円周角の定理（高校入試問題5）

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== 円周角の定理（高校入試問題5） == このページの教材のレベルは

♪♥♫♦∀高校入試の標準～やや難∳♣♬∅♠

≪要点1≫　円周角の定理

１つの弧に対する円周角は，その弧に対する中心角の半分である

∠APB= $\frac{1}{2}$ ∠AOB

１つの弧に対する円周角はすべて等しい

∠APB=∠AQB

≪要点2≫　弧の長さと円周角の関係

同一の円では
(1) 弧の長さが等しければ，円周角も等しい
　　AB=CDならば∠APB=∠CQD

(2) 円周角が等しければ，弧の長さも等しい
　　∠APB=∠CQDならばAB=CD

基本★

【問題1】

　右の図のように，円Oの円周上に５つの点A, B, C, D, Eがあり，線分BEは円Oの直径である。また，線分ACとBDの交点をPとする。∠BPC=103°, ∠PCD=72°であるとき，∠xの大きさを答えなさい。

(2018年度新潟県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
• △PCDについて，∠Pの外角は∠D, ∠Cの内角の和に等しいから
　∠CDP+72°=103°
　∠CDP=31°
• ∠CAB=∠CDB=31°（弧CBの円周角）…(1)
• BEは直径だから，∠EAB=90°…(2)
(1)(2)より，∠x=90°−31°=59°…（答）
→解説を隠す←

基本★★

【問題2】

　右の図のように，円Oの円周上に4つの点A, B, C, Dがあり，線分ACは円Oの直径である。∠BDA=58°, ∠OBD=24°であるとき，∠xの大きさを答えなさい。

(2019年度新潟県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
• ∠BOA=2∠BDA=116°（弧ABの円周角と中心角）
• △ABOは二等辺三角形だから
　∠OAB=∠OBA=(180°−116°)÷2=32°
• 弧ADに対する円周角は等しいから
　∠x=∠ABD=56°…（答）

（別解）←ここをクリック

• △OBDは二等辺三角形だから
　∠BDO=24°
△OBDの内角の和は180°だから
　∠ODA=58°−24°=34°
• △ODAは二等辺三角形だから
　∠DAO=34°
△ODAの内角の和は180°だから
　∠AOD=180°−(34°+34°)=112°
• 弧ADの円周角と中心角の関係から
　∠x=∠x=112°÷2=56°…（答）

→解説を隠す←

基本★★

【問題3】

　右の図において，4点A, B, C, Dは円Oの周上の点で，AD∥BCである。
　また，点Eは点Aを含まないBC上の点であり，点Fは線分AEと線分BDとの交点である。
　このとき，∠AFDの大きさを求めなさい。
1. 72°　　2. 74°　　3. 76°　　4. 80°

(2021年度神奈川県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

［ここがポイント］
34°の利用方法は分かりやすいが，40°という条件をどう使うかが重要

三 : 三角形の内角の和は180°
周 : 円周角は等しい
錯 : 平行線の錯角は等しい
四 : 円に内接する四角形の対角の和は180°

として

三 → 四 →
周 → 錯 →

三

の形で証明の進め方を考えるとできる

• △CDEの内角の和は180°だから
　∠ECD=180°−(34°+40°)=106°
• AECDは円に内接する四角形だから対角の和は180°
　∠DAE=180°−106°=74°…(#1)
• 弧CDに対する円周角は等しいから
　∠DBC=∠DEC=34°
• 平行線AD∥BCと交わる線分BDとでできる錯角は等しいから
　∠BDA=∠CBD=34°…(#2)
• △AFDの内角の和は180°だから，(#1)(#2)により
　∠AFD=180°−(74°+34°)=72°…（答）→ 1.
→解説を隠す←

基本★★

【問題4】

図2

　次の　の中の「あ」「い」にあてはまる数字をそれぞれ0～9の中から1つずつ選び，その数字を答えなさい。
　右の図2において，5点A, B, C, D, Eは円Oの周上の点で，BE∥CDであり，線分ADは∠BDEの二等分線である。
　また，点Fは線分ADと線分CEとの交点である。
　このとき，∠AFE=あい°である。

