球・円柱・円錐（高校入試問題2）

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♪♥♫♦∀高校入試の基本～標準∳♣♬∅♠

球・円柱の体積

基本★

【問題1】

　次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　図1のような，半径4cmの球がちょうど入る大きさの円柱があり，その高さは球の直径と等しい。この円柱の体積を求めなさい。ただし，円周率はπとする。

(2)　図2のような，半径4cmの球Oと半径2cmの球O'がちょうど入っている円柱がある。その円柱の底面の中心と２つの球の中心O, O'を含む平面で切断したときの切り口を表わすと，図3のようになる。この円柱の高さを求めなさい。

(2019年度栃木県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

※ギリシャの数学者アルキメデス（紀元前287年-212年）は，「球とそれに外接する円柱」とでは「面積比も体積比も2 : 3になる」ことを証明した!!
　そのお陰かどうか，約2300年後の今日では，中学生でも求められるはずだということらしい．

(1)
円柱の底面の面積は $\pi r^2$ で，円柱の高さは $2r$ だから，円柱の体積は
$V=\pi r^2\times 2r=2\pi r^3=128\pi$ (cm³)…（答）
(2)
図の桃色の直角三角形の高さをhとすると
$h=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
したがって，円柱の高さは
$6+ 4\sqrt{2}$ (cm)…（答）

※読者から見たら大したことないが，教材作成者から見たら苦労があった箇所：立体感を出すために，球の右上の部分に白い光を入れるところ．透過度とか塗りの大きさとか･･･
※読者から見たときに，決定的に重要な箇所：図3で半径4cmの球の右側が円柱に接していないと，問題は解けない．（解が定まらない）

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球・円錐の体積・表面積

基本★

【問題2】

　右の図は，半径3cmの球Aと，その球がちょうど入る円柱Bを表している。このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，円周率はπとする。
問1　球Aの表面積を求めなさい。
問2　球Aの体積を求めなさい。
問3　次のア～エのうちから，正しいものを１つ選び，記号で答えなさい。
ア　球Aの表面積は，円柱Bの底面積の２倍である。
イ　球Aの表面積は，円柱Bの側面積に等しい。
ウ　球Aの体積は，円柱Bの体積の $\frac{1}{3}$ 倍である。
エ　球Aの体積は，円柱Bの体積の半分である。
問4　体積が球Aの体積と等しく，底面が円柱Bの底面と合同である円すいを円すいCとする。円すいCの高さを求めなさい。

(2022年度沖縄県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

球の体積V，球の表面積Sなどは公式をしっかりと覚える方がよい（中学生が自分で証明するのは無理）
$\rm{V}=\frac{4\pi r^3}{3}$

身(3)の上に心(4)配(π)あるさ

$\rm{S}=4\pi r^2$

円の４倍

問1
球の表面積は
$\rm{S_A}=4\pi r^2=36\pi$ (cm²)…（答）
問2
球の体積は
$\rm{V_A}=\frac{4}{3}\pi r^3=36\pi$ (cm³)…（答）
問3
円柱Bの底面積は $\rm{S_{B1}}=\pi r^2=9\pi$ だから
ア： $\rm{S_A}=2\rm{S_{B1}}$ は×
円柱Bの側面積は $\rm{S_{B2}}=2\pi r\times 2r=36\pi$ だから
イ： $\rm{S_A}=\rm{S_{B2}}$ は〇
円柱Bの体積は $\rm{V_{B}}=\pi r^2\times 2r=54\pi$ だから
ウ： $\rm{V_A}=\frac{1}{3}\rm{V_{B}}$ は×
エ： $\rm{V_A}=\frac{1}{2}\rm{V_{B}}$ は×
よって，イ…（答）
問4
底面積が $\rm{S_{B1}}=\pi r^2=9\pi$ で，体積が $\rm{V_A}=\frac{4}{3}\pi r^3=36\pi$
となる円錐の高さをhとおくと
$\frac{1}{3}\rm{S_{B1}}h=\rm{V_A}$
$h=\frac{36\pi\times 3}{9\pi}=12$ (cm)…（答）
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円錐台の体積

基本★★

【問題3】

　右図において，四角形ABCDはAD∥BCの台形であり， ∠ADC =∠DCB=90°, AD =2cm, BC =DC =3cmである。四角形ABCDを直線DCを軸として１回転させてできる立体の体積は何cm3ですか。円周率をπとして答えなさい。

(2021年度大阪府公立高校入試問題B)

解説を読む

（解答）

• 右図のような円錐台（桃色の部分）の体積は，大きい方の円錐の体積V1と，小さい方の円錐の体積V2の差で求められる．
• 高さhは，相似比
　2 : h=3 : (h+3)
から求めるとよい．
　見た目だけで，h=2などと決めると，危険な罠かも知れない

