資料の整理と活用（高校入試問題）

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♪♥♫♦∀～基本が中心～∳♣♬∅♠

度数分布表から平均値を求める

（解答）
元の資料 $x_1,\hspace{1}x_2,\hspace{1}x_2,\hspace{1}\cdots\hspace{1}x_n$ が与えられているとき，平均値は
$\frac{x_1+ x_2+ x_2+ \cdots + x_n}{n}$
で求められるが，この問題のように，資料が度数分布表にまとめられているときは，

階級	階級値	度数
140^以上～160^未満 160～180　 180～200	150 170 190	3 6 1
計		10

それぞれの階級の中央の所（階級値という）に度数で示される個数のデータがあると『みなして』平均値を求める．
$\frac{150\times 3+ 170\times 6+ 190\times 1}{10}=166$ …（答）
→解説を隠す←

（解答）
　次の表のように，それぞれの階級の中央の所（階級値）に度数で示される個数のデータがあると『みなして』平均値を求める．

階級	階級値	度数
0^以上～10^未満 10～20　 20～30　 30～40	5 15 25 35	4 7 6 3
計		20

$\frac{5\times 4+ 15\times 7+ 25\times 6+ 35\times 3}{20}=19$ …（答）
→解説を隠す←

（解答）
冊数の平均値が3冊だから
$\frac{0\times 2+ 1\times 1+ 2\times a+ 3\times 3+ 4\times 5+ 5\times b+ 6\times 1}{15}=3$ …(1)
人数の合計が15人だから
$2+ 1+ a+ 3+ 5+ b+ 1=15$ …(2)
(1)(2)を連立方程式として解く

2a+5b=9…(1')
a+b=3…(2')
(1')−(2')×2
　3b=3
　b=1, a=2…（答） →解説を隠す←

（解答）
度数の計が50だからア＝12
(階級値)×(度数)の計が370.0だからイ＝88.8

(平均値)＝ $\frac{370.0}{50}=7.4$ …（答） →解説を隠す←

度数分布表から中央値を求める

（解答）

　小さい値から順に並べたとき，資料の総数が奇数個の場合は，ちょうど中央の値を中央値（メジアン）という．
　資料の総数が偶数個の場合は，中央にある2つの値の平均値を中央値（メジアン）という．

この問題では，資料の総数が20個だから，小さい方から数えて10番目と11番目の平均値を中央値（メジアン）とする．
65 68 75 76 86 87 87 88 93 94 | 95 96 98 98 102 105 106 110 120 120
の順に並ぶから
$\frac{94+ 95}{2}=94.5$ (ｇ) …（答） →解説を隠す←

【問題6】
　下の図は，ある学級の生徒40人の通学時間について調べ，その結果をヒストグラムに表したものです。このヒストグラムから，例えば，通学時間が0分以上5分未満の人は3人いたことが分かります。下の①～④の階級の中で，中央値が含まれるものはどれですか。その番号を書きなさい。

(人) (通学時間) 0 2 4 6 8 10 12 14 0 5 10 15 20 25 30 35 (分)

① 5分以上10分未満 ② 10分以上15分未満
③ 15分以上20分未満 ④ 20分以上25分未満
　

（2017年度広島県公立高校入試問題）

※本当の試験は，上記のように書かれていますが，この教材では画面上で採点するため，上記の青色で書いた選択肢を「クリック」してください．

解説を読む

（解答）
この問題では，資料の総数が40だから，小さい方から数えて20番目と21番目の平均値が中央値（メジアン）になる．
小さい方から各階級の度数を足すと
　3+12=15≦20
　3+12+7=22≧21
だから，②「10分以上15分未満」の階級の中に中央値が含まれる …（答） →解説を隠す←

【問題7】

身長表(野球部員)
身長(cm)	度数（人）
以上未満 145.0～150.0 150.0～155.0 155.0～160.0 160.0～165.0 165.0～170.0 170.0～175.0	2 x 12 5 4 1
計	30

　右の表は，ある中学校の野球部員30人の身長の度数分布表である。
　このとき，次の問いに答えよ。
(1)　度数分布表の中にあるxの値を求めよ。
　x=
(2)　中央値が入っている階級を答えよ。

