自宅や学校で学習しているときは，教科書の巻末についている三角関数表を見ることもできますし，あればコンピュータも利用することができます．だから，普通の状況では，sin46°とかcos12°のような覚えていない角度の三角比の値でも自由に使える（ただし小数点以下第４位までの小数の値）ことになっています．
　これに対して数学の試験の場合には，特に許可されない限り数表やコンピュータ，携帯電話は持ち込めないのが普通です．このように，高校生が最もよくであう場面では，問題は「筆算だけ」で解かなければなりません．
　このように数学の試験のように「筆算だけで解かなければならない問題」ではsin75°，cos105°のような値は，覚えていないから使えないことになります．

［第一余弦定理とは］
　次の図のように，Ａから垂線をひくと，
a=bcosC+ccosB
が成り立つ．
　立場を順に入れ換えれば，
b=ccosA+acosC
c=acosB+bcosA
も示せます．
　これらを第一余弦定理といいます．
　この関係はＢ≧90°またはＣ≧90°の場合にも成立します.
　第一余弦定理は，1つの辺(ａ)の大きさを求めるために，辺の長さ２個，角の大きさ２個を必要とするため，余弦定理よりも「弱い」定理ですが，角Ａの値が利用できないような場合に有効です.
　この関係を第一余弦定理，(通常用いる)余弦定理のことを第二余弦定理と呼ぶことがあります.

【判断のポイント】
○余弦定理や第１余弦定理で辺を求めるためには，他の辺が２つ分かっていなければなりません．
a2=b2+c2−2bc cos A
b2=c2+a2−2ca cos B
a=bcosC+ccosB
○辺の長さが１つしか分からないときに使えるのは正弦定理です．
\(\displaystyle \color{blue}{\frac{\textcolor{red}{a}}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}} \) \(\displaystyle \color{blue}{\frac{a}{\sin A}=\frac{\textcolor{red}{c}}{\sin C}} \)

【例】
　ａ＝2，Ａ＝45°，Ｃ＝75°のとき辺ｃの長さを求めなさい.

三角形の内角の和は180°だから
45°+B+75°=180°
B=60°
正弦定理により
\(\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \)
だから
\(\displaystyle b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{2\sin 60^{\circ}}{\sin^\circ 45^{\circ}}=\frac{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \)
\(\displaystyle =2\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{6} \)

  第一余弦定理により
\(\displaystyle c=a\cos B+ b\cos A=2\times \frac{1}{2}+ \sqrt{6}\times \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\(\displaystyle =1+ \sqrt{3} \)・・・(答)

(別解1)
　Ａ＝45°，ａ＝2 , ｂ＝\(\sqrt{6}\)から角Ａを用いた余弦定理から２次方程式を作ると，
　a²=b²+c²−2bc・cosA
　4＝6＋c²−2\(\sqrt{6}\)ｃ・1/\(\sqrt{2}\)
　c²−2\(\sqrt{3}\)ｃ+2＝0
　解の公式から　ｃ＝\(\sqrt{3}\pm 1\)･･･（このままでは，いずれが答か，両方とも答なのか決まりません.）
Ｃ＞Ａによりｃ＞ａとなるからｃ＝\(\sqrt{3}+1\)･･･(答)

(別解2)
　Ｂ＝60°，ｂ＝\(\sqrt{6}\)から角Ｂを用いた余弦定理から２次方程式を作ると，
　ｂ²＝ｃ²＋ａ²−２ｃａ・ｃｏｓＢ
　6＝ｃ²+4−2ｃ・2・1/2
　ｃ²−2ｃ−2＝0
　解の公式から　ｃ＝\(1\pm\sqrt{3}\)
ｃ＞0によりｃ＝\(1+\sqrt{3}\)･･･(答)

※(第二)余弦定理で２次方程式を作る方法は，有力な方法ですが，この方法を用いるときには，見かけの解が２つ登場する場合がありますので，上の例のように吟味して答を選ぶ必要があります.