• 底面の半径がrで高さがhの円錐の体積は
$\rm{V}=\frac{\pi r^2h}{3}$
• 上の図のように，小さい方の円錐の高さをhとおくと
　2 : h=3 : (h+3)
　3h=2h+6
　h=6
• 小さい方の円錐の体積は
$\rm{V_2}=\frac{\pi\times 2^2\times 6}{3}=8\pi$ (cm3)
• 大きい方の円錐の体積は
$\rm{V_1}=\frac{\pi\times 3^2\times 9}{3}=27\pi$ (cm3)
したがって，求める円錐台の体積は
$\rm{V_1-V_2}=19\pi$ (cm3)…（答）
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円錐台の表面積

計算が大変★★★

【問題4】

　右図において，四角形ABCDはAD∥BCの台形であり， ∠ADC =∠DCB=90°, AD =2cm, AB =4cm, BC =3cmである。四角形ABCDを直線DCを軸として１回転させてできる立体の表面積は何cm2ですか。円周率をπとして答えなさい。

(2021年度大阪府公立高校入試問題C)

解説を読む

（解答）

• 円錐の表面積は，底面の円と側面の扇形の和になる．
• 扇形の中心角θが分かれば，面積はπR2×θ÷360で求まる．
$S=\pi R^2\times\frac{\theta}{360}$ …(1)
• 扇形の中心角は，底面の円周L=2πrを使って求められる
$L=2\pi r=2\pi R\times\frac{\theta}{360}$
$\frac{\theta}{360}=\frac{r}{R}$ …(2)
(1)に代入すると
$S=\pi R^2\times\frac{r}{R}=\pi rR$ …(3)

• 円錐台の側面積は，大きい方の円錐の側面積と，小さい方の円錐の側面積の差で求められる．
• 右の図のような，小さい方の斜辺の長さℓは，相似比
　ℓ : 2=(ℓ+4) : 3
から求められる．
　3ℓ=2(ℓ+4)
　ℓ=8
• このとき，中心角をθとおくと $\frac{\theta}{360}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
• 大きい方の円錐の側面積は
$\rm{S_2}=\pi\times 12^2\times\frac{1}{4}=36\pi$ (cm2)
• 小さい方の円錐の側面積
$\rm{S_1}=\pi\times 8^2\times\frac{1}{4}=16\pi$ (cm2)
したがって，求める円錐台の側面積は
$\rm{S_2-S_1}=20\pi$ (cm2)
• 円錐台の上の面と底の面の面積は
$\pi\times 2^2+ \pi\times 3^2=13\pi$ (cm2)
結局，求める円錐台の表面積は
$20\pi+ 13\pi=33\pi$ (cm2)…（答）
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投影図

基本★

【問題5】

　右の図Ⅰは２つの立体の投影図である。立体アと立体イは，立方体，円柱，三角柱，円錐，三角錐，球のいずれかであり，２つの立体の体積は等しい。
　平面図の円の半径が，立体アが4cm，立体イが3cmのとき，立体アの高さhの値を求めなさい。

(2021年度鳥取県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

立体アは円錐，立体イは球である．
立体の体積は
$\frac{4}{3}\pi\times 3^3=36\pi$ (cm2)
だから，これと等しい立体アの体積について
$\frac{1}{3}\pi\times 4^2h=36\pi$
$h=\frac{27}{4}$ (cm)…（答） →解説を隠す←

投影図

基本★

【問題6】
　次の図は，高さがすべて等しい立体の投影図である。次の投影図で表されたア～ウの立体を，体積の小さいものから順に並べ，その記号を書け。

(2021年度高知県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

アは三角柱，イは円柱，ウは四角錘
共通の高さをhとおくと，各々の体積は
ア
$\frac{6\times 6}{2}\times h=18h$
イ
$\pi\times 3^2h=9\pi h$ h≒28.27...h
ウ
$6^2\times h\times\frac{1}{3}=12h$
したがって，ウ→ア→イ…（答） →解説を隠す←

円錐の展開図

基本★

【問題7】

　右の図は，円錐の展開図である。この展開図を組み立てたとき，側面となるおうぎ形は，半径が16cm，中心角が135°である。底面となる円の半径を求めなさい。

(2019年度徳島県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

図で赤で示した「おうぎ形の弧の長さ」と青で示した「(半径をrとする)底面の円の円周の長さ」が一致するから
$2\times 16\pi\times\frac{135}{360}=L=2\pi r$
　r=6(cm)…（答） →解説を隠す←

基本★

【問題8】

　図１の円錐すいの展開図をかくとき，側面になるおうぎ形の中心角の大きさを求めよ。

(2019年度長崎県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

図で赤で示した「おうぎ形の弧の長さ」と青で示した「底面の円の円周の長さ」が一致するから
$2\times 5\pi\times\frac{\theta}{360}=L=2\pi\times 2$
　θ=144(°)…（答） →解説を隠す←