(3)　身長が165.0cm以上170.0cm未満の階級の相対度数を，小数第3位を四捨五入して，小数第2位まで求めよ。
　

（2018年度福井県公立高校入試問題）

　※(2)の問題は，本当の試験では記述式で書くようになっていますが，この教材では画面上で採点する都合上，問題文の表の中で階級欄をクリックして答えてください．

(1)(3)を採点するやり直す解説を読む

（解答）
(1)
度数の合計が30だから，2+x+12+5+4+1=30
　x=6…（答）
(2)
小さい方から数えて，15番目と16番目の平均が中央値になる．
2+6≦15<16≦2+6+12だから中央値は
　「155.0～160.0」の階級に入っている…（答）
(3)
　4÷30=0.133···≒0.13…（答）
→解説を隠す←

ゲームの得点
階級(点)	度数(人)
0	3
1	4
2	ア
3	イ
4	4
5	2
合計	17

【問題8】
　右の度数分布表は，17人があるゲームを行ったときの得点の記録をまとめたものである。得点の中央値が2点であるとき，ア，イにあてはまる数の組は何組あるか，求めなさい。

（2018年度秋田県公立高校入試問題）

　(組)

採点するやり直す解説を読む

（解答）
ア，イ≧0として
度数の合計が17になるのだから
　3+4+ア+イ+4+2=17
　ア+イ=4…(1)
資料の総数が17(人)の場合，中央値は小さい順に9番目になるから
　3+4<9(成り立つ)
　3+4+ア≧9
　ア≧2…(2)
(1)(2)を満たすア，イの組は，次の表の通り

ア	2	3	4
イ	2	1	0

　3(組) …（答）
→解説を隠す←

度数分布表から最頻値を求める

（解答）
• 度数の合計が50(人)だから，小さい順に25番目と26番目の平均が中央値になる
• 5匹以下が24人，6匹以下が29人だから，中央値は6(匹)…(答)
• 度数が最も多い階級の階級値が最頻値だから，最頻値は2(匹)…(答)
→解説を隠す←

試合の得点
階級(点)	度数(試合)
0 1 2 3 4 5 6	1 5 2 2 6 3 1
合計	20

【問題10】

　右の度数分布表は，あるサッカーチームが行った試合の得点の記録をまとめたものである。この表から試合の得点の最頻値と平均値をそれぞれ求めなさい。

（2015年度秋田県公立高校入試問題）

　最頻値 (点)
　平均値 (点)

採点するやり直す解説を読む

（解答）
• 度数が最も多い階級の階級値が最頻値だから，最頻値は4(点)…(答)
• 平均値は

$\frac{0\times 1+ 1\times 5+ 2\times 2+ 3\times 2+ 4\times 6+ 5\times 3+ 6\times 1}{20}=3$ (点)…(答)
→解説を隠す←

（「日本国勢図絵」2016/17年版より作成)
階級(人)	度数 (区数)
以上未満　50000～200000 200000～350000 350000～500000 500000～650000 650000～800000 800000～950000	3 10 3 2 4 1
計	23

【問題11】
　次の表は，東京23区のそれぞれの人口を調べ，度数分布表にまとめたものである。このとき，人口の最頻値を答えなさい。

（2018年度新潟県公立高校入試問題）

　(人)

採点するやり直す解説を読む

（解答）
資料が度数分布表に整理されているとき，度数が最も大きい階級の『階級値』（その階級の真ん中の値）を『最頻値』とする．
度数が最も大きい階級は，200000～350000(人)の階級で，その階級値は

$\frac{20000+ 350000}{2}=275000$ (人)…(答)
→解説を隠す←

（解答）
資料が度数分布表に整理されているとき，度数が最も大きい階級の『階級値』（その階級の真ん中の値）を『最頻値』とする．
①　度数が最も大きい階級は，20～25(m)の階級で，その階級値は