(2022年度神奈川県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

［ここがポイント］
67°の利用方法は分かりやすいが，86°という条件をどう使うかが重要

外 : 三角形の外角=残り2つの内角の和
三 : 三角形の内角の和は180°
周 : 円周角は等しい
錯 : 平行線の錯角は等しい
内 : 円に内接する四角形の対角は等しい

として

錯 → 周 → 外 →
周 → 内 →
周 →

外

の形で証明の進め方を考えるとできる

• 平行線BE∥CDと交わる線分CE, BDとでできる錯角は等しいから
　∠BEC=∠DCE
　∠DBE=∠BDC
• 線分CE, BDの交点を線分Gとおくと，△CDGについて∠Gの外角は，∠C, ∠Dの内角の和に等しいから
　∠D+∠C=86°
　∠D=∠C=43°
　∠BEC=43°
• 弧DEに対する円周角は等しいから
　∠DAE=∠DBE=43°
• ABDEは円に内接する四角形だから対角の和は180°
また，仮定により∠EDA=∠ADB
　∠BAE+∠EDB=180°
　43°+67°+2∠EDA=180°
　∠EDA=35°
• 弧BDに対する円周角は等しいから
　∠BED=∠BAD=67°
したがって
　∠FED=67°−43°=24°
• △FDEについて∠Fの外角は，∠D, ∠Eの内角の和に等しいから
　∠AFE=35°+24°=59° …（答）
→解説を隠す←

長さや面積を求める問題

≪要点3≫　相似図形の性質
(1)
　右図のように２つの弦AC, BDが点Pで交わっているときは，相似図形ができ，辺の長さの比が求められる
　　△ABP∽△DCP
　　AB:DC=BP:CP(=AP:DP)

(2)
　面積比は，相似比の２乗に等しい
　　AB:DC=m:nのとき
　　S:T=m2:n2

　"相似比の２乗"という用語は，広く使われており，学習指導要領解説や約半分の教科書でも使われているが，残りの教科書では"相似比の２乗"という言い方はしない．どちらも，(m : n)2のような記号は使わない．
　筆者は，村の小学校で"相似比の２乗比"と習ったが，この言い方は，現在ほとんど使われていない．
　［要約］
　"相似比の2乗"という用語を使うのはよいが，2乗の比，すなわちm2:n2という意味だと分かっていればよい．

≪要点4≫
　右図のような図形では
　直径の上に立つ円周角は90°だから，直角三角形ができ，三平方の定理が使える

　 $\rm{AP^2+ PB^2=AB^2}$

基本★★★

【問題5】

$2\sqrt{21}$

　右の図は，線分ABを直径とする半円で，点OはABの中点である。点Cは，AB上にあり，点Dは，線分BCと∠BACの二等分線との交点である。点Eは，ADの延長とBCとの交点であり，点Fは，線分OEと線分BCとの交点である。
　このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたまま答えること。
(1)　△ACD∽△EFDであることを証明しなさい。
(2)　AB=10cm, AC=4cmのとき，

①　線分OFの長さを求めなさい。
②　線分DFの長さを求めなさい。

(2022年度熊本県公立高校入試問題)

(1) （やさしい）解説を読む

• △ACDと△EFDについて
　∠CDA=∠FDE（対頂角）…(#1)
• △OAEについて
　OA=OE（円Oの半径）
二等辺三角形の両底角は等しいから
　∠OAE=∠OEA…(#2)
• 仮定により，AEは，∠BACの二等分線だから
　∠OAE=∠EAC…(#3)
(#2)(#3)より
　∠OEA=∠EAC
すなわち
　∠FED=∠DAC…(#4)
• (#1)(#4)により，△CDAと△EFDについて，2組の角がそれぞれ等しいから
　△ACD∽∠EFD…(証明終わり) →解説を隠す←

