空間図形（高校入試問題1）

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ねじれの位置

基本★

【問題1】

　図1の四面体ABCDにおいて，辺を直線と見たとき，直線ABとねじれの位置にある直線を答えなさい。

(2019年度島根県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
• 空間において，2直線が「交わらず，平行でもない」とき，これらの2直線はねじれに位置にあるという．
　この問題では，直線ABとねじれの位置にある直線はCD…（答）
→解説を隠す←

基本★

【問題2】

　右の図のように，底面が正方形BCDEである正四角すいABCDEがある。次のア～キのうち，直線BCとねじれの位置にある直線はどれか。適当なものを全て選び，その記号を書け。
ア　直線AB　　イ　直線AC　　ウ　直線AD
エ　直線AE　　オ　直線BE　　カ　直線CD
キ　直線DE

(2021年度愛媛県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
• 直線BCと共有点をもたないのは，直線AD, AE, DE．
　このうちDEはBCと平行だから，解答から除く
　ウ(AD)，エ(AE)…（答）
→解説を隠す←

基本★

【問題3】

　右の図は，1辺が5cmの立方体である。次の(1)～(3)に答えなさい。
(1)　辺ABと垂直な面を１つ答えなさい。
(2)　辺ADとねじれの位置にある辺はいくつあるか，答えなさい。
(3)　2点G, Hを結んでできる直線GHと，点Aとの距離を求めなさい。

(2021年度和歌山県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
• 直線と平面の関係としては，（ア）直線が平面内にある（イ）交わる（ウ）平行である，の３つの場合がある．
• この問題では，直線ABと垂直な平面は，BFGCとAEHDである．(←「１つ答えよ」という問題なので，どちらか１つだけ書く）…（答）
(2)
• 全部で12本ある辺のうちでAD以外の11本の辺のうちで，①ADと交わる直線は，AB, AE, CD, HDの4本，②平行な直線は，BC, FG, EHの3本，③ねじれの位置にある直線は，FE, GH, FB, GCの4本
　③の4本が答
(3)

• 教科書を3冊見たが，空間における「点と直線の距離」について，書かれたものがなかったが，「最短距離となる箇所で測る」ことは，平面図形での類推で暗黙の了解ということらしい．
• 「ねじれの位置にある2直線AD, GH間の距離」という問題は，高校入試問題では出題されない??

• 直線GHと，点Aとの距離が最短となるのはAHで，その長さは正方形AEHDの斜辺の長さを三平方の定理を用いて計算すればよい
　 $\rm{AH}=5\sqrt{2}$ (cm)･･･（答） →解説を隠す←

基本★

【問題4】

［Ⅱ］
　図Ⅱ，図Ⅲにおいて，立体ABC-DEFは三角柱である。△ABCは∠ABC=90°の直角三角形であり，AB=4cm, CB=6cmである。△DEF≡△ABCである。四角形EFCBは1辺の長さが6cmの正方形であり，四角形DFCA, DEBAは長方形である。Gは辺DF上の点であり，DG : GF=4 : 3である。
　次の問いに答えなさい。
(3)　図Ⅱにおいて，AとEとを結ぶ。Hは，Gを通り辺FEに平行な直線と辺DEとの交点である。Iは，Hを通り線分AEに平行な直線と辺ADとの交点である。
①　次のア～オのうち，辺ABとねじれの位置にある辺はどれですか。すべて選び，記号を〇で囲みなさい。

ア　辺AD　　イ　辺CF　　ウ　辺DE
エ　辺DF　　オ　辺FE

②　線分DIの長さを求めなさい。

(2021年度大阪府公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(3)①

ア　AD：ADと交わるから×
イ　CF：〇
ウ　DE：平行だから×
エ　DF：〇
オ　FE：〇
以上から，イエオ･･･（答）

②
　DG : GF=4 : 3，GH∥FEだから，DH : HE=4 : 3
さらに
　HI∥EAだから，DI : IA=4 : 3
　 $\rm{DI}=6\times\frac{4}{7}=\frac{24}{7}$ (cm)･･･（答） →解説を隠す←

直方体の体積・断面積・展開図

基本★

【問題5】

　右の図のような直方体があり，AB=BCである。点Aと点F，点Bと点Dをそれぞれ結ぶ。
　AF=3cm, BD=2cmであるとき，次のア，イの問いに答えよ。
ア　次のア～エの線分のうち，面EFGHと垂直な線分はどれか。正しいものを１つ選んで，その記号を書け。
ア　線分AE　イ　線分AF
ウ　線分BC　エ　線分BD
イ　この直方体の体積は何cm3か。

