■面積の比 → 携帯版は別頁 → 印刷用PDF版は別頁
○1 2つの三角形の高さが等しいときは,面積の比は底辺の長さの比に等しい.
※ BC の長さをBC と書く.文字式の計算としてBC を掛けているわけではない.BD も辺の長さを表す記号.
※ 式の中で△ABC と書いたときは△ABC の面積を表す.
 三角形の面積は(底辺)×(高さ)÷2で求められる.右図の△ABC と△ABD の面積は各々

ABC =

ABD =

ここで BC:BD=a:b ならば

ABC:△ABD = : = BC:BD = a:b

となって,△ABC と△ABD との面積比は底辺の長さの比に等しくなる.
例1
 右図2において△ABC と△ABD の高さは等しいから,

ABC:△ABD=2:3
ABC:△ACD=2:1

図1

図2
○2 2つの三角形の底辺の長さが等しいときは,面積の比は高さの比に等しい.
○3 高さが書いていないときでも,1組の辺の比がm:n のときは,高さがm:n と考えてよい.
○2の証明
 三角形の面積は(底辺)×(高さ)÷2で求められる.右図の△FBC と△ABC の面積は各々

FBC =

ABC =

ここで底辺 BC は共通だから

FBC : △ABC= : = FD : AE

○3の証明
 右図3の△FBD と△ABE は相似図形だから,

FD:AE=FB:AB
したがって △FBC : △ABC= FD : AE = FB : AB
(○3は,FBAB を底辺と考えると○1と同じ内容になる.)
例2
 右図4において△DBC と△ABC の底辺BC は共通だから,

DBC:△ABC=3:5
DBC:△ADC=3:2

図3




図4
○4 2つの三角形の底辺の比がa:b ,高さの比がm:n のとき,面積の比はam:bn になる.
○5 右図6のように2つの三角形で1つの角が共通のとき,この角をはさむ2辺の比が各々a:bm:n のとき,面積の比はam:bn になる.
○4の証明

DBE =

ABC =

だから △DBE : △ABC = : = am : bn

○5の証明
右図6においては○3と同様に高さの比がm:n になるから,
DBE : △ABC = am : bn

例3
 右図7において

DBE:△ABC=8:15
DBE:(四角形)ADEC=8:(15-8)=8:7

図5

図6

図7
○6 相似比がa:b となる2つの三角形の面積の比はa2:b2 になる.
○6の証明
○5において底辺の比も高さの比もa:b になるから,
DBE : △ABC = aa : bb = a2:b2

例4
 右図において
ADE:△ABC=4:9
ADE:(四角形)DBCE=4:(9-4)=4:5

図8
【まとめ】
(1) 右図9ののように2つの三角形の底辺の比がa:b,高さの比がm:n のとき,面積の比はam:bn になる.(右の図9では高さの比をm:n と読む.)

(2) 右図10のような図形において,3つ以上の三角形の面積を比較するときは,次のように「比の値」を「分数」にすると簡単にできる.

=

=

ゆえに

= =

BEP:CAP=8:15

図9

図10
例題1
 右図11において
(1) △BEP:△CEP=6:5
高さが等しく,底辺が6:5と見る
(2) △ABC:△PBC=11:4
底辺が等しく,高さが11:4と見る
(3) △APC:△PEC=7:4
右図のようにAP , PE を底辺とみると,高さが等しく,底辺が7:4
(4) △APB:△BPC=21:22

=

=

ゆえに

= = =

APB:BPC=21:22

図11
例題2
 右図12において
(1) △APB:△BPC=4:5
高さが等しく,底辺が4:5と見る
(2) △BPC:△CPD=3:7
高さが等しく,底辺が3:7と見る
(3) △APB:△CPD=12:35

=

=

ゆえに

= =

APB:CPD=12:35

図12
例題3
 右図13の平行四辺形ABCD において
(1) △ABQ∽△FDQ (相似比は9:3=3:1)だから
ABQ:△FDQ=32:12=9:1
ABP:△ABQ=4:9 (高さが等しく底辺が4:9)
ゆえに △ABP:△FDQ=4:1
(2) △BEP∽△ADP (相似比は4:8=1:2)だから
BEP :ADP=1:4
APQ :APD=5:8 (高さが等しく底辺が5:8)
ゆえに
BEP:△APQ = : = 2:5

図13
例題4
 右図14の平行四辺形ABCD において
(1)
APE∽△CPB (相似比は AP:PC=2:7
EP:PB=2:7
APE と△APB は高さが等しく底辺が 2:7
APE:APB=2:7
(2)

= ← 相似比2:7の相似図形

= ← 高さが等しく底辺が7:4

ゆえに

= =
だから
APE:QPB=1:7
(3)
BQA∽△FQC
だから BQ:QF=AQ:QC=6:3=2:1
CQB と△FQC は高さが等しく底辺が 2:1
CQB:FQC=2:1
(4)
CQF:FED=7:15
(5)
BQP:DEF=56:45
(5)の証明

= ←【まとめ】

= ←【まとめ】

AP:PC=2:7だからAE:BC=2:7
したがってAE:ED=2:5
AQ:QC=6:3だからAB:CF=6:3
したがってCD:CF=6:3CF:FD=3:3=1:1
ABC=CAD ←平行四辺形だから
ゆえに

= =
図14
(2)の別解

= ← (1)の結果

= = ← 高さが等しく底辺が2:4

ゆえに

= =
だから
APE:QPB=1:7

(4)の証明
APE∽△CPB だから
AE:CB=AP:CP=2:7
AE:DA=2:7 (←平行四辺形だから)
AE:ED=2:5
-----------------------
AQB∽△CQF だから
AB:CF=AQ:QC=6:3=2:1
DC:CF=2:1 (←平行四辺形だから)
CF:FD=1:1
-----------------------

= ←【まとめ】

= ←【まとめ】

ゆえに

= =
だから
CQF:FED=7:15
問題1
 右図の△ABC において
(1) △BEP :CEP= :
採点する やり直す
(2) △ABC :PBC= :
採点する やり直す
(3) △APC :PEC= :
採点する やり直す
(4) △BCP :CAP= :
採点する やり直す



問題2
 右図の四角形ABCD において対角線 AC , BD の交点を P とする.AP:PC=1:5 , BP:PD=4:3 のとき次の面積比を求めなさい.
(1) △APB :CPD= :
採点する やり直す
(2) △APD :CPB= :
採点する やり直す
問題3
 右図の平行四辺形ABCD において対角線 AC4:5:6 に分ける点を順に P , Q とするとき,次の面積比を求めなさい.
(1) △EPA :DPC= :
採点する やり直す
(2) △EPA :DPQ= :
採点する やり直す
(3) △CQF :PQD= :
採点する やり直す
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