累乗根

■累乗根
◆解説◆
■ｎ乗根の定義
　ｎ乗してａになる元の数をａのｎ乗根といい，で表わします。

$X^n=a\hspace{5}(a\gt 0)$ となる元の数 $X$ を $a$ のｎ乗根といい， $\sqrt[n]{a}$ で表す．
すなわち，

［累乗根の定義］： $X^n=a\leftarrow\rightarrow X=\sqrt[n]{a}$

（覚え方：漫才コンビの荷物）
$X$ が肩の荷物を降ろして楽になると，相方 $a$ の手のひらに荷物が乗る．→ $\sqrt[n]{a}$

　特に，n=2の場合だけｎを省略してと書きます。

　(　は　　ではなく，　を表わします。)

■右のグラフから分かるように　
(1)　ｎが奇数のとき　ｘ^ｎ=ａ　となるｘの値は，ａの正負によらず常にただ１つ存在し、この値を

で表わします。
(2)　ｎが偶数のときはａ＞0のとき，　ｘ^ｎ=ａ　となるｘの値は，２つ存在しますので，そのうち正の値を

で，負の値を-

で表わします。ａ＜０のときは，ｘ^ｎ=ａ　となるｘの値はありません。

※　ａ＞０の範囲で考える限り，ｎが奇数でも，偶数でも　ｘ^ｎ=ａ　となるｘの値は，ただ１つ存在し、その値がです。
このページでは，以下においてａ＞０のみ扱います。

■例

2³=8　だから　=2
3²=9　だから　=3　(省略すれば２乗根)
　だから　
(-2)⁵=-32　だから　

■累乗根の性質

例
(1)　2³=8　だから　
(2)　2⁴=16　だから　

※重要※
　上記の累乗根の性質(1)～(5)のうち単純なものは使いますが，後に登場する分数指数を用いた計算の方が楽です。
　教科書においても，累乗根の性質の練習問題は取り扱いが薄いように感じられます。
　ただし，問題と解答は累乗根形式に指定されていることがあります。

※筆者おすすめの方法※

■解説

■問題１　左の式の値に等しいものを右から選びなさい．
（ルール：左から一つクリックし，続けて右から「対応するもの」をクリックすると消えます．）

		■要点■ $\sqrt[n]{a^n}=a$ $X^n=a\hspace{5}(a\gt 0)$ となる元の数 $X$ を $a$ のｎ乗根といい， $\sqrt[n]{a}$ で表す．すなわち，［累乗根の定義］： $X^n=a\leftarrow\rightarrow X=\sqrt[n]{a}$ これを右辺が $a^n\hspace{5}(a\gt 0)$ の場合に適用すると $X^n=a^n\rightarrow X=\sqrt[n]{a^n}$ $\downarrow$ $X=a$ したがって $\sqrt[n]{a^n}=a$
解説

■問題２　ｘ，ｙ＞0のとき，左の式の値に等しいものを右から選びなさい．
（ルール：左から一つクリックし，続けて右から「対応するもの」をクリックすると消えます．）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／17.3.24］

とても分かりやす方ですこの単元の問題数増やしたり、一問一答形式にしてくれたらもっとうれしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／17.3.17］

計算問題は、一対一ではなくて、残るような設定でないと簡単ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は簡単な問題を扱っているから簡単なのです．それができるようになったら次の頁に進むのです．

■　以上の問題は，極簡単なものだけを取り上げています。複雑な計算問題は，上の解説でも述べたように「分数指数」で行う方が有利です。