不等式の性質


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0<a<bのとき
 
(1-1)

−a>−b は

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
(1-2)

2<ab は

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
(1-3)

2<b2 

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
(1-4)

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
 
a<bのとき
 
(2-1)

3a<3b は

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
(2-2)

ac<bc は

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
(2-3)

1−a<1−b は

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
(2-4)

2a<a+b は

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
(2-5)

2<b2 

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
0<a<b,0<c<dのとき
 
(3-1)

a+c<b+d は

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
(3-2)

ac<bd は

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
a<b,c<dのとき
 
(4-1)

a+c<b+d は

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
(4-2)

ac<bd は

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
(4-3)

c−b<d−aは

つねに成り立つ
成り立つときと成り立たないときがある
絶対成り立たない
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1−1
(解説)
 0<a<bのとき,b−a>0 が成り立ちます.
 これにより,(−b)−(−a)=(a−b)<0 だから
 −a>−b が成り立ちます.
(具体例)
 3<5 → −3 > −5
←問題に戻る
 
 
 
 
 
 
 
 

1−2
(解説)
 0<a<bのとき,b−a>0 が成り立ちます.
 これにより,ab−a2=a(b−a)>0 だから
 ab>a2 が成り立ちます.
(具体例)
 3<5 → 32=9 < 15=3・5
←問題に戻る
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1−3
(解説)
 0<a<bのとき,b−a>0,b+a>0 が成り立ちます.
 これにより,b2−a2=(b+a)(b−a)>0 だから
 2>a2 が成り立ちます.
(具体例)
 3<5 → 32=9 < 52=25
←問題に戻る
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1−4
(解説)
 0<a<bのとき,b−a>0,b+a>0 が成り立ちます.
 これにより, だから
 が成り立ちます.
(具体例)
 3<5 → 
←問題に戻る
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 2−1 
(解説)
 a<bのとき,b−a>0 が成り立ちます.
 これにより,3b−3a=3(b−a)>0 だから
 3a<3b が成り立ちます.
(具体例)
 3<5 → 3・3=9 < 15=3・5
 −3<5 → 3・(−3)=−9 < 15=3・5
 −3<−2 → 3・(−3)=−9 < −6=3・(−2)
←問題に戻る
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2−2 
(解説)
 a<bのとき,b−a>0 が成り立ちます.
 これにより,cb−ca=c(b−a) だから
 c>0 のときは ca<cb となりますが
 c<0 のときは ca>cb となります.
(具体例)
 c=2 のとき
  3<5 → 2・3=6 < 10=2・5
 c=−2のとき
  3<5 → −2・3 = −6 > −15=−2・5
←問題に戻る
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2−3
(解説)
 a<bのとき,b−a>0 が成り立ちます.
 これにより,(1−b)−(1−a)=a−b<0
 だから,1−a>1−b 
(具体例)
  3<5 → 1−3=−2 > −4=1−5
←問題に戻る
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2−4
(解説)
 a<bのとき,b−a>0 が成り立ちます.
 これにより,(a+b)−2a=b−a>0
 だから,2a<a+b
(他の考え方)
 a<bの両辺にaを加えてもよいので
 2a<a+b
←問題に戻る
 
 
 
 
 
 
 
 

2−5
(解説)
 a<bのとき,b−a>0 が成り立ちます.
 これにより,b2−a2=(b+a)(b−a)
 だから,b+a>0ならばb2−a2>0つまりa2<b2
 b+a<0ならばb2−a2<0つまりa2>b2
(具体例)
 3<5 のとき 32=9 < 25=52
 −5<3 のとき (−5)2=25 > 9=32
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3−1
(解説)
 0<a<b,0<c<dのとき,b−a>0,d−c>0 が成り立ちます.
 これにより,(b+d)−(a+c)=(b−a)+(d−c)>0
 だから,a+c<b+d が成り立ちます.
(具体例)
 3<5,2<6 のとき
 3+2=5 < 5+6=11
←問題に戻る
 
 
 
 
 
 
 
 

3−2
(解説)
 0<a<b,0<c<dのとき,b−a>0,d−c>0 が成り立ちます.
 これにより,bd−ac=d(b−a)+a(d−c)>0
 だから,ac<bd が成り立ちます.
(具体例)
 3<5,2<6 のとき
 3・2=6 < 5・6=30
←問題に戻る
 
 
 
 
 
 
 
 

4−1
(解説)
 a<b,c<dのとき,b−a>0,d−c>0 が成り立ちます.
 これにより,(b+d)−(a+c)=(b−a)+(d−c)>0
 だから,a+c<b+d が成り立ちます.
 (a,b,c,dが正の数でなくても成り立ちます.)
(具体例)
 −5<3,2<6 のとき
 −5+2=−3 < 3+6=9
←問題に戻る
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4−2
(解説)
 a<b,c<dのとき,b−a>0,d−c>0 が成り立ちます.
 これにより,bd−ac=d(b−a)+a(d−c)
 だから,a,d の符号しだいです.
(具体例)
 3<5,2<6 のとき
 3・2=6 < 5・6=30
 −3<5,2<6 のとき
 −3・2=−6 < 5・6=30
 −3<5,−2<−1 のとき
 (−3)・(−2)=6 > 5・(−1)=−5
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4−3
(解説)
 a<b,c<dのとき,b−a>0,d−c>0 が成り立ちます.
 これにより,(d−a)−(c−b)=(d−c)+(b−a)>0
 だから,c−b<d−a です.
(具体例)
 −3<5,2<6 のとき
2−5=−3 < 6−(−3)=9
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