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== 直線図形と角 ==(入試問題)

【要点】
(1) 三角形の内角の和は180°に等しい.
(2) 三角形の外角は,それと隣り合わない2つの内角の和に等しい.
≪例≫
(1) 上の図において∠A+∠B+∠C=180°
(2) 上の図において∠ACD=∠A+∠B
【例題1】
 右の図のような△ABCがあります。∠xの大きさを求めなさい。
(北海道2017年入試問題)
(解答)
三角形の外角は,それと隣り合わない2つの内角の和に等しいから
∠x=62°+42°=103°…(答)
(別解)
三角形の内角の和は180°に等しいから
62°+42°+∠C=180°
∠C=77°
ゆえに
∠x=180°−77°=103°…(答)

【問題1】
(1)
 図のように,3つの直線が交わっている。∠xの大きさは何度か,求めなさい。
(兵庫県2016年入試問題)
∠x=° 採点する
(2)
 右の図で,∠xの大きさを求めなさい。
(栃木県2016年入試問題)
∠x=° 採点する

(3)
 右の図において,四角形ABCDは平行四辺形である。∠xの大きさを求めなさい。
(栃木県2017年入試問題)
∠x=° 採点する
(4)
 図1のように,∠A=37°, ∠E=20°, ∠CFD=97°の図形がある。∠xの大きさを求めなさい。
(北海道2017年入試問題)
∠x=° 採点する

【要点】
二等辺三角形の2つの底角は等しい.
その逆も成り立つ.
≪例≫
右図において
AB=ACのとき,∠B=∠Cが成り立つ.
逆に,∠B=∠Cのとき,AB=ACが成り立つ.
【例題】
 右の図のような,BA=BCの二等辺三角形ABCがある。
 このとき,∠xの大きさを求めなさい。
(山梨県2016年入試問題)
(解答)
∠ACB=180°−114°=66°
BA=BCの二等辺三角形だから,∠A=∠C=66°
さらに,三角形の内角の和は180°だから
∠x+66°+66°=180°
∠x=48°…(答)
【問題2】
(1)
 右の図のように,∠BAC=42°, AB=ACの二等辺三角形ABCがあり,辺AC上にAD=BDとなる点Dをとる。このとき,∠xの大きさを求めなさい。
(山口県2015年入試問題)
∠x=° 採点する

(2)
 右の図Tは,平行四辺形ABCDで,対角線ACと対角線BDの交点をOとする。
 DO=DCのとき,∠xの大きさを求めなさい。
(鳥取県2016年入試問題)
∠x=° 採点する
(3)
 右の図のような平行四辺形ABCDがあり,CA=CBである。対角線AC上に,2点A, Cと異なる点Eをとり,点Dと点Eを結ぶ。
 ∠ABC=72°, ∠AED=104°であるとき,∠CDEの大きさは何度か。
(香川県2016年入試問題)
∠x=° 採点する

(4)
 右の図のように,∠ABC=78°のひし形ABCDがある。辺BC上にAB=AEとなる点Eをとる。点Dから線分AEに垂線をひき,線分AEとの交点をFとする。このとき,∠FDCの大きさを求めよ。
(高知県2016年入試問題)
∠x=° 採点する
(5)
 右の図で,四角形ABCDは長方形であり,△ACEAC=AEの二等辺三角形である。線分BDと線分AEの交点をFとする。
 ∠BAC=34°, ∠BFE=98°であるとき,∠xの大きさを求めなさい。
(三重県2015年入試問題)
∠x=° 採点する

【要点】
(1) 対頂角は等しい.
(2) 平行線の同位角は等しい.
(3) 平行線の錯角は等しい.
(4) 平行線の同側内角の和は180°に等しい.
≪例≫
(1) 右図で∠a=∠c, ∠b=∠d
以下,右図においてl//mとするとき
(2) ∠p=∠s
(3) ∠q=∠s
(3) ∠r+∠s=180°
【例題】
 右の図で,四角形ABCDは平行四辺形である。xの値を求めなさい。
(岐阜県2015年入試問題)
(解答)
平行線の錯角は等しいから
∠ADB=28°
平行線の同側内角の和は180°だから
110°+∠ADC=180°
∠ADC=70°
ゆえに
x°=70°−28°=42°
x=42…(答)
平行四辺形の性質「2組の向かい合う角はそれぞれ等しい」を使って,∠C=110°を求めてから
x+28+110=180
を解く方法も考えられる

