|
《例 T7》
\(\displaystyle y=x\sin \frac{1}{x}\) のグラフ
① 対称性
\(\small \displaystyle f(x)=x\sin \frac{1}{x}\) とおくと，\(\displaystyle f(-x)=f(x)\) となるから，この関数のグラフは \(y\) 軸に関して対称になる．（\(x\gt 0\) の部分を描けば，全体像が分かる）
② 除外点
\(x=0\) のときは，関数が定義されておらず，青丸で示した原点 \((0,0)\) は除外点となっている．
\(\small\displaystyle x\rightarrow 0\) のとき，\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\leqq\lim_{x\rightarrow 0}|x|=0\) だから， 原点に限りなく近づく
③ 漸近線
\(\small\displaystyle x\rightarrow\pm\infty\) のとき，\(\small\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty}x\sin\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\lim_{t\rightarrow \pm 0}\frac{\sin t}{t}=1\) だから， \(\small\displaystyle x\rightarrow\pm\infty\) のとき，\(\small y=1\) が漸近線になる． （→茶色の破線）
④ 包絡線
\(\small x\gt 0\) のとき \(\small \displaystyle -x\leqq x\sin\frac{1}{x}\leqq x\) から分かるように，このグラフは2直線 \(\small \displaystyle y=\pm x\) の間に収まる形になり， \(\small \displaystyle y=\pm x\) が包絡線となっている（→赤の破線は漸近線でなく，包絡線）
⑤ 零点
零点（\(x\) 軸との共有点）は \(\small\displaystyle \frac{1}{x}=n\pi\hspace{5px}\leftrightarrow\hspace{5px}x=\frac{1}{n\pi}\hspace{5px}(n\ne 0) \) （ \(\small n\) は整数，ただし \(n=0\) を除く）（→●）…無限個の零点が \(\small x=0\) まで連なっている
⑥ 極値
極値 \(\small\displaystyle y'=\frac{x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}}{x}\) となるから，\(\small\displaystyle \tan \frac{1}{x}=\frac{1}{x} \)の解が極値になる．この値を筆算で求めるのは難しいが，コンピュータを用いて数値解で求めると，\(\small x\ne 0\) として，小数第4位までの近似値で \(\small \pm 0.2225, \pm 0.1294, \pm 0.0917, \cdots\) となる．（ｙ軸対称で，極小値（→●），極大値（→●）が交代に並ぶ）
⑦ 変曲点
変曲点 \(\small\displaystyle y^{''}=-\frac{\sin\frac{1}{x}}{x^3}\) となるから，変曲点は⑤の零点と一致する．（→●）
極大値●，極小値●，変曲点●のいずれも，原点に向かって無限に点が連なっている．
Google geminiを利用した場合，あいまいな質問の仕方では，必ずしも納得の得られる解答が返されるとは限らないが，例えば「y=x*sin(1/x)の増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線を調べ，グラフをHTML5上のcanvasで描いてください。」という質問を送ったら，web画面上でマウス操作に応答する視覚的なアプリケーションが得られたので，参考にしてください．
|
《例 T8》
\(\displaystyle y=2\cos x+\sin 2x\) のグラフ
\(y=2\cos x\)
\(y=\sin 2x\)
\(y=2\cos x+\sin 2x\)
■導関数，第2次導関数
\(\displaystyle y'=-2(2\sin x-1)(\sin x+1)\)
\(y^{'}\) の符号が変わる点を調べる ⇒ \(\small\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{5\pi}{6}+n\pi\)
\(\displaystyle y^{"}=-2\cos x(1+4\sin x)\)
\(y^{''}\) の符号が変わる点を調べる
⇒ \(\small\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+n\pi\)，\(\small\displaystyle \sin x=-\frac{1}{4}\) となる角 \(\small\displaystyle \alpha,\beta+2n\pi\)
■増減凹凸表
| \(\small x\) | \(\small -\pi\) | | \(\small \beta\) | | \(\small -\frac{\pi}{2}\) | | \(\small \alpha\) | | \(\small \frac{\pi}{6}\) | | \(\small \frac{\pi}{2}\) | | \(\small \frac{5\pi}{6}\) | | \(\small \pi\) |
| \(\small y'\) | \(\small +\) | \(\small +\) | \(\small +\) | \(\small +\) | \(\small +\) | \(\small +\) | \(\small +\) | \(\small +\) | \(\small 0\) | \(\small -\) | \(\small -\) | \(\small -\) | \(\small 0\) | \(\small +\) | \(\small +\) |
| \(\small y''\) | \(\small +\) | \(\small +\) | \(\small 0\) | \(\small -\) | \(\small 0\) | \(\small +\) | \(\small 0\) | \(\small -\) | \(\small -\) | \(\small -\) | \(\small 0\) | \(\small +\) | \(\small +\) | \(\small +\) | \(\small +\) |
| \(\small y\) | \(\small -2\) |  | \(\small -\frac{3\sqrt{15}}{8}\) |  | \(\small 0\) | | \(\small \frac{3\sqrt{15}}{8}\) | | \(\small \frac{3\sqrt{3}}{2}\) |  | \(\small 0\) |  | \(\small -\frac{3\sqrt{3}}{2}\) | | \(\small -2\) |
■まとめ
① \(\small\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2n\pi\) のとき，極大値 \(\small\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}\) （→ ●）
② \(\small\displaystyle x=\frac{5\pi}{6}+2n\pi\) のとき，極小値 \(\small\displaystyle -\frac{3\sqrt{3}}{2}\) （→ ●）
③ 変曲点 \(\small\displaystyle (\frac{\pi}{2}+n\pi, 0)\),\(\small\displaystyle \sin x=-\frac{1}{4}\) の解 \(\small\displaystyle x=\alpha+2n\pi,\beta+2n\pi\) に対して，変曲点 \(\small (\alpha,\frac{3\sqrt{15}}{8} ),(\beta,-\frac{3\sqrt{15}}{8})\)（→ ●）
④ 漸近線 なし
⑤ Google geminiを利用して，例えば「y=2*cos(x)+sin(2*x)の増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線を調べ，グラフをHTML5上のcanvasで描いてください。」という質問を送ったら，次のグラフが得られたので，生成ＡＩへの質問の仕方の参考にしてください．
//----------------------------------------------------------
|
==♫♠♣♥♦
...（PC版）メニューに戻る