円錐の表面積

基本★

【問題9】

（立面図）（平面図）

　右の図は，三角錐すい，円柱，円錐すいのうち，いずれかの立体の投影図である。
　この立体の表面積を求めなさい。

(2019年度佐賀県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

立体は円錐で，三平方の定理により，母線の長さはR=5
おうぎ形の中心角をθとおく．「おうぎ形の弧の長さ」と「底面の円の円周の長さ」が一致するから
$2\times 5\pi\times\frac{\theta}{360}=L=2\pi\times 3$
$\theta=\frac{3\times 360}{5}=216$ (°)
底面積は
$S_1=\pi\times 3^2=9\pi$ (cm²)
側面積は
$S_2=\pi\times 5^2\times\frac{216}{360}=15\pi$ (cm²)
したがって，表面積は
$S_1+ S_2=24\pi$ (cm²)…（答） →解説を隠す←

円錐の展開図

難しい★★★

【問題10】

　右の図１は，線分ABを直径とする円Oを底面とし，線分ACを母線とする円すいである。
　また，点Dはこの円すいの側面に，点Aから点Bまで長さが最も短くなるように線を引き，この線を２等分した点である。
　B=6cm, AC=9cmのとき，次の問いに答えなさい。ただし，円周率はπとする。
(ア)　この円すいの体積として正しいものを次の1～6の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
1.　 $9\sqrt{5}\pi$ cm3　　2.　 $18\sqrt{2}\pi$ cm3
3.　 $27\sqrt{5}\pi$ cm3　　4.　 $54\sqrt{2}\pi$ cm3
5.　 $36\sqrt{5}\pi$ cm3　　6.　 $72\sqrt{2}\pi$ cm3
(イ)　この円すいの表面積として正しいものを次の次の1～6の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
1.　 $\frac{33}{4}\pi$ cm2　2.　9πcm2　3.　15πcm2
4.　 $\frac{117}{4}\pi$ cm2　5.　36πcm2　6.　63πcm2

(ウ)　この円すいの側面上に，図２のように点Dから線分AC，線分BCと交わるように点Dまで円すいの側面上に引いた線のうち，長さが最も短くなるように引いた線の長さを求めなさい。

(2021年度神奈川県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

(ア)
円錐の母線の長さAC=9cm，底面の半径OA=3cmから，三平方の定理を用いて，高さh=OCを求めると
$h=\sqrt{9^2-3^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ (cm)
したがって，円錐の体積は
$\pi\times 3^2\times h\div 3=18\sqrt{2}\pi$ (cm3)→ 番号は 2
(イ)
円錐の展開図において，側面の扇形の中心角をθとおくと，「底面の円周の長さ」と「扇形の弧の長さ」が等しいことから
$2\pi\times 3=2\pi\times 9\times\frac{\theta}{360}$
$\theta=120^{\circ}$
これを用いて，側面積を求めると
$S_1=\pi\times 9^2\times\frac{\theta}{360}27\pi$
また，底面積は
$S_2=\pi\times 3^2=9\pi$
これらの和が表面積だから
$S_1+ S_2=36\pi$ (cm2)→ 番号は 5

(ウ)
右図のように，∠BDCの部分を右に描くと，展開図の中でDD'の最短コースが見える．
∠OB'A，∠OAB，∠OBA'はそれぞれ正三角形だから
　DP=PQ=QD'= $\frac{9}{2}$
求める最短距離は $\frac{27}{2}$
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円錐の展開図

★★

【問題11】

　右の図のように，長さが6cmの線分ABを直径とする円を底面とし，母線の長さが6cmの円すいPがある。この円すいPの側面に，点Aから点Bまで，ひもをゆるまないようにかける。
　このとき，次の各問いに答えなさい。
　ただし，円周はπとし，答えの分母に√がふくまれるときは，分母を有理化しなさい。また，√の中をできるだけ小さい自然数にしなさい。
①　円すいPの体積を求めなさい。
②　円すいPの側面積を求めなさい。
③　かけたひもの長さが最も短くなるときのひもの長さを求めなさい。

(2019年度三重県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

①
母線の長さを斜辺とし，底面の半径を横の長さとする直角三角形の高さを求めると
$\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
円すいPの体積は
$\pi\times 3^2\times 3\sqrt{3}\div 3=9\sqrt{3}\pi$ (cm3)
②
側面の展開図における扇形の中心角をθとすると，扇形の弧の長さは底面の円周の長さに等しいから
$2\pi\times 6\times \frac{\theta}{360}=2\pi\times 3$
$\theta=180^{\circ}$
扇形の面積は，中心角に比例するから
$\pi\times 6^2\times\frac{180}{360}=18\pi$ (cm2)

③ 右図のように側面の展開図において，ABの最短距離を求めると
$6\sqrt{2}$ (cm)

表面に沿って測るときの最短距離は「展開図で考える」

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