frac{3\sqrt{3}}{2}\)　(→ ●)
変曲点 \(\small (\frac{\pi}{2}+n\pi,0),(\alpha,-\frac{3\sqrt{15}}{8}),(\beta,\frac{3\sqrt{15}}{8})\)　(→ ●)
漸近線 なし

《参考》
①　\(\displaystyle y=a\cos bx+ c\sin dx\) のグラフについて，\(a,b,c,d\) の値を任意に指定したときに，「零点」「極値」「変曲点」などを"筆算で（代数的に）"解けるとは限らない．上記の《例 T9》は，うまく求められる数少ない例の１つだと考えた方がよい．
②　一方で，x軸，x軸の目盛りを小数と考えて，\(\displaystyle y=a\cos bx+ c\sin dx\) のグラフの概形（大よその形）を示すことは簡単にできる．
(1)　上記の図1は，HTML上のcanvasというグラフィック作成言語を使って描いたもので，これを使うには少し練習が必要になる
(2)　次の図2は，Excelを使って描いたもので，以下のようにすれば誰でも簡単に描ける．
-- 図2 --
なお，パソコンにインストールする形のExcelだけでなく，Web上でフリーに使えるExcel onLineやGoogle スプレッドシートでも，ワークシート関数はほぼ同様に使える
0.002.00
0.01 2.02
0.02 2.04
0.03 2.06
･･･ ･･･
　左の表のように，左の列にx座標を小刻みに入力する（増分0.01などでフィル（連続データの作成））．初めの５行を示したが，2π≒6.28までなら，630番くらいまで．その右の列に，=2*COS(A1)+SIN(2*A1) などと関数の式を入力して，これを下方向にコピー＆貼り付けする．
　次に，グラフの挿入として，折れ線グラフではなく「散布図：曲線付き」を選ぶ．（できあがり）
※コンピュータ画面の解像度は限られているので，ドット数が600個もあれば，十分滑らかな曲線に見える．
③　さらに，もっと正確で，「グラフができてからマウスを用いて一部分を拡大したり，数値を読めるような」インタラクティブなグラフを「口先だけで作る」方法がある．Google geminiに「\(\displaystyle y=2\cos 3x+ 4\sin 5x\)の増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線を調べて，HTML5のcanvasで描いたインタラクティブなグラフを作ってください」と入力するとよい．これにより，図1よりももっと正確で，虫眼鏡を使って一部分を拡大できるグラフが得られる．
※　以上のように，コンピュータを使えば極値や変曲点よりも，グラフのほうが先に描ける．極値や変曲点を根号や累乗根を使って明示できる事のほうが少なく，多くの場合，x座標，y座標とも近似小数として示される
　以下のいくつかの例で，極値や変曲点が近似小数を用いて表示しているのは，このような事情を反映している．

《例 T10》
\(\displaystyle y=2\cos 3x+4\sin 5x\) のグラフ

■まとめ
1. 周期性：\(\small\displaystyle y=2\cos 3x\) の周期は \(\small \frac{2\pi}{3}\), \(\small\displaystyle y=4\cos 5x\) の周期は \(\small \frac{2\pi}{5}\) だから，これらの和で与えられる関数の基本周期は，\(\small \frac{2\pi}{3}\) と \(\small \frac{2\pi}{5}\) の最小公倍数の \(\small 2\pi\) になる
2. 漸近線 なし
3. 極大値 ●，極小値 ●，変曲点 ●で示した

《例 T11》
\(\displaystyle y=\frac{1+\cos x}{1-\sin x}\) のグラフ

■まとめ
1. 周期性：\(\small\displaystyle y=1+\cos x\) の周期は \(\small 2\pi\), \(\small\displaystyle y=1-\sin x\) の周期も \(\small 2\pi\) だから，これらの商で与えられる関数の基本周期は，\(\small 2\pi\) になる
\(\small\displaystyle f(x+p)=f(x), g(x+p)=g(x)\) のとき，\(\small\displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\) とすると
\(\small\displaystyle h(x+p)=\frac{f(x+p)}{g(x+p)}=\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)\) となるから，\(\small\displaystyle h(x)\) の周期も \(\small\displaystyle p\) になる（ ただし，\(\small\displaystyle g(x)\ne 0\) となる \(\small\displaystyle x\) について考える）
2. 漸近線
分母の関数の値が０となるとき，すなわち \(\small\displaystyle 1-\sin x=0\) ⇔ \(\small\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\) （\(\small\displaystyle n\) は整数）が漸近線の方程式
3. 極大値 なし
\(\small\displaystyle x=(2n+1)\pi\) （\(\small\displaystyle n\) は整数）のとき 極小値 \(\small\displaystyle 0\)　（●で示した）
変曲点 なし

《例 T12》
\(\displaystyle y=\sin 2x \cos 3x\) のグラフ

① 三角関数の積和の公式
\(\small\displaystyle \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right\}\)
を使うと
\(\small\displaystyle \sin 2x\cos 3x=\frac{1}{2}\left\{\sin 5x+\sin(-x)\right\}\)
\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\sin 5x-\sin x\right\}\)
\(\small\displaystyle =-\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{2}\sin 5x\)
だから，周期の長い方 \(\small\displaystyle =-\frac{1}{2}\sin x\) の周りに周期の短い方が振動していると見ると
\(\small\displaystyle -\frac{1}{2}\sin x-\frac{1}{2}\leqq y\leqq -\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{2}\)
となって，赤の破線で示した上下の包絡線の間を振動することが分かる．