(2019年度香川県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
ア

ア･･･（答）

イ
• 正方形ABCDの対角線の長さが2cmだから，１辺ABの長さは
$2\times\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
• △ABFについて，三平方の定理を使ってBFの長さを求める
$\rm{BF^2+ AB^2=AF^2}$
$\rm{BF^2}=9-2=7$
$\rm{BF}=\sqrt{7}$
• 直方体の体積は
$\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{7}=2\sqrt{7}$ cm3･･･（答） →解説を隠す←

基本★★

【問題6】

　右の図は，AB=7cm, AD=5cm, BF=6cmの直方体ABCD-EFGHです。辺BF, DH上にそれぞれ点P, Qを，BP=HQ=1cmとなるようにとります。この直方体を，4点A, P, G, Qを通る平面で切ると，切り口はひし形になります。
　このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　APの長さを求めなさい。
(2)　ひし形APGQの面積を求めなさい。

(2019年度岩手県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)　△ABPについて，三平方の定理を使ってAPの長さを求める
$\rm{AB^2+ BP^2=AP^2}$
$\rm{AP}=\sqrt{49+ 1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ ･･･（答）

(2)
「ひし形の対角線は，互いに垂直に交わる」
「ひし形の面積は，(対角線の長さの積)÷2」
$\rm{AG}=\sqrt{5^2+ 7^2+ 6^2}=\sqrt{110}$
$\rm{BQ}=\sqrt{5^2+ 7^2+ 4^2}=\sqrt{90}$
$S=\sqrt{110}\times\sqrt{90}\div 2=15\sqrt{11}$ (cm²)･･･（答）
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やや難しい★★★

【問題7】

　右の図のように，1辺の長さが4cmの立方体ABCDEFGHがある。辺BF上に点Pをとり，辺EF, FGの中点をそれぞれQ, Rとする。
　このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　AP+PGの長さを最も短くしたとき，AP+PGの長さを求めなさい。
(2)　3点A, Q, Rを通る平面でこの立方体を切ったとき，切り口の図形の面積を求めなさい。

(2019年度茨城県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
展開図を描いて，長方形AEGCの対角線AGを考えて，三平方の定理で長さを求めるとよいから
$\rm{AP+ PG}=\sqrt{8^2+ 4^2}=4\sqrt{5}$ (cm)･･･（答）
(2)

右図のように，AQの延長がBFの延長と交わる点をSとおくと(AS:AQ=2:1)，同様にして，CRの延長がBFの延長と交わる点はSになるから(CS:RS=2:1)，△ASCは同一平面にあり，四角形AQRCは同一平面にある．特に，AC:QR=2:1の等脚台形となる．
• $\rm{AC=4\sqrt{2},\hspace{3}\rm{QR}=2\sqrt{2}}$
• Q, RからそれぞれACに垂線を引いてT, Uとすると
$\rm{TU=QR}=2\sqrt{2}$
$\rm{AT=UC}=\sqrt{2}$
三平方の定理により
$\rm{AQ=CR}=\sqrt{4^2+ 2^2}=2\sqrt{5}$
$\rm{TQ=UR}=\sqrt{20-2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
等脚台形AQRCについて
$\rm{AC}=4\sqrt{2},\hspace{3}\rm{QR}=2\sqrt{2}$
$\rm{TQ}=3\sqrt{2}$
だから，その面積は
$\frac{(4\sqrt{2}+ 2\sqrt{2})\times 3\sqrt{2}}{2}=18$ (cm²)･･･（答）
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やや難しい★★★

【問題8】

　右の図Ⅰのような直方体ABCD-EFGHがあります。図Ⅱは，この直方体の展開図です。図Ⅱにおいて，線分AGとEFとの交点をPとします。
　このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。

(1)　図Ⅱの線分AGの長さを求めなさい。
(2)　図Ⅱの展開図を直方体ABCD-EFGHに組み立てたときにできる三角錐さんかくすいAEPGの体積を求めなさい。

(2021年度岩手県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
展開図において，直角三角形ABGに，三平方の定理を用いる
$\rm{AG^2=AB^2+ BG^2}=\sqrt{3^2+ (2+ 4)^2}=45$
$\rm{AG}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ (cm)･･･（答）
(2)
△APGを底面とする高さADの三角錐AEPGを考えると
• 底面積は $S=\frac{1\times 2}{2}=1$
• 高さはh=4
となるから，三角錐の体積は
$V=\frac{Sh}{3}=\frac{4}{3}$ (cm³)･･･（答）
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三角錐の体積

