平面図・立面図（高校入試問題6）

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♪♥♫♦∀高校入試の基本∳♣♬∅♠

平面図・立面図

基本：★

【問題1】

（立面図）（平面図）

　右の図は，ある立体の投影図である。この投影図が表す立体の名前として正しいものを，次のア，イ，ウ，エのうちから１つ選んで，記号で答えなさい。
ア　四角錘すい　　イ　四角柱
ウ　三角錐　　エ　三角柱

(2019年度栃木県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

　投影図（立面図と平面図）の高校入試問題は，他の立体図形の問題と比べて，簡単な問題が多い．
　どの都道府県でも，ひねって難しくしたものは，ほとんど出題されていないので，残り時間が少ないときなどに，投影図（立面図と平面図）の問題をやると有利だと考えられる（筆者の個人的感想）

右図のような四角錘（=ピラミッドの形）---三角錐ではない--を正面から横向きに見ると立面図になり，上から見ると平面図になる
ア…（答）
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基本：★

【問題2】
　下の図は，数学の授業で学んだ立体を投影図に表したものである。Ⓐ，Ⓑのどちらか１つを選び，その投影図で表された立体の表面積を求めなさい。なお，円周率はπとし，選んだ投影図の記号を書くこと。

Ⓐ Ⓑ （立面図）（平面図）（立面図）（平面図）

(2018年度山形県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
Ⓐ：底面積は，π×32×2=18π(cm2)
　側面積は，2×π×3×10=60π(cm2)
　表面積は，78π(cm2)･･･(答)
Ⓑ：底面積は，6×6×2=72(cm2)
　側面積は，6×10×4=240(cm2)
　表面積は，312(cm2)･･･(答)
→解説を隠す←

基本：★

【問題3】

（立面図）（平面図）

　右の図は，三角柱の投影図である。この三角柱の体積を求めなさい。

(2018年度千葉県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
直角を挟むもう一方の辺の長さを求める
$\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
体積は
$\frac{2\sqrt{7}\times 6}{2}\times 6=36\sqrt{7}$ (cm3)･･･(答)
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基本：★★

【問題4】

（立面図）（平面図）

　右の図は正四角錘の投影図である。この正四角錘の体積を求めなさい。

(2021年度徳島県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
底面積は
　6×6=36(cm2)
高さは
　 $\sqrt{7^2-3^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ (cm)
体積は
　 $\frac{36\times 2\sqrt{10}}{3}=24\sqrt{10}$ (cm3)
→解説を隠す←

基本：★★

【問題5】

（立面図）（平面図）

　右の図のような，正四角錘すいの投影図がある。この投影図において，立面図は１辺が6cm，高さが $3\sqrt{3}$ cmの正三角形である。
　このとき，次の問い(1)・(2)に答えよ。
(1)　この正四角錘の体積を求めよ。
(2)　この正四角錘の表面積を求めよ。

(2021年度京都府公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
底面は，1辺の長さが6cmの正方形だから，その面積は
$36$ (cm2)
また，高さが $3\sqrt{3}$ (cm)だから，体積は
$\frac{36\times 3\sqrt{3}}{3}=36\sqrt{3}$ (cm3)
(2)

　うっかり読むと「ワナ」が仕組まれているかもしれません．「立面図は1辺が6cmの正三角形!!
　側面の三角形の底辺は6cmであるが，三角形の高さは
$\sqrt{(3\sqrt{3})^2+ 3^2}=\sqrt{36}=6$ (cm)

底面積は， $36$ (cm2)
側面積は， $\frac{6\times 6}{2}\times 4=72$ (cm2)
これらの和から，表面積は，108(cm2)
→解説を隠す←

基本：★

【問題6】

（立面図）（平面図）

　右の図は，円錐すいの投影図であり，立面図は底辺が8cm，面積が36cm2の二等辺三角形である。
　このとき，この円錐の体積を求めなさい。

(2017年度福島県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
立面図の三角形の高さをh(cm)とおくと
$\frac{8h}{2}=36$
より
　h=9
円錐の体積は
$\frac{\pi\times 4^4\times 9}{3}=48\pi$ (cm3)
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基本：★★

【問題7】

立面図平面図

　右の図は，ある立体の投影図であり，平面図は円である。この立体の側面積が15πcm2であるとき，底面の周の長さは何cmか。ただし，πは円周率とする。

(2017年度鹿児島県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
展開図において，側面の扇形の中心角をθとおくと，側面積が15πcm2であることから
$\pi\times 5^2\times\frac{\theta}{360}=15\pi$
$\frac{\theta}{360}=\frac{3}{5}$
このとき，底面の半径をθとおくと，底面の円周の長さは
$2\pi r=2\pi\times 5\times\frac{\theta}{360}=2\pi\times 5\times\frac{3}{5}=6\pi$ (cm)
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基本：★★

【問題8】

（立面図）（平面図）

　図2は1辺の長さが1mである立方体である。この立方体を，ある３つの頂点を通る平面で切り取ると，立体XとYができる。図3は立体Xの投影図である。
　立体Xの体積をV，立体Yの体積をV'としたとき，体積の比 V : V'を，次のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。

ア　V : V'=1 : 1
イ　V : V'=3 : 1
ウ　V : V'=5 : 1
エ　V : V'=7 : 1

(2022年度山口県公立高校入試問題)

解説を読む

←桃色の部分がX

（立面図）（平面図）

（解答）
　立面図，平面図がそれぞれ右の形になるのは，図2'のように切り取った場合になる
　このとき，立方体の底面積をS，高さをhとすると
切り取った方の立体Yの体積は
$V\apos=\frac{S}{2}\times h\div 3=\frac{Sh}{6}$
残りの立体Xの体積は
$V=Sh-V\apos=Sh-\frac{Sh}{6}=\frac{5Sh}{6}$
$V\hspace{2}:\hspace{2}V\apos=5\hspace{2}:\hspace{2}1$ →ウ
→解説を隠す←

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