【円周角の定理】
(証明)一つの弧に対する「円周角」の大きさは,「中心角」の半分になります. 1 右のようにACが中心を通るとき OC=OB=(半径)だから△OBCは二等辺三角形になる. 二等辺三角形の2つの底角は等しいから∠B=∠C…(1) 「三角形の外角は,それと隣り合わない2つの内角の和に等しい」(重要定理)から, △OBCにおいて∠BOCの外角∠BOAは残り2つの角の和∠B+∠Cに等しいから ∠BOA=∠B+∠C…(2) ⇒ (1)(2)より∠BOA=2×∠C
すなわち「中心角は円周角の2倍になる」
「円周角は中心角の半分になる」 2 右図のように∠ACBの中に円の中心があるとき AO=CO(=半径)だから△AOCは二等辺三角形になり
∠ACO=∠CAO
∠AOD=∠ACO+∠CAO =2×∠ACO
同様にして
だから,両辺をそれぞれ足すと∠BOD=2×∠BCO ∠AOB=2×∠ACO+2×∠BCO =2×(∠ACO+∠BCO) =2×∠ACB
すなわち「中心角は円周角の2倍になる」
「円周角は中心角の半分になる」 3 右の図のように∠ACBの外に円の中心があるとき 差で示します.
∠BOD=2×∠BCO
∠AOD=2×∠ACO だから,両辺をそれぞれ引くと ∠BOA=2×∠BCO−2×∠ACO =2×(∠BCO−∠ACO) =2×∠BCA
すなわち「中心角は円周角の2倍になる」
「円周角は中心角の半分になる」 【具体例】
右図は上の証明で1の場合の例です
中心角92°が書いてあって,円周角が書いてないときは,92°÷2=46°で円周角が求まります. 円周角46°が書いてあって,中心角が書いてないときは,46°×2=92°で中心角が求まります.
右図は上の証明で2の場合の例です
この場合も,中心角と円周角のいずれか一方が分かれば他方が求まります.
右図は上の証明で3の場合の例です
◎右図のように中心角が180°のとき(中心を通る直線になるとき,すなわち直径になるとき)は特に重要です.この場合にも円周角の定理が成り立ちます. 「中心角と円周角の対応」が,すぐに分かるように,目を慣らしておくことが大切です. ○直径は180°という角度になるということをしっかりと覚えましょう. ○また 「直径の上に立つ円周角は直角になる」 は重要定理ですからすぐに使えるように覚えておきましょう. ◎右図のように中心角が180°以上の場合に,「どこが中心角なのか」目の錯角で戸惑うことがありますので,幾つか見て慣れておくことが大切です. この場合でも,「中心角=2×円周角」は,同様にして証明できます. AO=CO(=半径)だから△AOCは二等辺三角形になり
∠ACO=∠CAO
同様にして,BO=CO(=半径)だから△BOCは二等辺三角形になり∠AOD=∠ACO+∠CAO =2×∠ACO
∠BCO=∠CBO
両辺をそれぞれ足すと∠BOD=∠BCO+∠CBO =2×∠BCO
∠BOA=2×∠BCA
ただし,∠BOAは図のように,優角(180°よりも大きい角)の方とする |
...(携帯版)メニューに戻る ...(PC版)メニューに戻る |