基本★

【問題9】
　図1のように，1辺の長さが9cmの立方体状の容器に，水面が頂点A, B, Cを通る平面となるように水を入れた。次に，この容器を水平な台の上に置いたところ，図2のように，容器の底面から水面までの高さがx cmになった。xの値を求めなさい。

(2021年度岐阜県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
三角錐の体積は
$V=\frac{9\times 9}{2}\times 9\times\frac{1}{3}=\frac{243}{2}$ (cm³)･･･（答）
この容積の水を底面積が81(cm²)の容器に入れるから，高さは
$h=\frac{243}{2}\div 81=\frac{3}{2}$ (cm)･･･（答）
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四角錐の体積

基本★

【問題10】

　右の〔図1〕のように，すべての辺の長さが6cmの鉄でできた正四角すいOABCDのおもりがある。底面の正方形ABCDの対角線の交点をHとすると，線分OHは底面ABCDに垂直である。
　次の(1)～(3)の問いに答えよ。
(1)　線分AHの長さを求めなさい。
(2)　正四角すいOABCDの体積を求めなさい。
(3) 略

(2019年度大分県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
ACは，1辺の長さが6cmの正方形の対角線だから
$\rm{AC}=6\sqrt{2}$
$\rm{AH}=\frac{\rm{AC}}{2}=3\sqrt{2}$ (cm³)･･･（答）
(2)
△OAHは直角三角形だから
$\rm{OH}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{2})^2}=3\sqrt{2}$
四角錘の体積は，(底面積)×(高さ)÷3だから
$V=\frac{6^2\times 3\sqrt{2}}{3}=36\sqrt{2}$ (cm³)･･･（答）
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三角錐の体積

基本★★

【問題11】

　右の図で，立方体ABCD−EFGHの体積は1000cm3である。三角錐H−DEGにおいて，△DEGを底面としたときの高さを求めなさい。

(2021年度秋田県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

三角錐の体積：(底面積)×(高さ)÷3 を2通りの方法で表すと，△DEGを底面としたときの高さを求めることができる

• △HEGを底面とし，DHを高さとする三角錐と見た場合，体積は
$V=\frac{10^2}{2}\times 10\div 3=\frac{500}{3}$
• △DEGを底面と見た場合，１辺の長さが $10\sqrt{2}$ の正三角形だから，三角形の高さは $5\sqrt{2}\times\sqrt{3}$
三角形の面積は
$S=10\sqrt{2}\times 5\sqrt{6}\div 2=50\sqrt{3}$
△DEGを底面と見た場合の高さをhとおくと
$V=\frac{500}{3}=50\sqrt{3}h\div 3$
$h=\frac{500}{50\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$ (cm)･･･（答）
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体積比

基本★★★

【問題12】

　右の図のような１辺の長さが8cmの正四面体ABCDがあり，辺AC, ADの中点をそれぞれM, Nとする。また，辺AB上にAE=2cmとなるような点Eをとり，辺BC上にBF=3cmとなるような点Fをとる。このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
(1)　線分MNの長さを答えなさい。
(2)　△AEM∽△BFEであることを証明しなさい。
(3)　5点F, C, D, N, Mを結んでできる四角すいの体積は，三角すいEAMNの体積の何倍か，求めなさい。

(2021年度新潟県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
• △AMNと△ACDは相似比1：2の相似図形だから，MN=4(cm)･･･（答）
(2)
• △AEMと△BFEについて
　AE : BF=2 : 3
　AM : BE=4 : 6=2 : 3
　∠EAM=∠FBE=60°
２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから，△AEM∽△BFE･･･（証明終わり）
(3)
２つの立体の底面をいずれも△ABDにとると，高さは辺AB上の線分の長さ，または辺BC上の線分の長さと比例する
• F, C, D, N, Mを結んでできる四角すいの底面積をS1，高さをh1とおく
　三角すいEAMNの底面積をS2，高さをh2とおく
• AからMNに引いた垂線の長さをLとおくと
$\rm{S_1=\frac{(AB+ CD)\times L}{2}=\frac{12\times L}{2}=6L}$
$\rm{S_2=\frac{AB\times L}{2}=\frac{4\times L}{2}=2L}$
$\rm{h_1}=(8-3)k=5k$
$\rm{h_2}=2k$
したがって
$\rm{\frac{S_1\times h_1}{3}\hspace{2}:\hspace{2}\frac{S_2\times h_2}{3}}=\frac{6L\times 5k}{3}\hspace{2}:\hspace{2}\frac{2L\times 2k}{3}$
$=30kL\hspace{2}:\hspace{2}4kL=15\hspace{2}:\hspace{2}2$
結局
$\frac{15}{2}$ 倍･･･（答） →解説を隠す←

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