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== 根号と整数(入試問題) ==

【要点1】
根号を含んだ大小関係が与えられたとき,各辺を2乗して比較してもよい.
に直して考えたらよい.
に直して考えたらよい.
【例題】
より小さい自然数をすべて書きなさい。
(大阪府2017年入試問題)
(解答)
自然数
…(1)
を満たしているとき,(1)の各辺を2乗すると
…(2)
ところで

だから
…(答)
(参考)
 10までの整数については,
などと覚えることがあるので,から直接,と答えてもよい.
 しかし,それ以上大きい数の平方根,などの値は通常覚えないので,様々な問題に対応できるようにするためには,上記の答案のように2乗して考えるのがよい.
※以下に引用する高校入試問題で,元の問題は記述式の問題ですが,web画面上で入力問題にすると操作性が悪いので,選択問題に書き換えています.
【問題1】 (画面上で解答するには,選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
を満たす整数を,小さい順にすべて書きなさい。
(群馬県2015年入試問題)

(2)
は自然数で,である。このとき,に当てはまる数の個数を求めなさい。
(熊本県2015年入試問題)
(3)
次の大小関係に当てはまる自然数nは何個あるか,求めなさい。

(和歌山県2017年入試問題)
3 4 27 28

(4)
に当てはまる自然数を,すべて求めなさい。
(長野県2015年入試問題)
(5)
に当てはまる自然数の個数を求めなさい。
(山口県2017年入試問題)

(6)
を自然数とする。を満たすの個数を求めよ。
(長崎県2015年入試問題)
2 3 4 5
(7)
不等式を満たす自然数の個数を求めよ。
(東京都2017年入試問題)
1 4 13 52

【要点2】
根号を含んだ式が整数になるのは,根号の中が平方数になっている場合に限る.
〇例えば

は,それぞれ

だから

のように整数になる.
〇これに対して

のような式は,根号の中が平方数になっていないので,整数にはならない.
【例題】
を0でない整数にしたい。できるだけ小さい整数の値を求めよ。
(香川県2000年入試問題)
(解答)

だから,根号の中を平方数にするために,は7の倍数になっていなければならない.
できるだけ小さい(正の)数でこれを満たすものは7…(答)
【問題2】
(1)
が1けたの自然数になるようなの値をすべて求めなさい。
(秋田県2015年入試問題)

(2)
が整数となるような自然数の値を全て求めよ。
(奈良県2017年入試問題)
(3)
がともに整数となるような最も小さい自然数の値を求めよ。
(鹿児島県2015年入試問題)

(4)
 n50以下の正の整数とする。が整数となるようなnの個数を求めよ。
(千葉県2015年入試問題)
4 6 8 10
(5)
 nは正の整数で,は2けたの整数になるという。このようなnをすべて求めよ。
(愛知県2000年入試問題)

(6)
 nを自然数とする。
 20以下の自然数となるとき,最も大きいnの値を求めよ。
(東京都2015年入試問題)
6 9 27 54
(7)
 n1以上の整数とする。
 の値が整数となるとき,最も小さいnの値を求めよ。
(東京都2015年入試問題)

【要点3】
例えば,ですが,の小数部分をaとするとき,a2の値を求めよという問題があるときに
0.412=0.1681と答えてもダメです.
0.4142=0.171396と答えてもダメです.
0.41422=0.17156164と答えてもダメです.
この問題では近似値ではなく,正確な値が要求されています.
正しくは,次のようにします.
を整数部分と小数部分に分けると,整数部分は1です.したがって,から整数部分1を取り除いた残りの部分が小数部分aですから,

したがって
…(答)
一般に,の整数部分がnであるとき,の小数部分は

になります.
※整数部分は目で見て考えます.(整数部分を先に求めます)
次に,元の数字から整数部分を引いたものを小数部分とします.
【例題】
の小数部分をaとするとき,a2+3aの値を求めよ。
(東京都2015年入試問題)
(解答)

だから,の整数部分は4
したがって



…(答)
【問題3】
(1)
の小数部分をaとするとき,a(a+6)の値を求めよ。
(奈良県2015年入試問題)
1 2 3 4

(2)
の小数部分をaとするとき,a2+2a+1の値を求めよ。
1 2 3 4
(3)
の小数部分をaとするとき,a2+a+1の値を求めよ。
0 1 2 3
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