(2) ①（思考力が必要）解説を読む

(1)の途中で分かるように，∠OAE=∠EACだから，OE∥AC
したがって，△BOF∽∠BAC
　BA:AC=BO:OF
　10:4=5:OF
　OF=2…（答）
→解説を隠す←

　②（思考力が必要）解説を読む

• ∠ACB=90°だから，三平方の定理により
　 $\rm{AC^2+ CB^2=AB^2}$
　 $\rm{CB}=\sqrt{100-16}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$
　 $\rm{CF}=\sqrt{21}$
• CD:DF=AC:EF=4:3
　 $\rm{DF}=\frac{3}{7}\sqrt{21}$
→解説を隠す←

★★★

【問題6】

　図4のように，AC⊥BD, AD=3cm, DE= $\sqrt{5}$ cmとする。また，BA∥CFとなるように円Oの周上に点Fをとり，直線BDと直線CFの交点をGとする。
　このとき，△ABEと△CGEの面積の比を求め，最も簡単な整数の比で表わしなさい。

(2021年度和歌山県公立高校入試問題)

解説を読む

• BDは直径ACと垂直だから，△AEDは，直角三角形
　三平方の定理によりAE2+ED2=AD2
　AE= $\sqrt{9-5}=2$
• △ABEと△DCEについて
　∠ABE=∠DCE（弧ADの円周角）
　∠AEB=∠CED（対頂角）
よって，２組の角がそれぞれ等しいから
　△ABE∽△DCE
• CE=xとおくと，上記２つの三角形の相似比の関係から
　2: $\sqrt{5}$ = $\sqrt{5}$ :x
　 $x=\frac{5}{2}$
• BA∥CFだから
　∠ABE=∠CGE（錯角）
　2つの直角三角形で，直角以外に１組の角が等しいから
　△ABE∽△CGE
• △ABEと△CGEの相似比は
　 $2:\frac{5}{2}=4:5$
したがって，面積比は
　16:25…(答) →解説を隠す←

かなり大変★★★

【問題7】

　右の〔図〕のように，円Oの周上の4点A, B, C, Dを頂点とする四角形ABCDがあり，線分ACは円Oの直径である。また，線分ACと線分BDの交点をEとする。
　さらに，点Bを通る円Oの接線をひき，線分ACを延長した直線との交点をFとする。
　次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　△EAD∽△EBCであることを証明しなさい。
(2)　DA=DC, BC=2cm, ∠AFB=30°とする。

　次の①，②の問いに答えなさい。
①　線分OCの長さを求めなさい。
②　線分EDの長さを求めなさい。

(2022年度大分県公立高校入試問題)

(1)
解説を読む

• △EADと△EBCについて
　∠ADE=∠ECB（弧ABの円周角）
　∠AED=∠CEB（対頂角）
よって，２組の角がそれぞれ等しいから
　△EAD∽△EBC…(証明終わり) →解説を隠す←

(2)①
解説を読む

• 線分BFは円Oの接線だから，BF⊥BO • ∠AFB=30°だから
　∠BOF=60°
• △BOCは二等辺三角形だから，結局，正三角形になる
　OC=BC=2cm…(答) →解説を隠す←

(2)②
解説を読む

• △BOCは1辺の長さが2cmの正三角形だから，その高さは $\sqrt{3}$ (cm)
• 直角三角形△DBFを作ると
　BF=1(cm)
　 $\rm{DB^2=DF^2+ BF^2}$
　 $=(2+\sqrt{3})^2+ 1^2=4+ 4\sqrt{3}+ 3+ 1$
　 $=8+ 4\sqrt{3}=8+ 2\sqrt{12}=(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2$
　 $DB=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
•　△DBF∽△DEOだから
　DE : DB= DO : DF
　 $\rm{DB}\hspace{1}:\hspace{1}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=2\hspace{1}:\hspace{1}(2+\sqrt{3})$
　 $\rm{DB}=\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2+\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})(2-\sqrt{3})}{4-3}$
　 $=2(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ …(答) →解説を隠す←