$\frac{20+ 25}{2}=22.5$ (m)…(答)
②　各階級の度数を度数の合計で割ったものが相対度数だから

$\frac{8}{40}=0.2$ …(答)
→解説を隠す←

代表値などの総合問題

読んだ本の冊数
階級(冊)	度数(人)
7	2
6	7
5	4
4	5
3	4
2	2
1	1
合計	25

【問題13】

　ある学級の生徒全員について，読書週間に読んだ本の冊数を調べた。右の度数分布表は，その結果をまとめたものである。この表から必ずいえることを，次のア～エの中から１つ選んで記号を書きなさい。

ア　最頻値は7冊である
イ　中央値は5冊である
ウ　分布の範囲は7冊である
エ　全員の読んだ本の冊数の合計は110冊である

（2017年度秋田県公立高校入試問題）

採点するやり直す解説を読む

（解答）
• 度数分布表では，度数が最も大きい階級の階級値が最頻値
　⇒ 最も大きい度数7(人)に対応する階級の階級値は6(冊)だから，アは違う
• 資料を大きさの順に並べたとき，その中央に来る値を中央値という．全部で偶数個あるときは，真ん中に並ぶ２つの値の平均値を中央値とする
　⇒ 全部で25人の中央は，13番目の値の5(冊)になるから，イは正しい
• 最大値と最小値の差を範囲という
　⇒ 最大値は7(冊)，最小値は1(冊)だから，範囲は7−1=6(冊)．ウは違う
• 階級値×度数の和が合計
　⇒ 合計は7×2+6×7+5×4+4×5+3×4+2×2+1×1=113冊になるから，エは違う
以上から，イ…(答)
→解説を隠す←

（解答）
• 40人の得点の平均値が60点ということは，得点合計が2400点ということに対応している
　⇒ 例えば，24人が100点で，残り16人が0点の場合，中央値は100点になるから，アは違う
　（他の例で，30人が80点で，残り10人が0点の場合，中央値は80点になるから，アは違う）
• 40人の得点の平均値が60点ということは，得点合計が2400点ということに対応している．そこで，全員の得点が5点ずつ上がれば，合計得点は5×40=200点増加する
　⇒ 平均値は(2400+200)÷40=65点になるから，イは正しい
• 40人の得点の平均値が60点ということは，得点合計が2400点ということに対応している
　⇒ 例えば，24人が100点で，残り16人が0点の場合，最頻値は100点になるから，ウは違う
　（他の例で，30人が80点で，残り10人が0点の場合，最頻値は80点になるから，ウは違う）
•
　⇒ 例えば，24人が100点で，残り16人が0点の場合，100点が入る階級の度数が最も多いから，エは違う
　（他の例で，30人が80点で，残り10人が0点の場合，80点が入る階級の度数が最も多いから，エは違う）
以上から，イ…(答)
→解説を隠す←

【問題15】

(人) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 (冊)

　右図は，25人の生徒がある期間中に読んだ本の冊数を冊数別に表したヒストグラムである。次のア～エのうち，このヒストグラムからわかることとして正しいものはどれですか。一つ選び，記号を〇で囲みなさい。
ア　平均値は4冊である。
イ　最頻値は3冊である。
ウ　中央値は3冊である。
エ　範囲は4冊である。
　

（2016年度大阪府公立高校入試問題）

※本当の試験は，上記のように書かれていますが，この教材では画面上で採点するため，上記の青色で書いた選択肢を「クリック」してください．

解説を読む

（解答）
ア
平均値は， $\frac{0\times 2+ 1\times 3+ 2\times 6+ 3\times 4+ 4\times 7+ 5\times 3}{25}=\frac{70}{25}=2.8$ だから，アは違う
イ
最頻値は4冊だから,イは違う
ウ
25人の資料を小さい順にならべたとき，13番目が中央値になる．13番目は3冊だから，ウは正しい．
エ
最大値と最小値の差を範囲というから，この問題では，範囲は5−0=5(冊)．エは違う．
以上のより，正しいものは，ウ …（答） →解説を隠す←

