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公式
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（解説）（ を展開すると \(x^2+3x+2x+6\) となりますが，１次式 \(x^2+5x+6\) （覚え方） 一般に，\((x + a)(x+ b)\) の場合を考えて，定数の部分 \(a\) と \(b\) に目を付けると
２次の項は \(x^2\)
になり１次の項は \((a + b)x\) 定数項は \(ab\) \(x^2+\) （定数２つの和） \(x+\)（定数２つの積）
の形になります．
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公式
【
（解説）（ を展開すると \(x^2+3x+2x+6\) となりますが，１次式 \(x^2+5x+6\) （覚え方） 一般に，\((x + a)(x+ b)\) の場合を考えて，定数の部分 \(a\) と \(b\) に目を付けると
２次の項は \(x^2\)
になり１次の項は \((a + b)x\) 定数項は \(ab\) \(x^2+\) （定数２つの和） \(x+\)（定数２つの積）
の形になります．
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注意点
○こんな公式\((x + a)(x + b)=x^2 +(a + b)x + ab\) はバラバラにしたらいつでも作れるから，覚えなくてもよいという態度は危険
確かに， \((x + 2)(x + 3)=x^2 +5x + 6\) ぐらいなら，公式を意識しなくてもできる場合がありますが，逆の問題：因数分解の単元になると（和が１次の係数），（積は定数項）ということをしっかり覚えていないと元に戻れずに混乱してしまう生徒が多いのです．
\(x^2 + 6x + 5\) → \( (x + 2)(x + 3)\) は× \((x + 1)(x + 5)\)は○ \(x^2 - 11x - 12\) → \((x - 11)(x - 1)\) は× \((x - 12)(x + 1)\) は○
⇒\((x+ a)(x + b)=x^2+\) （和）\(x+\)（積）
であることを「しっかり覚える方がよい」 ※もっとはっきり言うと，右端が（積）だということを忘れないことが重要 ○\(a\) と\(b\) が正の数と負の数の組合せのとき，定数項は負になる \(a, b\) とも正の場合だけでなく，\(a, b\) とも負のときも定数項は正になる
【例１】
\((x-5)(x+ 3)=x^2-2x-15\) ⇒ 定数項の符号は負 【例２】 \((x+ 5)(x+ 3)=x^2 + 8x+ 15\) ⇒ 定数項の符号は正 \((x-5)(x-3)=x^2-8x+ 15\) ⇒ 定数項の符号は正 ○定数が正の数と負の数の組合せになっているときは，１次の係数は（符号を取ったときの）数字の大きい方の符号になる
【例１】
\(5\) は\(3\) よりも大きい ⇒ \((x-5)(x+ 3)=x^2-2x-15\) ⇒ １次の係数の符号は負 【例２】 \(7\) は\(5\) よりも大きい ⇒ \((x-5)(x+ 7)=x^2+2x-35\) ⇒ １次の係数の符号は正 ［やや難しい］ ○\((x+ 2y)(x + 3y)\) のような式の展開では\(2,3,y\)とも係数とみなす
「グレーソーンはアウトとみなす」というように，微妙な場合にどちらかに「決める」ときに「みなす」という言い方をするようです．
\(y\) は文字だといい張る生徒もいますが，この展開では\(x\) だけを文字と見て，\(y\) と数字をまとめて「係数」すなわち「数字」と見れば分かるようになるということ \((x+ 2y)(x +3y)=x^2 + 5yx+ 6y^2\) のように読むようにすれば，後で因数分解をするときに分かりやすくなる． これを\((x+2)(x +3)\) に適当に\(y\) を付けておけばよいなどと考えていると，後に困ることになります． 中学では登場しませんが，例えば \(x^2 + (2+ 3y^2)x + 6y^2\) の因数分解で元に戻れないことになります． |
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例と答1
(1)〜(3)は基本問題
(1)
\((x + 3)(x + 4)\)  ２数の和は\(3 + 4=7\) ２数の積は\(3 \times 4=12\) 文字は\(x\) \((x + 3)(x + 4)=x^2 + 7x +12\) (2) \((a + 3)(a - 5)\) ２数の和は\(3 + (-5)=-2\) ２数の積は\(3 \times (-5)=-15\) 文字は\(a\) \((a + 3)(a - 5)=a^2-2a-15\) (3) \((y - 2)(y - 3)\) ２数の和は\((-2) + (-3)=-5\) ２数の積は\((-2) \times (-3)=6\) 文字は\(y\) \((y - 2)(y - 3)=y^2-5y +6\) |
