■簡単な合同方程式の解き方■
高校の数学Aの教科書では,通常,整式の合同や合同式には触れない.発展学習として,軽く触れている教科書,参考書はある.
【合同の定義】
と書く. |
「
とおくと だから |
【合同式の基本的性質】
(1.1) 反射律
(証明)
(1.2) 対称律
(証明)
(1.3) 推移律
(証明)ならば ならば だから成り立つ |
【合同式の四則計算(1)】 (2.1) (2.2) (2.3) (2.1) だから, (2.2) だから, (2.3) だから, ※初歩的な注意であるが,商 |
【合同式の四則計算(2)】 (3.1) 両辺に同じ数を足してもよい (3.2) 両辺から同じ数を引いてもよい (3.3) 両辺に同じ数を掛けてもよい (3.4) 両辺を何乗かしてもよい (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) だから |
(3.5) (3.6) 特に,
(3.6)は,合同式の両辺をmと互いに素な数で割ってもよいことを示している.
(証明)( とおける.このとき より よって 特に,
(4.1) [バシェの定理]
合同方程式
の解1) 2) 3) |
【例題1.1】
(解答)だから 両辺に3を掛けると したがって, (4.1)により,解はただ1つであるから,
単純計算で検算してみる
各々 以上のように, |
【例題1.2】
(解答)
検算
ならば |
【例題2.1】
(解答)15と21の最大公約数は 6は の各数を3で割ると だから 1つの解は 元の問題の解は
検算
|
【例題2.2】
(解答)35と20の最大公約数は 15は の各数を5で割ると だから 1つの解は 元の問題の解は
検算
|
【例題3.1】
(解答)これを元の問題に戻すと (別解) これを元の問題に戻すと |
【例題3.2】
(解答)問題から 他方で,自明なこととして (1)+(2) ところで だから 1つの解は したがって これを元の問題に戻すと (別解) 問題から 他方で,自明なこととして (2)−(1) (1)−(3) ところで だから 1つの解は したがって これを元の問題に戻すと |
次の定理は「中国剰余定理」と呼ばれる.このページでは,定理の証明は省略するが,この定理によって存在と一意性が示される連立1次合同式の解き方を考えてみる. は
【例題4.1】
(解答)7で割ると1余り,5で割ると2余る整数をすべて求めてください. (1)より これを(2)に代入すると ここで だから,差を取ると だから 結局 (算数で攻める・・・) (1)から,35で割ったときの余りは,1,8,15,22,29 このうちで,5で割ると2余るのは22 x=35t+22(tは整数)・・・(答) 【例題4.2】のように数字が大きくなったときに,この答案の書き方では,大変だという心配はある |
【例題4.2】
(解答)5で割ると2余り,7で割ると3余り,11で割ると4余る整数をすべて求めてください. (1)より これを(2)に代入すると ところで だから,(2’)との差を取ると ここで だから これを(3)に代入 ところで だから,差を取ると ここで だから (5)を(4)に代入する (算数で攻める・・・) (1)(2)から,35で割ったときの余りは17 つまり,385で割ったときの余りは, 17,52,8/7,122,157,192,227,262,297,332,367 このうちで,11で割ると4余るのは367 x=385t+367(tは整数)・・・(答) |
n次合同式(n次合同方程式) を解くための解の公式のようなものはないが,次の例のように気長に計算すれば,いずれは解が求まる.
【例題5.1】
(解答)各々題意を満たすかどうか調べてみると したがって, すなわち解は次の2通りある. ※この問題が,もし 一般に, |
【例題5.2】
(解答)(∵) により となるから したがって, |