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≪2乗,平方根,ルート≫

■同じ数を2つ掛けたものを,その数の2乗といいます.
【例1】
 3×3=9だから,3の2乗は9です.これを2=9と書きます.

【例2】
(-3)×(-3)=9だから,-3の2乗は9です.これを(-3)2=9と書きます.
○ある数が正の数であっても負の数であっても,その数の2乗は1つの正の数になります.

○逆に,2乗してある正の数になる元の数は2つあります.
例えば,3の2乗も−3の2乗も9になるので,2乗して9になる元の数は3と−3の2つです.
【問題1】 正しいものを選んでください.
(1) 4の2乗

2

16


(2) 52

5 −5 ±5 10 −10 ±10

25 −25 ±25 32 −32 ±32


(3) (−6)2

6 −6 12 −12

36 −36



■2乗してaになる元の数をa平方根といいます.
【例3】
 32=9,(-3)2=9だから,9の平方根は3と−3の2つあります.
 これらはまとめて±3で表すことができます.
 だから,9の平方根は±3ともいえます.

【例4】
 52=25,(-5)2=25だから,25の平方根は5と−5の2つあります.
 これらはまとめて±5で表すことができます.
 だから,25の平方根は±5ともいえます.


■正の数aに対して,aの平方根のうちで正の数の方をで表し,ルートaといいます.
【例5】
 9の平方根は3と−3の2つですが,そのうちの正の方をで表します.
 だから,です.

【例6】
 25の平方根は5と−5の2つですが,そのうちの正の方をで表します.
 だから,です.

■正の数aに対して,aの平方根のうちで負の数の方をで表し,マイナス・ルートaといいます.これは,の符号だけを変えたものです.
【例7】
 9の平方根は3と−3の2つですが,そのうちの負の方をで表します.
 だから,です.

【例8】
 25の平方根は5と−5の2つですが,そのうちの負の方をで表します.
 だから,です.

■■正の数aに対して,aの平方根をまとめてで表し,プラス・マイナス・ルートaといいます.
【例9】
 9の平方根はすなわちです.

【例10】
 25の平方根はすなわちです.

【問題2】 正しいものを選んでください.
(1) 4の平方根

2 −2 ±2



16 −16 ±16


(2) 

2 −2 ±2



16 −16 ±16


(3) 

2 −2 ±2



16 −16 ±16


(4) 

2 −2 ±2



16 −16 ±16



■平方根のうちで整数や分数には直せないもの
02=0 , 12=1 , 22=4 , 32=9 , 42=16 , 52=25 , ...だから
=0
=1
=2
=3
=4
=5, ...です.

根号の中を先に決めて,のような数字を考えると,これらは整数や分数では表せないことが知られています.

1つの例として,はどんな数字になるか調べてみると,これはa2=2となるような正の数aを表しています.

1.42=1.96←小さ過ぎる
1.52=2.25←大き過ぎる
1.452=2.1025←大き過ぎる
1.412=1.9881←小さ過ぎる
1.422=2.0164←大き過ぎる
1.414213562=1.9999999932...←小さ過ぎる
1.414213572=2.0000000215...←大き過ぎる
 このようにして,=1.41421356...辺りの数字になりますが,この小数はどこまで行っても終わりません.
 近似値としては,1.41を使うことが多いですが,正確な値で表したいときは根号を付けたまま

で表します.
なども同様にして,根号の中が「平方数(=整数の2乗)」になっていなければ簡単な整数にならないので,根号をつけたままで表します.

(昔の覚え方)…今の生徒は3桁まで言えれば十分
=1.41421356... 一夜一夜に人見頃(ひとよひとよにひとみごろ)
夜桜見物で,一夜ごとに花が見頃になっていくに連れて,人の数も見頃になっていく情景を描いたものか・・・
=1.7320508... 人並みにおごれや(ひとなみにおごれや)
=2.2360679... 富士山麓オーム鳴く(ふじさんろくオームなく)
=2.44949... 似よ良く良く(によよくよく),二夜シクシク(ふたよしくしく)
[前の方]双子の兄弟の話かも・・・[後の方]泣き続けた・・・
=2.64575... [菜]に虫いない(なにむしいない)
語呂合わせの都合で,先頭の7も読んでしまう.・・・

=1, =2, =2, =3は,覚える必要なし.
【例題】
の値について,次のうちで正しいものを選んでください.

(解答)
だからが成り立つ…(答)
(詳しく書けばになります.)
【ポイント】
平方数(1,4,9,16,...)の根号()と比較すると整数までの近似値が分かる.
n0123456789...
0123...
【問題3】
(1) の値について,正しいものを選んでください.






(2) の値について,正しいものを選んでください.






(3) の値について,正しいものを選んでください.







■根号の2乗や3乗
 aが0以上の数のとき,
  「2乗してaになる正の数をで,負の数をで表す」
というのが根号の約束なので,これらの数を2乗すると当然 aになります.
a>0のとき

【例】
a2=2となる元の数aだから


※いくら聞いても通じない人は,少し早口で読んでみると分かるかもしれません.

「2乗すると2になる正の数をと書く」のだから,「を2乗すると2になる」.

○マイナスは2乗するとプラスになる.
a2=3となる元の数aだから


a2=5となる元の数aだから


のような式は,文字式の変形と同じように計算できます.
x3=x2×xだから

↑2乗が出てきたら早めに数字にしてしまうのがコツ
↑2乗が出てきたら数字にし,1つだけ残るときは根号を残す

x4=x2×x2だから

↑2つずつ束にするのがコツ
同様にして

↑2つずつ束にして数字にし,1つだけ残るときは根号を残す
【問題4】 次の値に等しいものを選んでください.
(1) 

4 −4 ±4

16 −16 ±16


(2) 

6 −6 ±6

36 −36 ±36


(3) 

6 −6 ±6

216 −216 ±216


(4) 

5 −5 ±5




(5) 

7 −7 ±7


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