借りた本の冊数(冊)	生徒の人数(人)
7	5
6	3
5	2
4	3
3	4
2	2
1	6
合計	25

【問題16】

　生徒25人がある期間中に図書室から本を借りた。右の表は，本を借りた生徒の人数を冊数別にまとめたものである。借りた本の冊数の平均値, 中央値をもとに，a, b, c, dを次のように定める。

a……借りた本の冊数が平均値より大きい生徒の人数
b……借りた本の冊数が平均値より小さい生徒の人数
c……借りた本の冊数が中央値より大きい生徒の人数
d……借りた本の冊数が中央値より小さい生徒の人数

　次のア～エの式のうち，正しいものを一つ選び，記号を〇で囲みなさい。
　ア　a=b　　イ　a=c　　ウ　b=d　　エ　c=d

（2015年度大阪府公立高校入試問題）

※本当の試験は，上記のように書かれていますが，この教材では画面上で採点するため，上記の青色で書いた選択肢を「クリック」してください．

解説を読む

（解答）
平均値は， $\frac{7\times 5+ 6\times 3+ 5\times 2+ 4\times 3+ 3\times 4+ 2\times 2+ 1\times 6}{25}=\frac{97}{25}=3.88$
そこで
　a=5+3+2+3=13
　b=4+2+6=12
25人の資料の中央値は，小さい方から13番目の値だから，4冊
そこで
　c=5+3+2=10
　d=4+2+6=12
したがって，「ウ　b=d」…（答）
→解説を隠す←

【問題17】
　ある中学校の3年1組と3年2組の生徒をあわせたx人について，50m走のタイムを計った。このとき，次の各問いに答えなさい。

表
記録(秒) 以上未満	度数(人)	相対度数
7.0～7.5	3	0.06
7.5～8.0	15	0.30
8.0～8.5	y	0.36
8.5～9.0	10	0.20
9.0～9.5	4	0.08
計	x	1.00

問１　右の表は，50m走の記録を度数分布表に表したものである。次の(1)，(2)に答えなさい。
(1)　表のx, yにあてはまる数を，それぞれ求めなさい。
(2)　記録が8.0秒未満の生徒は，生徒x人の何%になるか求めなさい。
問２　下の図は，クラス別のヒストグラムである。このヒストグラムについて正しく述べている文を，あとのア～エからひとつ選び，記号で答えなさい。

図 3年1組のヒストグラム (人) 0 5 10 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 (秒)

3年2組のヒストグラム (人) 0 5 10 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 (秒)

ア　7.5秒以上8.0秒未満の度数は，3年2組より3年1組の方が多い。
イ　範囲は，3年1組，3年2組ともに等しい。
ウ　中央値は，3年2組より3年1組の方が大きい。
エ　最頻値は，3年1組，3年2組ともに同じ階級にはいっている。

（2015年度鳥取県公立高校入試問題）

問1
(1)　x=
y=
(2)　(%)
問2

採点するやり直す解説を読む

（解答）
問1
(1) 度数の合計から
　3+15+y+10+4=x…(#1)
3とyの相対度数の比率から
　3:y=0.06:0.36=1:6…(#2)

y+32=x…(#1')
y=18…(#2')
(#1')(#2')より，x=50, y=18…(答)
(2)
0.06+0.30=0.36だから36(%)…(答)
　　　　↑やさしい！♪♥♫♦∀
問2
ア　7.5秒以上8.0秒未満の度数は，3年2組は10，3年1組は5 ⇒ 3年2組の方が多いから，×

イ

• どの教科書でも，「範囲とは最大値から最小値を引いた差である」と書かれているが，この問題のように，資料が度数分布表で与えられた場合には，「最大値の入っている階級の階級値から最小値の入っている階級の階級値の差を範囲」とみなしてよいというところまで具体的に踏み込んで書かれている教科書はない．そのため，公立高校入試問題では，階級内で極端な偏りがあっても確実に言える問題しか出さないことが多い．
　とすれば，この問題は難しい!!∳♣♬∅♠

「各階級の階級値」に度数で示される資料があると「みなせばよい」から，3年1組の範囲は，9.25−7.75=1.5，3年2組の範囲は，9.25−7.25=2.0
⇒ 3年2組の範囲の方が大きいから，×

