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== 円周角の定理 ==

【円周角の定理】
 一つの孤に対する「円周角」の大きさは,「中心角」の半分になります.

(証明)
1 右のようにACが中心を通るとき

 OC=OB=(半径)だから△OBCは二等辺三角形になる.
二等辺三角形の2つの底角は等しいからB=C…(1)

 「三角形の外角は,それと隣り合わない2つの内角の和に等しい」(重要定理)から,
△OBCにおいてBOCの外角BOAは残り2つの角の和B+Cに等しいから
BOA=B+C…(2)

⇒ (1)(2)よりBOA=2×C
 すなわち「中心角は円周角の2倍になる
 円周角は中心角の半分になる

2 右図のようにACBの中に円の中心があるとき
 それぞれ半分ずつなので,合計も半分になります.
AOD=2×ACO
BCD=2×BCO
だから,両辺をそれぞれ足すと
AOB=2×ACO+2×BCO
=2×(ACO+BCO)
=2×ACB
 すなわち「中心角は円周角の2倍になる
 円周角は中心角の半分になる

3 右の図のようにACBの外に円の中心があるとき
 差で示します.
BOD=2×BCO
AOD=2×ACO
だから,両辺をそれぞれ引くと
BOA=2×BCO−2×ACO
=2×(BCO−ACO)
=2×BCA
 すなわち「中心角は円周角の2倍になる
 円周角は中心角の半分になる

【具体例】
右図は上の証明で1の場合の例です

中心角92°が書いてあって,円周角が書いてないときは,92°÷2=46°で円周角が求まります.

円周角46°が書いてあって,中心角が書いてないときは,46°×2=92°で中心角が求まります.

右図は上の証明で2の場合の例です

この場合も,中心角と円周角のいずれか一方が分かれば他方が求まります.
◎右図のように中心角が180°のとき(中心を通る直線になるとき,すなわち直径になるとき)は特に重要です.

直径は180°という角度になるということをしっかりと覚えましょう.

○また
「直径の上に立つ円周角は直角になる」
は重要定理ですからすぐに使えるように覚えておきましょう.


◎右図のように中心角が180°以上の場合に,「どこが中心角なのか」目の錯角で戸惑うことがありますので,幾つか見て慣れておくことが大切です.

右図は上の証明で3の場合の例です

この場合にも円周角の定理が成り立ちます.

「中心角と円周角の対応」が,すぐに分かるように,目を慣らしておくことが大切です.
 
《問題》
次の角度 x , y , z を求めなさい.
(1)  O は円の中心とする.
x=



(2)  O は円の中心とする.
y=



(3)  O は円の中心とする.
z=



(4)  O は円の中心とする.
x=



(5)  O は円の中心とする.
y=



(6)  O は円の中心とする.
z=




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