難★★★

【問題8】

　右の図のように，線分ABを直径とする円Oの周上に点Cがあり，AB=5cm, AC=3cmである。線分AB上に点Dをとり，直線CDと円Oとの交点のうち点C以外の点をEとする。ただし，点Dは，点A, Bと一致しないものとする。各問いに答えよ。
(1)　△ACD∽△EBDを証明せよ。
(2)　∠BAC=a°とする。BC=CEのとき，∠OCDの大きさをaを用いて表せ。
(3)　∠AOE=60°のとき，線分DEの長さは線分ADの長さの何倍か。
(4)　AC=CDのとき，△OEBの面積を求めよ。

(2021年度奈良県公立高校入試問題)

(1)
解説を読む

• △ACDと△EBDについて
　∠ACD=∠EBD（弧AEの円周角）
　∠ADC=∠BDE（対頂角）
よって，２組の角がそれぞれ等しいから
　△ACD∽△EBD…(証明終わり) →解説を隠す←

(2)
解説を読む

• ∠OBC=∠OCB（二等辺三角形の両底角）
• ∠BOC=2∠BAC=2a（弧BCの円周角と中心角）
　2∠OBC+2a=180°（三角形の内角の和）
　∠OBC=90°−a
• △BOCと△COEについて
　BC=CE（仮定）
　BO=CO=EO（円の半径）
対応する3辺がそれぞれ等しいから
　△BOC≡△COE
したがって
　∠OCD=∠OBC=90°−a…(答) →解説を隠す←

(3)
解説を読む

• (1)の結果から△ACD∽△EBD
したがって，DE:AD=EB:AC
ここでEB=Lとおくと
　 $\rm{\frac{DE}{AD}=\frac{L}{3}}$
• EからABに降ろした垂線の足をHとおくと，△EHBは直角三角形
また，△AEOは正三角形だから
　 $\rm{AO=EO=AE}=\frac{5}{2}}$
　 $\rm{HO}=\frac{5}{4},\hspace{3}\rm{OB}=\frac{5}{2}$
　 $\rm{EH}=\frac{5\sqrt{3}}{4}$
だから，△EHBについて，三平方の定理により
　 $\rm{L^2}=\big(\frac{5\sqrt{3}}{4}\big)^2+\big(\frac{5}{4}+\frac{5}{2}\big)^2$
$=\frac{75}{16}+\frac{225}{16}=\frac{300}{16}=\frac{75}{4}$
　 $\rm{L}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
したがって
　 $\rm{\frac{DE}{AD}=\frac{L}{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$ …(答)
→解説を隠す←

(4)
解説を読む

※♪♬∅♠♫-- 問題に示された図と(4)の実際の図が全然違うので，慌てるかもしれない! --♥♦∀∳♣
《証明の進め方--全体の流れ》
①△CAD∽△OCAを利用して，AD(=x)を求める
②△DBEは二等辺三角形だから，BD=56−xを求めるとBEが求まる
③BEの長さを求めると，△OEBの残り2つの辺は，円Oの半径2.5(cm)だから，△OEBの面積が求まる．

• AD=xとおく
• △CADと△OCAは，二等辺三角形で両底角がそれぞれ等しいから相似三角形
　AC:AD=OC:CA
　3 : x=2.5 : 3
　 $x=\frac{9}{2.5}=\frac{18}{5}$
• $\rm{DB}=5-x=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}$
• BEの中点をHとおくと，三平方の定理により
　 $\rm{OH^2+ HB^2=OB^2}$
　 $\rm{OH^2}=\frac{25}{4}-\frac{49}{100}=\frac{144}{25}$
　 $\rm{OH}=\frac{12}{5}$
したがって，△OEB=Sとおくと
　 $\rm{S}=\frac{7}{5}\times\frac{12}{5}\div 2=\frac{42}{25}$ …(答)

筆者の感想：この答案を10分程度で書くのは，かなり大変だと思う

→解説を隠す←

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