【問題3】
(1)
 図2で,直線lと直線mが平行であるとき,∠xの大きさを求めなさい。
(沖縄県2015年入試問題)
∠x=° 採点する

(2)
 右図でl//mのとき,∠xの大きさは何度か。
(鹿児島県2017年入試問題)

∠x=° 採点する
(3)
 右の図で,2直線l, mは平行である。このとき,∠xの大きさを求めなさい。
(秋田県2016年入試問題)

∠x=° 採点する

(4)
 右の図のように,平行な2直線2直線l, m△ABCがある。△ABCAB=ACの二等辺三角形であり,頂点Cm上にある。
 このとき,∠xの大きさを求めなさい。
(宮崎県2017年入試問題)

∠x=° 採点する
(5)
 右の図のように,正三角形ABCAC上に点Dをとり,長方形BDEFうをつくる。EFABの交点をGとする。∠ADB=73°であるとき,∠FGBの大きさを求めなさい。
(青森県2017年入試問題)

∠x=° 採点する

【要点】
(1) 多角形の外角の和は,360°に等しい.
※それぞれの内角に対して,外角は2つずつありますが,「外角の和」というときはそのうち1つずつの和を言います.
(解説)
右のアニメーションで分かるように,多角形の外角を1点の周りに集めると,ちょうど360°になります.
**ここを↓クリック**
≫外角を集める≪
≪外角を広げる≫
≪例≫
三角形の外角の和は360°
四角形の外角の和も360°
五角形の外角の和も360°

【要点】
(2) n角形の内角の和は180°×(n−2)に等しい.
(解説1)
n角形の周りに平角(180°)がn個ある.
180°×n
そのうちで外角の和が360°だから,内角の和は
180°×n−360°
=180°×(n−2)
(解説2)
右の表のように,n角形を三角形に分けると,
n−2個の三角形になるから,
内角の和は
180°×(n−2)
になる.
≪例≫
三角形の内角の和は180°
四角形の外角の和も360°
五角形の外角の和も540°

【要点】
(3) 正n角形の1つの内角の大きさはに等しい.
(解説1)
上記の要点(2)から,内角の和は
180°×(n−2)=180°×n−360°
だから,1つの内角の大きさは

(解説2)
上記の要点(2)が試験会場でスラスラと出て来るとは限らないので,右のような図を書いて,(3)の公式をその場で作ればよい
求めるものはx+y(実はx=yも成り立つ)
三角形の内角の和は180°だから


【例題】
 図1において,∠xの大きさは何度か,求めなさい。

(兵庫県2017年入試問題)

(解答)
各頂点の外角は,右図のようになるから
∠x+84°+55°+90°+58°=360°
∠x=73°…(答)
【問題4】
(1)
 右の図のように,五角形ABCDEがあり,頂点A, Cにおける内角がそれぞれ114°, 130°であり,頂点D, Eにおける外角がそれぞれ78°, 65°であるとき,頂点Bの内角の大きさは何度か。
(高知県2017年入試問題)
∠x=° 採点する

(2)
 右の図は,正五角形です。
 このとき,∠xの大きさを求めなさい。
(岩手県2016年入試問題)
∠x=° 採点する
(3)
 右の図で,五角形ABCDEは正五角形である,l//mである。このとき,∠xの大きさを求めよ。
(京都府2017年入試問題)

∠x=° 採点する

(4)
 右の図のように,正五角形ABCDEの頂点B, Dを通る直線をそれぞれl, mとする。l//mであるとき,∠xの大きさを求めなさい。
(青森県2015年入試問題)

∠x=° 採点する
(5)
 右の図のように,四角形ABCDがあり,点E∠ABCの二等分線と辺CDの交点,点F∠BADの二等分線と線分BEの交点である。∠ADC=80°, ∠BCD=74°のとき,∠xの大きさを求めなさい。
(秋田県2017年入試問題)
∠x=° 採点する
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