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問題1
【問題】次の式を展開してください． （右欄のうちで正しいものをクリック）
\((x - 2 )(x + 4)\)
\(=x^2 + \{ (-2) + 4 \} x + \{ (-2) \times 4 \} \) \(=x^2 + 2x - 8\)
\((a - 3 )(a - 6)\)
\(=a^2 + \{ (-3) + (-6) \} a + \{ (-3) \times (-6) \} \) \(=a^2 - 9a + 18\) |
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例と答2
(4)〜(6)は頑張ればできるはずの問題
(4)
\((x + \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3})\) ２数の和は\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}=\frac{3}{6} + \frac{2}{6}=\frac{5}{6}\) ２数の積は\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}\) 文字は\(x\) \((x + \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3})=x^2 +\frac{5}{6}x +\frac{1}{6}\) (5) \((y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{4})\) ２数の和は\( - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}=-\frac{2}{4} + \frac{1}{4}= -\frac{1}{4}\) ２数の積は\(( - \frac{1}{2}) \times \frac{1}{4}= - \frac{1}{8}\) 文字は\(y\) \((y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{4})=y^2 - \frac{1}{4}y - \frac{1}{8}\) (6) \((a - \frac{1}{3})(a - \frac{1}{4})\) ２数の和は\( (- \frac{1}{3}) + ( -\frac{1}{4})=(-\frac{4}{12}) + ( -\frac{3}{12})= -\frac{7}{12}\) ２数の積は\(( - \frac{1}{3}) \times (-\frac{1}{4})= \frac{1}{12}\) 文字は\(a\) \((a - \frac{1}{3})(a - \frac{1}{4})=a^2 - \frac{7}{12}a + \frac{1}{12}\) |
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問題2
【問題】
次の式を展開してください． 右欄の展開式を選んでください． ※この頁の問題はやや難しいですが，よく考えればできます．
\(x^2 + \frac{1}{9}x + \frac{1}{18}\)
\(x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{18}\) \(x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{18}\) \(x^2 + 9x + 18\)
\((x + \frac{1}{3} )(x + \frac{1}{6})\)
\(=x^2 + \{ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \} x + \{ \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} \}\) \(=x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{18}\)
\(a^2 + \frac{1}{6}a + \frac{1}{6}\)
\(a^2 - \frac{1}{6}a + \frac{1}{6}\) \(a^2 + \frac{1}{6}a - \frac{1}{6}\) \(a^2 - \frac{1}{6}a - \frac{1}{6}\)
\((a + \frac{1}{2} )(a - \frac{1}{3})\)
\(=a^2\! +\! \{ \frac{1}{2} \!+\! (-\frac{1}{3}) \} a\! +\! \{ \frac{1}{2} \times\! (-\frac{1}{3}) \}\) \(=a^2 + \frac{1}{6}a - \frac{1}{6}\)
\((x - \frac{1}{2} )(x + \frac{3}{2})\)