　筆算で理論値を示すことは難しい．アナログ的，通俗的，感覚的な説明になる!!
② 下に\(\small\displaystyle y=\frac{1}{2}\sin 5x\) の一部分を示しているが，そのグラフに \(\small\displaystyle y=-\frac{1}{2}\sin x\) のグラフを乗せていくと，極大値であった箇所は，右下がりになるから，元の関数の極大値は，\(\small\displaystyle y=\frac{1}{2}\sin 5x\) の極大値 \(\small \frac{\pi}{10}\) よりも少し左側になる（\(\small 0.0877..\pi\)）．
　同様にして，極小値の合った箇所も右下がりになるから，元の関数の極小値は，\(\small\displaystyle y=\frac{1}{2}\sin 5x\) の極小値 \(\small \frac{3\pi}{10}\) よりも少し右側になる（\(\small 0.3073..\pi\)）．

《例 T13》
\(\displaystyle y=\sin x\cos 10x\) のグラフ

■まとめ
① 《例 T13, T14, T15》を通して，\(\small y=f(x)\sin nx,\hspace{3px} y=f(x)\cos nx\) の形で関数\(\small f(x)\) と三角関数の積になるときは，\(\small y=\pm f(x)\) で表される上端の包絡線と下端の包絡線の間を振動する．
この問題のように，周期の長い三角関数 \(\small \sin x\) と周期の短い三角関数 \(\small\cos 10x\) の積になっているときは，周期の長い方を上端の包絡線，下端の包絡線の考えると分かりやすい．
② 周期性：\(\small\displaystyle y=\sin x\) の周期は \(\small 2\pi\), \(\small\displaystyle y=\cos 10x\) の周期は \(\small \frac{2\pi}{5}\) だから，これらの商で与えられる関数の基本周期は，\(\small 2\pi\) になる
③ 漸近線 なし
3. 極値
筆算で求めるのは難しい

《例 T14》
\(\displaystyle y=e^{-x}\sin 2x\) のグラフ

① グラフは，上端の包絡線 \(\small\displaystyle y = e^{-x}\) と下端の包絡線 \(\small\displaystyle y = -e^{-x}\) の間を振動する
② 零点　\(x\)軸との共有点は，\(\small\displaystyle \sin 2x=0\) の解から得られ \(\small\displaystyle 2x = n\pi\) すなわち \(\small\displaystyle x = \frac{n\pi}{2}\) になる（等間隔に並ぶ）
③ \(\small\displaystyle x\rightarrow-\infty\) のとき漸近線はないが，\(\small\displaystyle x\rightarrow\infty\) のとき，\(\small\displaystyle y=0\) が漸近線になる
④ 接線が包絡線 \(\small\displaystyle y = \pm e^{-x}\) と接するのは \(\small\displaystyle \sin 2x= \pm 1 \)（すなわち \(\small\displaystyle 2x =\frac{\pi}{2}+n\pi\leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{n}{2}\pi \) のときであり，極値をとる点は，その接点よりも少し小さくなる．
　次の図は， \(\small\displaystyle x\gt 0\) において最初に極大値となる部分を拡大したものです．赤丸は包絡線 \(\small\displaystyle y = e^{-x}\) との接点 \(\small\displaystyle (\frac{\pi}{4},e^{-\frac{\pi}{4}})\) であり，これに対して，極大となる点(●）は，\(\small\displaystyle \tan 2\alpha = \frac{1}{2}\) を満たす値となっている \(\small \alpha\)≒\(\small 0.554..\)
　この \(\small \alpha\) の値を筆算で（代数的に）求める事はできないが，\(\small\displaystyle x\gt 0\) において最初に極大値となる値を \(\small \alpha\) とすると
　　 \(\small\displaystyle x=\alpha+\frac{n}{2}\pi\) （\(\small n\)は整数）のとき，極値になることを証明できる（ \(\small x\)座標は，等間隔に並ぶ）


《例 T15》
\(\displaystyle y=e^{\frac{x}{2}}\cos 3x\) のグラフ

① グラフは，上端の包絡線 \(\small\displaystyle y = e^{\frac{x}{2}}\) と下端の包絡線 \(\small\displaystyle y = -e^{\frac{x}{2}}\) の間を振動する
② 零点　\(x\)軸との共有点は，\(\small\displaystyle \cos 3x=0\) の解から得られ \(\small\displaystyle 3x = \frac{\pi}{2} + n\pi\) すなわち \(\small\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3}\) になる（等間隔に並ぶ）
③ \(\small\displaystyle x\rightarrow\infty\) のとき漸近線はないが，\(\small\displaystyle x\rightarrow-\infty\) のとき，\(\small\displaystyle y=0\) が漸近線になる
④ 接線が包絡線 \(\small\displaystyle y = \pm e^{\frac{x}{2}}\) と接するのは \(\small\displaystyle \cos 3x= \pm 1 \)（すなわち \(\small\displaystyle x = \frac{n\pi}{3} \) のときであり，極値をとる点は，その接点よりも少し大きくなる．
　次の図は， \(\small\displaystyle x\gt 0\) において最初に極大値となる部分を拡大したものです．赤丸は包絡線 \(\small\displaystyle y = e^{\frac{x}{2}}\) との接点 \(\small\displaystyle (0,1)\) であり，これに対して，極大となる点(●）は，\(\small\displaystyle \tan 3\alpha = \frac{1}{6}\) を満たす値となっている \(\small \alpha\)≒\(\small 0.1651..\)
　この \(\small \alpha\) の値を筆算で（代数的に）求める事はできないが，\(\small\displaystyle x\gt 0\) において最初に極大値となる値を \(\small \alpha\) とすると
　　 \(\small\displaystyle x=\alpha+\frac{n}{3}\pi\) （\(\small n\)は整数）のとき，極値になることを証明できる（ \(\small x\)座標は，等間隔に並ぶ）


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