　普通の中学生の立場で考えた場合，階級内で極端な偏りがあっても，1組は最大では7.5～9.4→範囲は1.9，最小では7.9～9.0→範囲は1.1
2組は最大では7.0～9.4→範囲は2.4，最小では7.4～9.0→範囲は1.6
　以上から「1組の範囲が小さい場合」「範囲が等しい場合」2組の範囲が大きい場合」の『いずれかに決まらないから』，等しいとは言えない ⇒ ×

　見た目で考えて「1組は7.5～9.5:範囲は2.0」「2組は7.0～9.5:範囲は2.5」だから「等しくない」と答える生徒が多いと思われる．その結論は正しいが，根拠が違う

ウ　25人の資料の中央値は小さい方から13番目になる．3年1組の中央値は，8.0～8.5の階級の階級値 8.25，3年2組の中央値は，7.5～8.0の階級の階級値 7.75
⇒ 3年1組の中央値の方が大きいから，〇

• 高校数学Ⅰでは，各階級の中に資料が等間隔に並ぶものとして，中央値を推定する．例えば，この問題の3年1組で8.0～8.5の階級に9個の資料が入るから，
(8.0),8.05, 8.10, 8.15, 8.20, 8.25, 8.30, 8.35, 8.40, 8.45, (8.5) のように並ぶと推定して，この階級の小さい方から8番目の8.45を中央値とする．
• しかし，中学校の教科書では，各階級の階級値に度数に示された資料があるとみなして，この階級値の小さい方から8番目の8.25を中央値とする．高校入試では8.25が正解となる．
誰が答えるかによって，正解が変わるので注意 ∳♣♬∅♠

エ　資料が度数分布表で示されているときは，度数が最も大きい階級の「階級値」を最頻値とするから，3年1組では8.75秒，3年2組では7.75秒が最頻値となる
⇒ エは×
以上から，正しいものはウ →解説を隠す←

【問題18】
　ある中学校の1年A組25人と1年B組25人の休日の学習時間を調べた。
　下の〔図1〕，〔図2〕は，それぞれの結果をヒストグラムに表したものである。２つの図から読み取れることとして適切なものを，下のア～エから１つ選び，記号で書きなさい。

〔図1〕 1年A組 (人) 0 2 4 6 8 10 0 30 60 90 120 150 180 210 240 (分)

〔図2〕 1年B組 (人) 0 2 4 6 8 10 0 30 60 90 120 150 180 210 240 (分)

ア　１年Ａ組は１年Ｂ組より，学習時間の分布の範囲が小さい。
イ　１年Ａ組は１年Ｂ組より，最頻値を含む階級の度数が多い。
ウ　１年Ａ組は１年Ｂ組より，中央値を含む階級の度数が少ない。
エ　１年A組は１年Ｂ組より，学習時間が150分以上の人数が多い。

（2017年度大分県公立高校入試問題）

採点するやり直す解説を読む

（解答）
ア
「最大値の入っている階級の階級値から最小値の入っている階級の階級値の差を範囲」とみなす立場から言えば，
　１年Ａ組の学習時間の分布の範囲は，225−15=210，１年Ｂ組の学習時間の分布の範囲は，195−45=150
⇒ １年Ａ組の学習時間の分布の範囲が大きいから，×

通常，中学校の教科書に書かれていない上記の立場に依らなくても
Ａ組で最も範囲が大きくなるのは，0～239:239，Ａ組で最も範囲が小さくなるのは，29～210:181，
Ｂ組で最も範囲が大きくなるのは，30～209:179，Ｂ組で最も範囲が小さくなるのは，59～180:121，

⇒ 階級内で極端な偏りがあっても，Ａ組の範囲が必ず大きくなると言える

イ
最頻値を含む階級の度数は１年Ａ組は8, １年Ｂ組は7
⇒ 〇

ウ
25人の資料では，小さい方から13番目が中央値
中央値を含む階級の度数は１年Ａ組は8, １年Ｂ組は6
⇒ ×

エ
学習時間が150分以上の人数は，１年Ａ組は8人, １年Ｂ組は10人
⇒ ×
以上から，イ…（答）
→解説を隠す←

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