\(=x^2 + \{ -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \} x + \{ (-\frac{1}{2}) \times \frac{3}{2} \}\) \(=x^2 + x - \frac{3}{4}\)
\(y^2 -3y + 2\)
\(y^2 -\frac{1}{3}y + 1\) \(y^2 - \frac{1}{3}y + \frac{2}{9}\) \(y^2 - y + \frac{2}{9}\)
\((y - \frac{1}{3} )(y - \frac{2}{3})\)
\(=y^2 + \{ (-\frac{1}{3}) + (-\frac{2}{3}) \} x\) \(+ \{ (-\frac{1}{3}) \times (-\frac{2}{3})\}\) \(=y^2 - y + \frac{2}{9}\) |
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例と答3
(7)〜の形も教科書に出ている
(7)
\((x + y)(x + 2y)\) 文字は\(x\) \(y\)は数字と同じ係数と「みなす」 
逆に解釈した場合，すなわち\((y + x)(2y + x)\)のように\(y\)を文字とみなして\(x\)を係数とみなした場合には，ここで使いたい公式\((\bigcirc + a)(\bigcirc + b)\)（○は同じ文字） の形にならないのでダメなのである． もちろんその場合でも，「根性物語で」バラバラにすることはできるが，そうすると元に戻すときに（逆向きに因数分解しなければならないときに） \(2y^2 + 3xy + x^2\) となって計算が大変になるので，この問題では先生の言うことを聞いて公式を使うようにするのが無難（以下の問題でも同様） ２数の積は\((y) \times (2y)= 2y^2\) \((x + y)(x + 2y)=x^2 +3yx +2y^2\) \(=x^2 + 3xy + 2y^2\) (8) \((a + 3b)(a - 4b)\) 文字は\(a\) \(b\)は数字と同じ係数と「みなす」 ２数の和は\( (3b) + (-4b)=-b\) ２数の積は\((3b) \times (-4b)= -12b^2\) \((a + 3b)(a - 4b)=a^2-ba-12b^2\) \(=a^2 -ab -12b^2\) (9) \((x - a)(x - 5a)\) 文字は\(x\) \(a\)は数字と同じ係数と「みなす」 ２数の和は\( (-a) + (-5a)=-6a\) ２数の積は\((-a) \times (-5a)= 5a^2\) \((x -a)(x - 5a)=x^2-6ax +5a^2\) \(=x^2 -6ax + 5a^2\) |
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問題3
【問題】
次の式を展開してください． 右欄の展開式を選んでください． ※この頁の問題は少し難しいです．
\((x + y)(x + 8y)\)
\(=x^2 + (y + 8y)x + (y \times 8y) \) \(=x^2 + 9xy + 8y^2\)
\((a + 6b)(a - b)\)
\(=a^2 + \{ 6b + (-b) \} a\) \(+ \{ 6b \times (-b) \} \) \(=a^2 + 5ab - 6b^2\)
\((a - 3b)(a + 2b)\)
\(=a^2 + \{ (-3b) + 2b \} a\) \(+ \{ (-3b) \times 2b \} \) \(=a^2 - ab - 6b^2\)
\((x - y)(x - 5y)\)
\(=x^2 + \{ (-y) + (-5y) \} x\) \(+ \{ (-y) \times (-5y) \}\) \(=x^2 - 6xy + 5y^2\) |
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例と答4
(10)
\((x + \frac{y}{3})(x + \frac{y}{6})\) 文字は\(x\) \(y\)は数字と同じ係数と「みなす」 ２数の和は\( \frac{y}{3} + \frac{y}{6}=\frac{2y}{6} + \frac{y}{6}=\frac{3y}{6}=\frac{y}{2}\) ２数の積は\(\frac{y}{3} \times \frac{y}{6}= \frac{y^2}{18}\) \((x + \frac{y}{3})(x + \frac{y}{6})=x^2 +\frac{y}{2}x +\frac{y^2}{18}\) \(=x^2 + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{18}\) (11) \((a - \frac{b}{6})(a + \frac{b}{4})\) 文字は\(a\) \(b\)は数字と同じ係数と「みなす」 ２数の和は\( (-\frac{b}{6}) + (\frac{b}{4})= (-\frac{2b}{12}) + (\frac{3b}{12})=\frac{b}{12}\) ２数の積は\((-\frac{b}{6}) \times (\frac{b}{4})= -\frac{b^2}{24}\) \((a - \frac{b}{6})(a + \frac{b}{4})=a^2 +\frac{b}{12}a-\frac{b^2}{24}\) \(=a^2 + \frac{ab}{12} - \frac{b^2}{24}\) (12) \((x - \frac{3a}{2})(x - \frac{a}{2})\) 文字は\(x\) \(a\)は数字と同じ係数と「みなす」 ２数の和は\( (-\frac{3a}{2}) + (-\frac{a}{2})= -\frac{4a}{2}=-2a\) ２数の積は\((-\frac{3a}{2}) \times (-\frac{a}{2})= \frac{3a^2}{4}\) \((x - \frac{3a}{2})(x - \frac{a}{2})=x^2 -2ax +\frac{3a^2}{4}\) |
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問題4
【問題】次の式を展開してください． 右欄の展開式を選んでください． ※この頁の問題は少し難しいです．
\(x^2 + \frac{3}{2}xy + \frac{y^2}{8}\)
\(x^2 + \frac{xy}{4} + \frac{y^2}{8}\) \(x^2 + \frac{3}{4}xy + \frac{y^2}{8}\) \(x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}\)
\((x + \frac{y}{2})(x + \frac{y}{4})\)
\(=x^2 + \{ \frac{y}{2} + \frac{y}{4} \} x + \{ \frac{y}{2} \times \frac{y}{4} \}\) \(=x^2 + \frac{3}{4}xy + \frac{y^2}{8}\)
\(a^2 + \frac{ab}{12} - \frac{b^2}{24}\)
\(a^2 + \frac{ab}{3} - \frac{b^2}{12}\) \(a^2 - \frac{ab}{12} - \frac{b^2}{10}\) \(a^2 - \frac{ab}{10} - \frac{b^2}{12}\)
\((a + \frac{b}{4})(a - \frac{b}{6})\)
\(=a^2 + \{ \frac{b}{4}- \frac{b}{6} \} a + \{ (\frac{b}{4})\times (- \frac{b}{6})\}\) \(=a^2 + \frac{ab}{12} - \frac{b^2}{24}\)
\(a^2 + \frac{ab}{6} - \frac{b^2}{18}\)
\(a^2 - \frac{ab}{9} - \frac{b^2}{18}\) \(a^2 - \frac{ab}{2} - \frac{b^2}{18}\) \(a^2 + \frac{ab}{2} - \frac{b^2}{18}\)
\((a - \frac{b}{6})(a + \frac{b}{3})\)
\(=a^2 + \{ (-\frac{b}{6}) + \frac{b}{3} \} a\) \(+ \{ (-\frac{b}{6})\times \frac{b}{3} \} \) \(=a^2 + \frac{ab}{6} - \frac{b^2}{18}\)
\(x^2 - ax + \frac{2}{9}a^2\)
\(x^2 - \frac{2}{9}ax + a^2\) \(x^2 + \frac{2}{9}ax + a^2\) \(x^2 + ax + \frac{2}{9}a^2\)
\((x - \frac{a}{3} )(x - \frac{2a}{3})\)
\(=x^2 + \{ (-\frac{a}{3}) + (-\frac{2a}{3}) \} x\) \(+ \{ (-\frac{a}{3})\times (-\frac{2a}{3}) \}\) \(=a^2 - ax + \frac{2a^2}{9}\) |
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例と答5
(13)
\((2x + 1)(2x + 3)\) 文字は\((2x)\) ２数の和は\( (1) + (3)=4\) ２数の積は\((1) \times (3)=3\) \((2x + 1)(2x + 3)=(2x)^2 +4(2x)+3\) \(=4x^2 + 8x + 3\)
文字が\((2x)\)と考えるのが納得できない場合は，\(2x=A\)とおいて
