■広義積分
○積分区間が有界でない場合
.f(x)dxが収束するとき,
これを
.f(x)dx
で表す.
○被積分関数が有界でない場合
 例えば,=+∞となり,関数f(x)=
x=0において定義されないが,
  dx=2(1−)=2となり,収束する.
 この場合,
. dx=dx
と書く.

※正しい番号をクリックしてください.
平成16年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-10

 広義積分dxの値は,次のどれか.
11 22 3log2 4log3 5存在しない

○この頁に登場する【問題】は,公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です.(=公表された著作物の引用)

○【解説】は個人の試案ですが,Web教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます.
 問題や解説についての質問等は,原著作者を煩わせることなく,当Web教材の作成者(<浅尾>)に対して行ってください.


平成17年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-7

 広義積分e−xcos x dxの値は,次のどれか.
1 2 3 4 51

平成18年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-6

 (1+x) dx=が成り立つときaの値は,次のどれか.
15 210 315 420 525

平成19年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-8

 広義積分dxの値は,次のどれか.
1 2 3 4 5

平成20年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-9

 広義積分dxの値は,次のどれか.
1 2 3 41 52

平成21年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-8

 広義積分dxの値は,次のどれか.
1 21 3 42 5

平成22年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-8

 広義積分2xe−x2dxの値は,次のどれか.ただし,
eは自然対数の底とする.
1 21 3 42 5

平成23年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-7

 広義積分dxの値は,次のどれか.
11 22 33 44 55

平成24年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-8

 広義積分dxの値は,次のどれか.
1 2 31 4 5π


極限計算を要する問題
(1) 有限の区間で,区間の端点で関数が有界でない場合
次の広義積分を求めてください.
【問題1.1】
(解答)
 を使う
 さらに,ロピタルの定理を使って,を示す
部分積分の公式

により

だから


ここで,
の形の不定形の極限だから,ロピタルの定理

によって変形すると

したがって,


【問題1.2】
(解答)
部分積分の公式

により


だから


ここで,
の形の不定形の極限だから,ロピタルの定理

によって変形すると

したがって,


【問題1.3】
(解答)
のとき

だから

とおく
だから


「積分区間が有限で区間内の幾つかの点で関数が有界でない場合」「積分区間が無限である場合」を各々広義積分,無限積分と用語を分ける場合もあるが,この教材ではこれらをまとめて広義積分と呼ぶことにする.
(2) 積分区間が無限になっている場合
【問題2.1】
(解答)
部分積分の公式

により


だから


ここで,
の形の不定形の極限だから,ロピタルの定理

によって変形すると

また,
したがって,

【問題2.2】
(解答)
部分積分の公式

により

さらに,もう一度部分積分を行う


だから


(原式)=

ここで,
の形の不定形の極限だから,ロピタルの定理

によって変形すると

したがって,
(原式)=

【問題2.3】
(解答)
部分積分の公式

により


だから


ここで,
の形の不定形の極限だから,ロピタルの定理

によって変形すると

したがって,
(原式)=
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■[個別の頁からの質問に対する回答][広義積分について/17.6.29]
【数学】V-10 =log 1−log12=0−(1−log2)=log2 ではなく、 =log 1−log12=0−(log1−log2)=log2 ですね。
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][広義積分について/17.3.22]
H23のV-7の問題は広義積分なのですか?∞が入ってないのですが、、、 私の勘違いでしたら無視して下さい。
=>[作者]:連絡ありがとう.その頁の先頭にまとめていますように,積分区間が有界でない場合

のような場合だけでなく,積分区間が有界でも被積分関数が有界でない場合

のような場合も広義積分に含めて考えます.(なので,関数f(0)が定義されていない)