♪♥♫♦∀〜高校入試の標準レベル問題〜∳♣♬∅♠

• 円周上の2点ABに対する弧の描き方は，２通りある．右図で青で示したような半円よりも短く描いた弧を「劣弧れっこ」，赤で示したような半円よりも長く描いた弧を「優弧ゆうこ」という．
• 図1のように，教科書や問題集で見かける多くの図では，弧を劣弧として指定するので，「弧ABを除いた円周上」すなわち優弧の上に点Pをとって円周角を定める．

• 弧を優弧として指定することもでき，その場合は「弧ABを除いた円周上」すなわち劣弧の上に点Pをとって円周角を定めることになる．
【円周角の定理】
(1) １つの弧に対する円周角の大きさは，その弧に対する中心角の大きさの半分である．
　∠APB∠AOB
(2) 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい．

※今の教科書で（たぶんこの数十年間），中学校数学の教科書で，優弧，劣弧という用語は使われていないが，「弧ABを除いた円周上」という表現によって，論理的には正確に書かれている．うっかり読むと，この表現が表している2通りの内容に気づかないかもしれないが，優弧，劣弧に分けるとはっきりとわかる．
　なお，人の属性に関する用語ではないので，優性遺伝子，劣性遺伝子のように，他の表現の方がよいという判断で，書かないのではなく，難しい用語だから，書いてないだけだと思われる…筆者がこのページで書いている訳

【問題1】

　図2で，3点A, B, Cは円Oの周上にある。∠xの大きさを求めよ。

(2019年度 奈良県公立高校入試問題)

（解答）
• ∠BACは，優弧BCの中心角∠BOCに対する円周角だから
　∠BOC=2∠BAC=232°
　x=360°−232°=128°…（答）
（別解）
劣弧BACに対する円周角∠BPCを考えると，その中心角は∠xになるから
　∠x=2∠BPC…(1)
次に，∠BPCと∠BACは，円に内接する四角形の向かい合う2つの角だから
　∠BPC+116°=180°…(2)
(2)を(1)に代入すると
　∠x=2(180°−116°)=128°…（答）
→解説を隠す←

【問題2】

　右の図において，点Oは円の中心であり，点A, B, Cは円周上の点であるとき，∠xの大きさを求めなさい。

(2022年度 山梨県公立高校入試問題)

（解答）
• ∠ABCは，優弧ACの中心角∠AOCに対する円周角だから∠x=116°…（答）
（別解）
劣弧ABCに対する中心角は
　∠AOC=360°−232°=128°
それに対応する円周角は∠APC=64°
• ∠xと∠APCとは，円に内接する四角形の向かい合う2つの角（対角）だから
　∠x+64°=180°
　∠x=116°…（答）
→解説を隠す←

【問題3】

　右の図のように，円Oの周上に5点A, B, C, D, Eがあり，線分AD, CEはともに円Oの中心を通る。
　∠CED=35°のとき，∠xの大きさを求めなさい。

(2022年度 和歌山県公立高校入試問題)

（解答）
• △EODは，EO=DOの二等辺三角形だから
　∠DEO=35°
• △EODの内角の和は180°だから
　∠EOD=180°−(35°+35°)=110°
• △EODと△COAとは対頂角だから等しい
　∠COA=110°
• 優弧ACに対する円周角∠CBAは，中心角∠COA=250°の半分だから
　∠x=125°…（答）
→解説を隠す←

【問題4】

　右の図で，5点A, B, C, D, Eは，円Oの周上にあり，BC=CD=DEである。
　このとき，∠BADの大きさを求めなさい。

(2018年度 茨城県公立高校入試問題)

（解答）
• △ABEの内角の和は180°だから
　∠EAB=180°−(42°+78°)=60°
• BC=CD=DEだから各々の円周角は等しい
　∠BAC=∠CAD=∠DAE
したがって
　∠BAD=∠CAD=40°…（答）
→解説を隠す←

【問題5】

　右の図のように，円周上に4点A, B, C, Dがあり，BC=CDです。線分ACと線分BDの交点をEとします。∠ACB=76°, ∠AED=80°のとき，∠ABEの大きさは何度ですか。

(2019年度 広島県公立高校入試問題)

（解答）
• 弧ABCに対する円周角は等しいから， 　∠ADB=∠ACB=76°
• △AEDの内角の和は180°だから
　∠DAE=180°−(80°+76°)=24°
• BC=CDだから各々の円周角は等しい
　∠CAB=∠DAC=24°
• ∠BEA=180°−∠AED=100°
• △ABEの内角の和は180°だから
　∠ABE=180°−(24°+100°)=56°…（答）
→解説を隠す←

【問題6】

　右の図のような，線分ABを直径とする半円Oがある。AB上に2点A, Bと異なる点Cをとる。AC上にAD=DCとなるように点Dをとり，点Dと点A，点Dと点Cをそれぞれ結ぶ。
　∠ABD=35°であるとき，∠BACの大きさは何度か。

(2019年度 香川県公立高校入試問題)

（解答）
• AD=DCだから，それぞれに対する円周角は等しい
　∠ABD=∠DBC=35°
• ABは直径だから，∠ACB=90°
　∠BAC=90°−(35°+35°)=20°…（答）
→解説を隠す←

【問題7】

　右の図のように，円Oの周上に4点A, B, C, Dがあり，点Cを含まないABの長さが，点Aを含まないCDの長さの2倍である。このとき，∠xの大きさを求めなさい。

(2022年度 石川県公立高校入試問題)

（解答）
• 弧ABの長さが,弧CDの長さの2倍だから，それに対応する中心角は2倍，円周角も2倍になる
　∠ACB=2∠CBD=44°
• 線分ACと線分BDの交点をPとおくと，△PBCについて，△Pの外角は，これと隣り合わない2つの内角の和に等しいから
　∠x=22°+44°=66°…（答）
→解説を隠す←

【問題8】

　次のの中の「い」「う」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
　右の図1で点Oは線分ABを直径とする円の中心であり，2点C, Dは円Oの周上にある点である。
　4点A, B, C, Dは図1のようにA, B, C, Dの順に並んでおり，互いに一致しない。
　点Bと点D，点Cと点Dをそれぞれ結ぶ。
　線分ABとCDの交点をEとする。
　点Aを含まないBCについて，BC=2AD，∠BDC=34°のとき，xで示した∠AEDの大きさは，いう度である。

(2022年度 東京都公立高校入試問題)

（解答）
• 弧BCの長さが,弧ADの長さの2倍だから，それに対応する中心角は2倍，円周角も2倍になる
　∠BDC=2∠DBA=34°
　∠DBA=17°
• △BDEについて，∠Eの外角は，これと隣り合わない2つの内角の和に等しいから
　∠x=17°+34°=51°…（答）
→解説を隠す←