(14)\((A + 1)(A + 3)\) を展開して \(A^2 + 4A + 3\) から，元の\(x\)に戻すとよい \((2x)^2 + 4(2x) + 3\) \(=4x^2 + 8x + 3\) \((2x + \frac{1}{3})(2x - \frac{1}{4})\) 文字は\((2x)\) ２数の和は\( (\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{4})=(\frac{4}{12}) + (-\frac{3}{12})=\frac{1}{12}\) ２数の積は\((\frac{1}{3}) \times ( - \frac{1}{4})= -\frac{1}{12}\) \((2x + \frac{1}{3})(2x - \frac{1}{4})=(2x)^2 +\frac{1}{12}\times (2x) -\frac{1}{12}\) \(=4x^2 + \frac{x}{6} - \frac{1}{12}\)
文字が\((2x)\)と考えるのが納得できない場合は，\(2x=A\)とおいて
(15)\((A + \frac{1}{3})(A - \frac{1}{4})\) を展開して \(A^2 + \frac{1}{12}A - \frac{1}{12}\) から，元の\(x\)に戻すとよい \((2x)^2 + \frac{1}{12}\times (2x) - \frac{1}{12}\) \(=4x^2 + \frac{x}{6} - \frac{1}{12}\) \((3x - a)(3x + 4a)\) 文字は\((3x)\) \(a\)は数字と同じ係数と「みなす」 ２数の和は\( (-a) + (4a)=3a\) ２数の積は\((-a) \times (4a)= -4a^2\) \((3x - a)(3x + 4a)=(3x)^2 +3a\times (3x) -4a^2\) \(=9x^2 + 9ax - 4a^2\)
文字が\((3x)\)と考えるのが納得できない場合は，\(3x=A\)とおいて
\((A - a)(A + 4a)\) を展開して \(A^2 + 3aA - 4a^2\) から，元の\(x\)に戻すとよい \((3x)^2 + 3a\times (3x) - 4a^2\) \(=9x^2 + 9ax - 4a^2\) |
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問題5
【問題】次の式を展開してください． 右欄の展開式を選んでください ※この頁の問題は少し難しいです．
\((2x + 3)(2x - 4)\)
文字は\((2x)\) ２数の和は\( (3) + (-4)=-1\) ２数の積は\((3) \times (-4)=-12\) \((2x + 3)(2x - 4)=(2x)^2 -(2x)-12\) \(=4x^2 -2x-12\)
\(3x^2 + \frac{x}{2} - \frac{1}{6}\)
\(3x^2 - \frac{x}{6} - \frac{1}{6}\) \(9x^2 + \frac{x}{2} - \frac{1}{6}\) \(9x^2 + \frac{x}{6} - \frac{1}{6}\)
\((3x + \frac{1}{2})(3x - \frac{1}{3})\)
文字は\((3x)\) ２数の和は\( (\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{3})=\frac{1}{6}\) ２数の積は\((\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{3})=-\frac{1}{6}\) \((3x + \frac{1}{2})(3x - \frac{1}{3})=(3x)^2 + \frac{1}{6}(3x)-\frac{1}{6}\) \(=9x^2 + \frac{x}{2}-\frac{1}{6}\)
\((3x + 2y)(3x - 4y)\)
文字は\((3x)\) ２数の和は\( (2y) + (-4y)=-2y\) ２数の積は\((2y) \times (-4y)=-8y^2\) \((3x + 2y)(3x - 4y)=(3x)^2 - 2y(3x)-8y^2\) \(=9x^2 -6xy -8y^2\)
\(2x^2 - \frac{xy}{6} - \frac{y^2}{6}\)
\(2x^2 - \frac{xy}{3} - \frac{y^2}{6}\) \(4x^2 - \frac{xy}{6} - \frac{y^2}{6}\) \(4x^2 - \frac{xy}{3} - \frac{y^2}{6}\)
\((2x - \frac{y}{2})(2x + \frac{y}{3})\)
文字は\((2x)\) ２数の和は\( (- \frac{y}{2}) + (\frac{y}{3})=-\frac{y}{6}\) ２数の積は\((- \frac{y}{2}) \times (\frac{y}{3})=-\frac{y^2}{6}\) \((2x - \frac{y}{2})(2x + \frac{y}{3})=(2x)^2 - \frac{y}{6}(2x)-\frac{y^2}{6}\) \(=4x^2 -\frac{xy}{3} -\frac{y^2}{6}\) |
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例と答6
