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== 3点を通る円の方程式 ==

【要点1】
平面上の3点A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)が同一直線上にないとき,これらの3点を通る円の方程式は
x2+y2+lx+my+n=0・・・(1)
の形で求めることができる.
(解説)
 点P(x0, y0)を中心とする半径rの円の方程式は
(x−x0)2+(y−y0)2=r2(r>0)・・・(2)
と書くことができる.
 (2)式を変形すると
x2−2x0x+x02+y2−2y0y+y02−r2=0(r>0)
x2+y2−2x0x−2y0y+(x02+y02−r2)=0(r>0)
ここで,−2x0=l, x−2y0=m, x02+y02−r2=nとおくと,円の方程式(2)は次の形に書き直せることが分かる.
x2+y2+lx+my+n=0・・・(1)
 もう少し正確に言えば,(2)式は必ず円を表すが,(1)式を(2)の形に変形したときに,例えば
(x−3)2+(y−4)2=−1
のように右辺r2の値が負の数になるものは,円にはならないから,(1)の形の式が「つねに」円を表すとは言えない.右辺r2を求めたときに,正の数になる場合だけ円になる.[ちょうどr2=0となる場合は,点を表す]
【例題1】
x2+y2−2x+4y+n=0が円を表すように定数nの値の範囲を定めてください.
(x−1)2+(y+2)2=5−n
と変形できるから,5−n>0すなわちn<5のとき円を表す・・・(答)
n=5のとき,(x−1)2+(y+2)2=0x=1, y=−2の場合だけ成り立つ.すなわち,(x−1)2+(y+2)2=0は,点(1, −2)を表す.
n>5のとき,(x−1)2+(y+2)2=−1, −2, −3などは,どのような実数x, yを持ってきても成り立たないから,平面上でどのような図形も表さない.強いて言えば,x, yは虚数になるから,実数x, yだけを使って描かれる実数xy平面上で成り立つ点はない.
【問題1】
x2+y2+ax+by+c=0が円を表すために実数a, b, cが満たすべき条件を定めてください.
解答を見る

【例題2】
3点A(−5, 7), B(1,−1), C(2, 6)を通る円の方程式を求めて,その中心の座標と半径を述べてください.
(解答)
 求める円の方程式をx2+y2+lx+my+n=0・・・@とおく
@が点A(−5, 7)を通るから
25+49−5l+7m+n=0
−5l+7m=−74−n・・・(1)
同様にして,@が点B(1,−1)を通るから
1+1+l−m+n=0
l−m=−2−n・・・(2)
同様にして,@が点C(2, 6)を通るから
4+36+2l+6m+n=0
2l+6m=−40−n・・・(3)
連立方程式(1)(2)(3)を解いて,定数l, m, nを求める.
まず,(1)−(2), (2)−(3)により,nを消去して,2変数l, mにする.
−5l+7m=−74−n・・・(1)
l−m=−2−n・・・(2)
2l+6m=−40−n・・・(3)
(1)−(2), (2)−(3)
−6l+8m=−72・・・(4)
−l−7m=38・・・(5)
(4)−(5)×6
50m=−300
m=−6
これを(5)に戻すと
−l+42=38
−l=−4
l=4
これらを(2)に戻すと
4+6=−2−n
n=−12
結局
x2+y2+4x−6y−12=0・・・(答)
また,この式を円の方程式の標準形に直すと
(x+2)2+(y−3)2=25
と書けるから,中心(−2, 3),半径5の円・・・(答)
【問題2】
3点A(3, −1), B(8, 4), C(6, 8)を通る円の方程式を求めて,その中心の座標と半径を述べてください.
解答を見る

【要点2】
 3点を通る円(三角形の外接円)の方程式を求める問題は,【要約1】の方法で解くのが基本で,教科書や参考書ではほとんど【要約1】の方法で解いている.
 しかし,他にも解き方はあり,三角形の外接円の中心や半径は,
(A) 中学校のときに習った「垂直2等分線の交点」と考えても求めることができ,
(B) 「2点間の距離の公式」を使って3点から等距離にある点の座標を求めてもよい.
 上記の【例題1】の問題を,(A)中学校のときに習った「垂直2等分線の交点」を求める方法で解いてみると,次のようになる.
【例題2’】
3点A(−5, 7), B(1,−1), C(2, 6)を頂点とする三角形ABCの外心Oの座標を求めてください.
(解答)
 A(−5, 7), C(2, 6)の中点Pの座標は

 線分ACの傾きは
だから線分ACに垂直な直線の傾きは7
 したがって,ACの垂直2等分線の方程式は

・・・(1)
 同様にして,B(1, −1), C(2, 6)の中点Qの座標は

 線分BCの傾きは
だから線分BCに垂直な直線の傾きは
 したがって,BCの垂直2等分線の方程式は

・・・(2)
(1)(2)からyを消去すると




これを(1)に戻すと

よって,三角形ABCの外心Oの座標はO(−2, 3)・・・(答)
 このとき,外接円の半径は,
 三点ABCを通る円の方程式(外接円の方程式)は
 上記の【例題1】の問題を,(B)「2点間の距離の公式」を使って3点から等距離にある点の座標で解いてみると,次のようになる.
【例題2”】
3点A(−5, 7), B(1,−1), C(2, 6)を頂点とする三角形ABCの外心Oの座標を求めてください.
(解答)
三角形ABCの外心Oの座標O(x, y)とおくと
AO2=CO2だから
(x+5)2+(y−7)2=(x−2)2+(y−6)2
x2+10x+25+y2−14y+49
=x2−4x+4+y2−12y+36
14x−2y=−34
y=7x+17・・・@
【例題1’】の(1)と【例題1”】の@は全く同じものになる
同様にして,BO2=CO2だから
(x−1)2+(y+1)2=(x−2)2+(y−6)2
x2−2x+1+y2+2y+1
=x2−4x+4+y2−12y+36
2x+14y=38
・・・A
【例題1’】の(2)と【例題1”】のAは全く同じものになる
@Aを解くとx=−2, y=3
O(−2, 3)・・・(答)
 外接円の半径と外接円の方程式は,例題1’と同様にして求まる

【問題3】
3点A(2, 5), B(6, 1), C(6, 3)を頂点とする三角形ABCの外心Oの座標を求めてください.
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【問題4】
3点A(−2, 5), B(4, 1), C(3, 6)を通る円の方程式を求め,三角形ABCの外心の座標,外接円の半径も求めてください.
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