(1)　\(\displaystyle a=2\sqrt{2},b=2,B=30^{\circ}\)のとき，\(c\)を求めなさい．

\(\sqrt{2}\) \(2\) \(2\sqrt{2}\)
\( 2\sqrt{3}\) \(\sqrt{3}-1 \) \(3+\sqrt{3}\)
\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) \(\sqrt{6}\pm\sqrt{2}\) \(3\sqrt{2},\sqrt{6}\)

余弦定理b2=c2+a2−2ca cos Bに代入
\(\displaystyle 4=c^2+ 8-2c\times 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(\displaystyle c^2-2\sqrt{6}c+4=0 \)
解の公式を使って解くと
\(\displaystyle c=\sqrt{6}\pm \sqrt{2} \)
→閉じる←

(2)　\(\displaystyle b=2\sqrt{2},c=2\sqrt{3},C=60^{\circ}\)のとき，\(a\)を求めなさい．

\(\sqrt{2}\) \(2\) \(2\sqrt{2}\)
\( 2\sqrt{3}\) \(\sqrt{3}-1 \) \(3+\sqrt{3}\)
\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) \(\sqrt{6}\pm\sqrt{2}\) \(3\sqrt{2},\sqrt{6}\)

辺が２つ分かっているから，右の作戦盤�@で解く．
余弦定理
c2=a2+b2−2ab cos Cに代入
\(\displaystyle 12=a^2+ 8-2a\times 2\sqrt{2} \times \frac{1}{2} \)
\(\displaystyle a^2-2\sqrt{2}a-4=0 \)
解の公式を使って解くと
\(\displaystyle a=\sqrt{2}\pm \sqrt{6} \)
a>0だから
\(\displaystyle a=\sqrt{2}+ \sqrt{6} \)
（参考）
右の作戦盤�Aにより角Ｂを求めてから，次に�Bにより角Ａを求め，さらに�Aにより辺aを求める作戦はＡが75°になるので筆算では行き詰ります．
右の作戦盤�Aにより角Ｂを求めると辺角2組がそろうので，次に第1余弦定理により辺aを求めることはできます．
≪この場合の答案の流れ≫
正弦定理によりB=45°(Ｂ=135°はＣ=60°と矛盾)
第1余弦定理により\(\displaystyle a=b\cos C+ c\cos B=\sqrt{2}+ \sqrt{6} \) →閉じる←

(3)　\(\displaystyle a=3+\sqrt{3},b=2\sqrt{3},B=45^{\circ}\)のとき，\(c\)を求めなさい．

\(\sqrt{2}\) \(2\) \(2\sqrt{2}\)
\( 2\sqrt{3}\) \(\sqrt{3}-1 \) \(3+\sqrt{3}\)
\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) \(\sqrt{6}\pm\sqrt{2}\) \(3\sqrt{2},\sqrt{6}\)

辺が２つ分かっているので， cos Bを含む余弦定理
b2=c2+a2−2ca cos Bに代入
\(\displaystyle 12=c^2+ (3+ \sqrt{3})^2-2c(3+ \sqrt{3})\times \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\(\displaystyle c^2-\sqrt{2}(3+ \sqrt{3})c+ 6\sqrt{3}=0 \)
\(\displaystyle (c-3\sqrt{2})(c-\sqrt{3}\sqrt{2})=0 \)
\(\displaystyle c=3\sqrt{2},\sqrt{6} \)
→閉じる←

(4)　\(\displaystyle a=\sqrt{2},B=105^{\circ},C=45^{\circ}\)のとき，\(c\)を求めなさい．

\(\sqrt{2}\) \(2\) \(2\sqrt{2}\)
\( 2\sqrt{3}\) \(\sqrt{3}-1 \) \(3+\sqrt{3}\)
\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) \(\sqrt{6}\pm\sqrt{2}\) \(3\sqrt{2},\sqrt{6}\)

三角形の内角の総和は180°だから
A=180°−(B+C)=30°
A=30°,C=45°を使って正弦定理により解くと
\(\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C} \)
\(\displaystyle c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{2}{1}=2 \)
→閉じる←

(5)　\(\displaystyle a=\sqrt{6},A=30^{\circ},B=15^{\circ}\)のとき，\(c\)を求めなさい．

\(\sqrt{2}\) \(2\) \(2\sqrt{2}\)
\( 2\sqrt{3}\) \(\sqrt{3}-1 \) \(3+\sqrt{3}\)
\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) \(\sqrt{6}\pm\sqrt{2}\) \(3\sqrt{2},\sqrt{6}\)

三角形の内角の総和は180°だから
C=180°−(A+B)=135°
A=30°,C=135°を使って正弦定理により解くと
\(\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C} \)
\(\displaystyle c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{\sqrt{6}\times \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}\times \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{2}{1}=2\sqrt{3} \)
→閉じる←

(6)　\(\displaystyle a=2\sqrt{3},b=2\sqrt{2},A=120^{\circ}\)のとき，\(c\)を求めなさい．

\(\sqrt{2}\) \(2\) \(2\sqrt{2}\)
\( 2\sqrt{3}\) \(\sqrt{3}-1 \) \(3+\sqrt{3}\)
\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) \(\sqrt{6}\pm\sqrt{2}\) \(3\sqrt{2},\sqrt{6}\)

