■最大公約数,最小公倍数

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【分数の約分】
■ 分数を約分するときは,分母と分子を同じ数で割る.

■ このときに登場する「分母と分子の共通の約数(=公約数)」の中で「最も大きな数字(=最大)」のことを「最大公約数」という.

18 の約数は,1 , 2 , 3 , 6 , 9, 18
24 の約数は,1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12, 24
共通の約数(=公約数) 1 , 2 , 3 , 6 の中で最大のものは 6
⇒ 最大公約数は 6

■ 間違って「最小公約数」などと言わないように.最小公約数は,計算しなくても1に決まっているので「最小公約数」などという用語は使わない.(=当たり前でつまらないことだから)

■ 「最大公約数」は分数の約分のときだけでなく広く使われる重要なものである.
■ 2つの数の最大公約数を求めるには,
(A) 小学校のときに習った「割り算(の裏向き)」のやり方で割れるだけ割っていく方法
(B) 素因数分解を利用する方法
がある.
(A) 割れるだけ割っていく方法で最大公約数を求めるには
2 )18 , 24
3 ) 9 , 12
3 ,_ 4
最大公約数2×3=6
■共通に割れる数のうちで最も大きいのが最大公約数(2や3でも割れるが,これらは公約数.最大公約数は6になる.)
※最大公約数,最小公倍数は分数の約分や通分に欠かせない重要なものである.
(小学校で習っていることになっているが,今の教育課程では扱いが薄いという印象を受ける.)
【分数の通分】
 分数を通分するときは,2つの分母の「共通の倍数(=公倍数)」のなかで「最も小さい数(=最小)」のものを共通の分母にする.

※ このときに登場する「共通の倍数(=公倍数)」の中で「最も小さい数(=最小)」のことを「最小公倍数」という.
18 の倍数は 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, ···
24 の倍数は 24, 48, 72, 96, 120, 144, ···
共通の倍数(=公倍数) 72 , 144 , ··· の中で最小のものは 72
⇒ 最小公倍数は 72

■ 間違って「最大公倍数」などと言わないように.公倍数はいくらでも大きいものがあり,最大のものは決まらず「最大公倍数」などという用語は使わない.(=公倍数には最大のものがないから)

■ 「最小公倍数」は分数の通分のときだけでなく広く使われる重要なものである.
■ 2つの数の最小公倍数を求めるには,
(A) 小学校のときに習った「割り算(の裏向き)」のやり方で割れるだけ割っていく方法
(B) 素因数分解を利用する方法
がある.
(A) 割れるだけ割っていく方法で最小公倍数を求めるには
2 )18 , 24
3 ) 9 , 12
3 ,_ 4
最小公倍数2×3×3×4=72
■最小公倍数を求めるときは「割った数」だけでなく,「割った結果」も掛ける.
■ 次の計算を参考にして,与えられた2つの数の最大公約数を求めなさい.
[問題1]
2 ) 6 , 10
3 ,_ 5
610 の最大公約数は

採点する やり直す
[問題2]
3 )30 , 45
5 )10 , 15
2 ,_ 3
3045 の最大公約数は

採点する やり直す
[問題3]
2 )24 , 60
2 )12 , 30
3 ) 6 , 15
2 , 5
2460 の最大公約数は

採点する やり直す
■ 次の計算を参考にして,与えられた2つの数の最小公倍数を求めなさい.
[問題4]
2 ) 6 , 10
3 ,_ 5
610 の最小公倍数は

採点する やり直す
[問題5]
3 )30 , 45
5 )10 , 15
2 ,_ 3
3045 の最小公倍数は

採点する やり直す
[問題6]
2 )24 , 60
2 )12 , 30
3 ) 6 , 15
2 , 5
2460 の最小公倍数は

採点する やり直す
(B) 素因数分解を利用してで最大公約数を求めるには
例1
18=2×32
24=23×3 の形に直す.(素因数分解という)
「最大公約数」は共通の約数(=公約数)のうちで「最大のもの」だから,「共通に入っている素因数」をさがす.
218 には1個,24 には3個入っているから,共通に入っているのは最大で1個
318 には2個,24 には1個入っているから,共通に入っているのは最大で1個
最大公約数2×3=6

例2
100=22__×52
120=23×3×5 の形に直す.(素因数分解という)
「最大公約数」は共通の約数(=公約数)のうちで「最大のもの」だから,「共通に入っている素因数」をさがす.
2100 には2個,120 には3個入っているから,共通に入っているのは最大で2個
3100 には入っていない,120 には1個入っているから,共通に入っているものはない
5100 には2個,120 には1個入っているから,共通に入っているのは1個
最大公約数22×5=20

【要点】
 最大公約数 ⇒ 共通の素因数に最小の指数を付ける.
(※ 「最大」公約数なのに「最小」の指数なのだ♪ 共通に入っているものだから低い方なのだ♪)
(B) 素因数分解を利用してで最小公倍数を求めるには
例1
18=2×32
24=23×3 の形に直す.(素因数分解という)
「最小公倍数」は共通の倍数(=公倍数)のうちで「最小のもの」だから,両方の倍数になるように「全部の素因数で一番大きな指数をさがす」
218 には1個,24 には3個入っているから,両方の倍数になるには3個必要
318 には2個,24 には1個入っているから,両方の倍数になるには2個必要
最小公倍数23×32=72

例2
100=22__×52
120=23×3×5 の形に直す.(素因数分解という)
「最小公倍数」は共通の倍数(=公倍数)のうちで「最小のもの」だから,両方の倍数になるように「全部の素因数で一番大きな指数をさがす」
2100 には2個,120 には3個入っているから,両方の倍数になるには3個必要
3100 には入っていない,120 には1個入っているから,両方の倍数になるには1個必要
5100 には2個,120 には1個入っているから,両方の倍数になるには2個必要
最小公倍数23×3×52=600

【要点】
 最小公倍数 ⇒ 全部の素因数に最大の指数を付ける.
(※ 「最小」公倍数なのに「最大」の指数なのだ♪ 両方の倍数にするには大きい方が必要なのだ♪)
■ 次の素因数分解を参考にして,与えられた2つの数の最大公約数を求めなさい.
[問題7]
12=22×3
10=2___×5

1210 の最大公約数は

採点する やり直す
[問題8]
36=22×32
30=2×3×5

3630 の最大公約数は

採点する やり直す
■ 次の素因数分解を参考にして,与えられた2つの数の最小公倍数を求めなさい.
[問題9]
12=22×3
10=2___×5

1210 の最小公倍数は

採点する やり直す
[問題10]
36=22×32
30=2×3×5

3630 の最小公倍数は

採点する やり直す
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■[個別の頁からの質問に対する回答][最大公約数,最小公倍数について/17.3.19]
中3 素数·素因数分解 最大公約数·最小公倍数(2) 問題7、問題8、問題9、問題10のHELP 間違っている
=>[作者]:連絡ありがとう.めったにない変わったエラーでした・・・指数(肩に付ける小さい数字)が地上に降りていましたので訂正しました.