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■ 解説 ○ 円の面積Sを半径rを用いて表わすと, です。(πは円周率:π=3.141592...←無限に長い小数になるからギリシャ文字πで表すことになっている) ○ 半円の面積は,円の面積の半分だから ○ 3分の1円の面積は,円の面積の3分の1だから ○ 4分の1円の面積は,円の面積の4分の1だから ○ 一般に中心角の扇形の面積は,円の面積のx/360だから |
■ 例題1
半径がa(cm2)で中心角が45°の扇形の面積S(cm2)は
■ 例題2
右図のように半径a(cm)の円とこれにに外接する正方形(1辺の長さは2a(cm))で囲まれた斜線部の面積は 正方形の面積が4a2 円の面積がπa2 だから |
■問題1 次の面積を求めなさい.
1
直径8の円の上半分の面積
直径が8だから半径は4.半円だから円の面積の半分:42π÷2=8π
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2
半径 6 ,中心角が120°の扇形の面積
120°だから円(360°)の3分の1
62π÷3=12π |
3
半径 10 ,中心角が90°の扇形の面積
円の面積の4分の1だから,102π÷4=25π
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4
下の図の灰色で示した図形の面積
扇形の面積は円の4分の1で25π,これから三角形の面積 10×10÷2=50 を引く
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■問題2 次の各問について正しいものを選びなさい。
1
[ヒント]
半径5(cm)の円と半径10(cm)の同心円で囲まれた部分の面積(cm2) |
2
[ヒント]
1辺の長さがa(cm)の正方形ABCDがあるとき,Bを中心とする半径a(cm)の円とDを中心とする半径a(cm)の円の共通部分の面積(cm2) |
3
[ヒント]
次の図のように半径10(cm)の円の中に半径5(cm)の円が2つ接しているとき,斜線部の面積(cm2)
図のように小さい円の半分を回転させると,凸の部分がちょうど凹の部分に重なるから,大きい円の面積の半分を求めるとよい
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(む)
※ 次の問題は中学一年生ではできませんが,中学卒業までにはできるように。BDの長さは 4
黄色で示した直角二等辺三角形は回転して重なる.
そこで問題に示された灰色の図形の代わりに,右図の灰色の図形と黄色の図形の面積の和を求める.それは,半径がの円のうちで中心角が45°(360°の8分の1)の扇形になるから |
(む)
※ 次の問題は中学一年生ではできませんが,中学卒業までにはできるように。BDの長さは 5
上の問題4の結果(問題の図は上の左側)から,次の図の黄色で示した図形の面積を引くとよい.
問題4の結果は,黄色で示した図形は半径aの円のうちの中心角が45°(360°の8分の1)の部分: |
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扇形の高校入試問題(面積)
【問題1.1】
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右の図のように,半径3cm,中心角120°のおうぎ形OABがあります。このおうぎ形の面積を求めなさい。 ただし,円周率はを用いなさい。 (北海道2015年)
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【問題1.2】
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右の図のような,半径2cm,中心角135°のおうぎ形がある。このおうぎ形の面積を求めなさい。 (岡山県2015年)
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【問題1.3】
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右の図のように,半径4cm,弧の長さcmのおうぎ形があります。このおうぎ形の面積を求めなさい。 (埼玉県2016年)
円全体の面積は(cm2)
円周全体の長さは 弧の長さが おうぎ形の面積は,中心角に比例するから,弧の長さにも比例する (cm2)…(答)
※この図がパックマン風になっているのは,受験生の緊張をほぐすためのサービスかもしれない.しかし,ゲームを連想して「油断してしまう」ためでなく,「中心角が180°より大きい」「中心角が書いてなくて弧の長さが書いてある」ために,問題が難しくなっていると考えられる
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** 中3の三平方の定理を習ってからやる問題 **
【問題1.4】
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右の図で,六角形ABCDEFは,1辺の長さが2cmの正六角形である。この六角形の対角線DBを半径とし,∠BDFを中心角とするおうぎ形DBFの面積を求めなさい。ただし,円周率をとする。 (秋田県2015年)
おうぎ形DBFの中心角∠BDFは60°
BD=DF=FBだから△BDFは正三角形になり,∠BDFはその内角だから60°
おうぎ形の半径DFは,三平方の定理で求める
右図により
おうぎ形DBFの面積は
(cm2)…(答)
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扇形の高校入試問題(弧の長さ)
【問題2.1】
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右の図のような,半径が9cm,中心角が60°のおうぎ形OABがある。このおうぎ形の弧の長さを求めなさい。ただし,円周率はとする。 (栃木県2015年)
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【問題2.2】
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右の図のような,半径が3cm,中心角が60°のおうぎ形OABがある。このおうぎ形の弧の長さを求めなさい。ただし,円周率はとする。 (岩手県2017年)
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扇形の高校入試問題(中心角を求める)
【問題3.1】
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右の図は,半径が4cm,弧の長さがcmのおうぎ形である。∠の大きさは何度か。ただし,は円周率とする。 (鹿児島県2015年)
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** 中学2年の円周角の定理を習ってから **
【問題3.2】
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右の図のように,半径が10cmの円Oの周上に,3点A,B,Cを∠ABC=36°となるようにとります。このとき,太い線で示したの長さを求めなさい。 ただし,円周率をとします。 (宮城県2015年)
中学2年で習う「円周角の定理」により,中心角は円周角の2倍です.したがって,∠ABC=36°のとき∠AOC=72°です.
半径10(cm)の円の円周の長さは (cm) この円で中心角72°のおうぎ形の弧の長さは (cm)…(答) |
扇形の高校入試問題(円錐の展開図)
【問題4.1】
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右の図は円 このとき,側面のおうぎ形の半径を求めなさい。 (和歌山県2016年)
右図の赤で示した線の長さ,すなわち底面の円周の長さと側面のおうぎ形の弧の長さは等しい.
底面の円周の長さは(cm) 側面のおうぎ形の半径の長さをとおくと,弧の長さは中心角に比例するから これらが等しいから (cm)…(答) |
【問題4.2】
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右の図は,円 (秋田県2016年)
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【問題4.3】
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右の図は,底面の半径が6cm,母線の長さが30cmの円すいである。この円すいの展開図をかいたとき,側面になるおうぎ形の中心角を求めなさい。 (青森県2016年)
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【問題4.4】
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右の図は,底面の半径が6cm,母線の長さが8cmの円すいである。この円すいの展開図をかいたとき,側面になるおうぎ形の面積を求めなさい。 (青森県2018年)
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