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== 接弦定理 no.3 ==


【接弦定理】
次の図1において
ピンクで示した2つの角度xは等しい
水色で示した2つの角度zは等しい
【解説】 ≪図で見る証明≫

- 図1 -
1.
△ABCの内角の和は180°だから右図においてx+y+z=180°
また,直線T'AT=180°

角は3種類ある.
ピンクで示した2つのxが等しいこと,水色で示した2つのzが等しいことを示せばよい.


- 図2 -
2.
円の中心を通る直径ADを引くと,上2つのピンクのxは弦CAの円周角だから等しい.
次に,直角三角形△DCAにおいてx+y1=90°
また,接線と弦CAがなす角xx+y1=90°を満たす.
だから,ピンクで示した3つの角xは等しい.
同様にして,図の水色で示した3つの角zも等しいことが示される.
《問題》
(1) 次の図において,直線ATは点Aにおける円の接線である.
 CA=CB,∠ACB=110のとき,∠xを求めなさい.
(「栃木県 平成11年度」問題の引用)
(以下の欄は,このホームページの作者が個人で追加したものです.)

∠x=


CA=CBだから,∠CBA=∠CABとなります.
また,接弦定理により∠CBA=xです.
△ABCの内角の和は180°だから 2x+110°=180°
x=35°…(答)
(2)  次の図のように,三角形ABCが円Oに内接し,直線TT’は点Aで円Oに接している.
,∠CAT=70のとき,∠BACの大きさを求めなさい.
(「岐阜県 平成11年度」問題の引用)
(以下の欄は,このホームページの作者が個人で追加したものです.)

∠BAC=

辺AB=BCとなるから,∠BAC=∠BCAとなります.
また,接弦定理から,∠TAC=∠ABCです.
2x+70°=180°より
x=55°…(答)
(3) 図で,△ABCは円に内接している.また,Dは点Aにおける円の接線と直線CBとの交点である.∠ACB=35,∠ADB=45のとき,∠BACの大きさは何度か.
(「愛知県B 平成11年度」問題の引用)
(以下の欄は,このホームページの作者が個人で追加したものです.)
∠BAC=

接弦定理から∠DAB=35°
→∠ABD=100°→∠ABC=80°だから ∠BAC=65°…(答)
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