■漸化式と一般項（階差形）［→PC版はこちら］

解説
【an+1=an+f(n)の形の漸化式】

　２項間漸化式が
.an+1=an+f(n) …(1)
の形で与えられているとき，一般項anは
.an=a1+f(k) …(2)
で求めることができます．
（解説）
※この形の２項間漸化式の特徴はanの係数が1になっているということです．
すなわち(1)式のように
.an+1=1an+f(n)
となっているときに，この公式を適用します．

※anの係数が１でないときは，他の公式を考えます．
　(1)式をan+1−an=f(n)と変形すると，anの階差数列の第ｎ項
.bn=an+1−an
が
.bn=f(n)
として与えられていることになるから，階差数列から元の数列の一般項を求める公式
.an=a1+bk
を用いると，一般項が次の形で表されます．
.an=a1+f(k)
※初歩的な注意として，次の点を押さえておきましょう．

□　(2)式において，Σ記号の内部では文字nをkに書き換えて使います．したがって，f(n)はf(k)に変わります．
.an=a1+f(k)
□　(2)式において，Σ記号の上に乗っているのはnではなくn−1です．すなわち，このΣは
.f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n−1)
を表します．
.an=a1+f(k)
□　(2)式においては階差数列の和だけで元の数列が求まるのではなく，元の数列の第１項も足さなければなりません．
.an=a1+f(k)
□　(2)式は，高校数学におけるΣ記号の使い方の約束として，Σ記号で表される式が少なくとも１つの項を含んでいることを前提としています．だから(2)式はn=1の場合を表しません．そこで，答案では次の例のように，途中経過においてn=1の場合と，n≧2の場合を分けて作成しなければなりません．
（ア）　a1=1
（イ）　n≧2のとき
.an=2n−1
したがって，n≧1のときan=2n−1
　運転免許試験で「左右確認しているかどうか」だけをチェックしているのと同様に，採点官はn=1の場合と，n≧2の場合を分けているかどうかだけを見ているので，最後のまとめを「すべての自然数nについて...」と書いていても，「n≧1のとき...」と書いていても，単に「an=2n−1」と書いていてもほとんど気にしていない．したがって，これらのいずれでもよい．
　ほとんどの場合，結果的にn=1の場合は，n≧2の一般項を「1まで延長した」ものになりますが，そうだからといって「途中経過において分けて求めるという手続きを省略してはいけません．」慣れてくれば，次の例のように別途求めて，結果的に吸収したというスタイルでもよい．
an=2n−1
（n=1のときもこれでよい）

例と答１
　≪この形の問題と解答≫
(1)
a1=3
an+1=an+2
のとき数列{an}の一般項を求めてください．
階差数列を{bn}とおくと bn=an+1−an=2
（ア） n≧2のとき


（イ）　n=1のとき，a1=3
ゆえに，すべての自然数nについて，an=2n+1 …（答）
（初歩的な注意）
は2+2+2...+2　（←ｎ-1項の和）だから
2(n−1)になります．
一般にcを定数とするとき，
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}c=cn \)
だから
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}c=c(n-1) \)
です
(2)
a1=2
an+1=an+3
のとき数列{an}の一般項を求めてください．
階差数列を{bn}とおくと bn=an+1−an=3
（ア） n≧2のとき


（イ）　n=1のとき，a1=2
ゆえに，すべての自然数nについて，an=3n−1 …（答）
（初歩的な注意）
は3+3+3...+3　（←ｎ-1項の和）だから
3(n−1)になります．
(3)
a1=1
an+1=an+n−2
のとき数列{an}の一般項を求めてください．
(4)
a1=4
an+1=an+2n+3
のとき数列{an}の一般項を求めてください．
(5)
a1=1
an+1=an+n2+1
のとき数列{an}の一般項を求めてください．
(6)
a1=2
an+1=an+n2+3n+2
のとき数列{an}の一般項を求めてください．

例と答２
(7)
a1=1
an+1=an+n3
のとき数列{an}の一般項を求めてください．
(8)
a1=0
an+1=an+n(n+1)(n+2)
のとき数列{an}の一般項を求めてください．
(9)
a1=1
an+1=an+2n
のとき数列{an}の一般項を求めてください．
(10)
a1=4
an+1=an+3×2n+1
のとき数列{an}の一般項を求めてください．
(11)
a1=1
an+1=an+
のとき数列{an}の一般項を求めてください．
(12)
a1=0
an+1=an+
のとき数列{an}の一般項を求めてください．

問題
【問題】 …（簡単な再現問題=上と同じ問題=です）
　次の漸化式で定義される数列の一般項を求めてください．
　各々正しい選択肢をクリック

(1)
a1=2
an+1=an+3
an=2n−3 an=2n+1
an=3n−1 an=3n+2


(2)
a1=4
an+1=an+2n+3
an=(n−1)2 an=n2 an=(n+1)2

(3)
a1=2
an+1=an+n2+3n+2
an=(n−1)(n+1) an=n(n+1)
an=(n+1)(n+2) an=n(n+1)(n+2)

(4)
a1=0
an+1=an+n(n+1)(n+2)
an=(n−2)(n−3) an=(n−1)(n−2)


an=n(n+1)(n+2) an=(n−1)n(n+1)(n+2)

(5)
a1=1
an+1=an+2n
an=2n−1 an=2n+1


an=2n+1−1 an=2n−1+1

(6)
a1=1
an+1=an+
an=1− an=1+ an=2− an=2+

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[漸化式と一般項（階差形）について／18.8.20］
例と答1の(4)の(ア)で Σ(k+3)となってますがΣ(2k+3)の間違いではないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．そのほか，Σの上につく末項の位置がずれていましたので直しました．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[漸化式と一般項（階差形）について／17.9.22］
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961 /electro/recurr_series1_m.htm から 同（等比形） などのページがつながっておりません スマフォからみてるのでソースまでは見てませんが 相対リンクが./mobile/ページhtmlになってるようです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページは古い方のリンクで現在表示できないはずになっているのですが，どこかに古いルートが生きているのかもしれませんので調べます．なお，正しくは階差型，等比型です．