辺が２つ分かっているので， cos Aを含む余弦定理
a2=b2+c2−2bc cos Aに代入
\(\displaystyle 12=8+ c^2-2\times 2\sqrt{2}\times c(-\frac{1}{2}) \)
\(\displaystyle c^2+2\sqrt{2}c-4=0 \)
解の公式により
\(\displaystyle c=-\sqrt{2}\pm\sqrt{6} \)
\(\displaystyle c\gt 0 \)により\(\displaystyle c=-\sqrt{2}+\sqrt{6} \)
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(7)　\(\displaystyle b=2,A=15^{\circ},B=135^{\circ}\)のとき，\(c\)を求めなさい．

\(\sqrt{2}\) \(2\) \(2\sqrt{2}\)
\( 2\sqrt{3}\) \(\sqrt{3}-1 \) \(3+\sqrt{3}\)
\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) \(\sqrt{6}\pm\sqrt{2}\) \(3\sqrt{2},\sqrt{6}\)

右の作戦盤�Bで，三角形の内角の総和は180°だから
C=180°−(A+B)=30°
B=135°,C=30°を使って正弦定理により解くと
\(\displaystyle \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} \)
\(\displaystyle c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{2\times \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=2\times \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2} \)
→閉じる←

(8)　\(\displaystyle c=2,A=15^{\circ},B=120^{\circ}\)のとき，\(a\)を求めなさい．

\(\sqrt{2}\) \(2\) \(2\sqrt{2}\)
\( 2\sqrt{3}\) \(\sqrt{3}-1 \) \(3+\sqrt{3}\)
\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) \(\sqrt{6}\pm\sqrt{2}\) \(3\sqrt{2},\sqrt{6}\)

三角形の内角の総和は180°だから
C=180°−(A+B)=45°
B=120°,C=45°を使って正弦定理により解くと
\(\displaystyle \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} \)
\(\displaystyle b=\frac{c\sin B}{\sin C}=\frac{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{6} \)
２辺が分かったので余弦定理と使うと
\(\displaystyle b^2=c^2+ a^2-2ca\cos B \)
\(\displaystyle 6=4+ a^2-2\times 2a\times (-\frac{1}{2}) \)
\(\displaystyle a^2+ 2a-2=0 \)
\(\displaystyle a=-1\pm \sqrt{3} \)
\(\displaystyle a\gt 0 \)により \(\displaystyle a=-1+ \sqrt{3} \)
→閉じる←

(9)　\(\displaystyle a=3\sqrt{2},c=2\sqrt{3},A=60^{\circ}\)のとき，\(b\)を求めなさい．

\(\sqrt{2}\) \(2\) \(2\sqrt{2}\)
\( 2\sqrt{3}\) \(\sqrt{3}-1 \) \(3+\sqrt{3}\)
\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) \(\sqrt{6}\pm\sqrt{2}\) \(3\sqrt{2},\sqrt{6}\)

辺が２つ分かっているから，右の作戦盤�@で解く．
余弦定理
a2=b2+c2−2bc cos Aに代入
\(\displaystyle 18=b^2+ 12-2b\times 2\sqrt{3} \times \frac{1}{2} \)
\(\displaystyle b^2-2\sqrt{3}b-6=0 \)
解の公式を使って解くと
\(\displaystyle b=\sqrt{3}\pm 3 \)
b>0だから
\(\displaystyle b=\sqrt{3}+ 3 \)
（参考）
右の作戦盤�Aにより角Ｃを求めてから，次に�Bにより角Ｂを求め，さらに�Aにより辺bを求める作戦はＢが75°になるので筆算では行き詰ります．
右の作戦盤�Aにより角Ｃを求めると辺角2組がそろうので，次に第1余弦定理により辺ｂを求めることはできます．
≪この場合の答案の流れ≫
正弦定理によりC=45°
第1余弦定理により\(\displaystyle b=a\cos C+ c\cos A=\sqrt{3}+ 3 \) →閉じる←

(10)　\(\displaystyle b=2,B=30^{\circ},C=105^{\circ}\)のとき，\(a\)を求めなさい．

\(\sqrt{2}\) \(2\) \(2\sqrt{2}\)
\( 2\sqrt{3}\) \(\sqrt{3}-1 \) \(3+\sqrt{3}\)
\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) \(\sqrt{6}\pm\sqrt{2}\) \(3\sqrt{2},\sqrt{6}\)

三角形の内角の総和は180°だから
A=180°−(B+C)=45°
A=45°,B=30°を使って正弦定理により解くと
\(\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \)
\(\displaystyle a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{2\times \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}}=2\times \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{2}{1}=2\sqrt{2} \)
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