そのままでは公式に当てはまらないが，順序を入れ替えると公式が使える形になる問題
一般に\((a - x)=-(x - a)\)が成り立ちます．
(16)※引き方を逆にすると符号が変わる！ \((x + 1)(2 - x)\) \(-(x + 1)(x - 2)\) と見る 文字は\(x\) ２数の和は\( (1) + (-2)=-1\) ２数の積は\((1) \times (-2)= -2\) \(-(x + 1)(x - 2)=- ( x^2-x -2)\) \(=-x^2+ x + 2\) (17) \((2a - x)(x - 3a)\) \(-(x - 2a)(x - 3a)\) と見る 文字は\(x\) ２数の和は\( (-2a) (-3a)=-5a\) ２数の積は\((-2a) \times (-3a)= 6a^2\) \(-(x - 2a)(x - 3a)=- ( x^2 -5ax + 6a^2)\) \(=-x^2+ 5ax -6a^2\) (18) \((\frac{1}{2} + x)(\frac{1}{4} - x)\) \(-(x + \frac{1}{2})(x - \frac{1}{4})\) と見る 文字は\(x\) ２数の和は\( (\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{4})=\frac{1}{4}\) ２数の積は\((\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{4})= -\frac{1}{8}\) \(-(x + \frac{1}{2})(x - \frac{1}{4})=- ( x^2 +\frac{1}{4}x-\frac{1}{8})\) \(=-x^2 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{8}\) |
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問題6
【問題】次の式を展開してください． （右欄のうちで正しいものをクリック） ※この頁の問題は少し難しいです
\((x + 2)(3 - x)\)
\(-(x + 2)(x - 3)\) と見る 文字は\(x\) ２数の和は\( (2) + (-3)=-1\) ２数の積は\((2) \times (-3)=-6\) \(-(x + 2)(x - 3)\) \(=-(x^2-x-6)\) \(=-x^2 + x + 6\)
\((a - x)(x - 4a)\)
\(-(x - a)(x - 4a)\) と見る 文字は\(x\) ２数の和は\( (-a) + (-4a)=-5a\) ２数の積は\((-a) \times (-4a)=4a^2\) \(-(x - a)(x - 4a)\) \(=-(x^2-5ax+ 4a^2)\) \(=-x^2 + 5ax -4a^2\)
\(-x^2 - \frac{x}{6} + \frac{1}{6}\)
\(-x^2 + \frac{x}{6} - \frac{1}{6}\) \(x^2 - \frac{x}{6} + \frac{1}{6}\) \(x^2 + \frac{x}{6} - \frac{1}{6}\)
\((x + \frac{1}{2})(\frac{1}{3}- x)\)
\(-(x + \frac{1}{2})(x - \frac{1}{3})\) と見る 文字は\(x\) ２数の和は\( (\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{3})=\frac{1}{6}\) ２数の積は\((\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{3})=-\frac{1}{6}\) \(-(x + \frac{1}{2})(x - \frac{1}{3})\) \(=-(x^2 + \frac{1}{6}x -\frac{1}{6})\) \(=-x^2 -\frac{x}{6} + \frac{1}{6}\)
\(x^2 + \frac{8}{15}ax + \frac{a^2}{15}\)
\(x^2 - \frac{8}{15}ax + \frac{a^2}{15}\) \(-x^2 + \frac{8}{15}ax - \frac{a^2}{15}\) \(-x^2 - \frac{8}{15}ax + \frac{a^2}{15}\)
\((\frac{a}{3}-x)(\frac{a}{5}-x)\)
\((x -\frac{a}{3})(x -\frac{a}{5})\) と見る 文字は\(x\) ２数の和は\( (-\frac{a}{3}) + (-\frac{a}{5})=-\frac{8}{15}a\) ２数の積は\((-\frac{a}{3}) \times (-\frac{a}{5})=\frac{a^2}{15}\) \((x- \frac{a}{3})(x - \frac{a}{5})\) \(=x^2 - \frac{8}{15}ax + \frac{a^2}{15}\) |