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連立方程式(代入法)

【準備体操】

 「つる」と「かめ」を合わせて6匹いて,足の数は合計16本です.つる,かめはそれぞれ何匹いるでしょう.
 これは有名なつるかめ算の問題ですが,中学では「・・算」という特別な解き方を覚えることなく連立方程式の問題として解くことができます.
 つるをx匹,かめをy匹とおくと頭数は次の(1)式になり,足の数は(2)式となります.これら2つの方程式を「両方とも満たす」x,yが解になります.
 
x+y=6・・(1)
2x+4y=16・・(2)
 
(1)を満たすx,yは次の組です.
(2)を満たすx,yは次の組です.
×
×
×
 このうちx=4,y=2は「両方とも満たしている」ので,つる4匹,かめ2匹
が答えです.



【連立方程式の解き方1(代入法)】

 2つの式
x+y=6・・(1)
2x+4y=16・・(2)
 
を両方とも満たすx,yを求めるには
x+y=6・・(1)
2x+4y=16・・(2)
 
の代わりに
y=6−x・・(3)
2x+4y=16・・(2)
 
を考えます.
さらに(3)を(2)に代入すればxだけの方程式 
2x+4(6−x)=16
となり,これなら解けます.
 このように,連立方程式から1文字を代入消去して解く方法を代入法といいます.



【問題】

 1.
 次の文章は,連立方程式を代入法で解く途中経過を述べたものです.空欄に正しい式を入れなさい. 

2x+y=7・・(1)
x+3y=6・・(2)
 
を解くには,
 
(1)をy=  ・・・(3) と変形し,(2)に代入します. 
そうすると(2)は 
 x+3(7-2x)=6 となります. 
左辺を簡単にすると 
 21-5x=6 
これを解くとx=3 ・・・(4) 
(4)を(3)に代入するとy=1 
ゆえに(x,y)=(3,1)・・・答 
   
 



2.
 次の文章は,連立方程式を代入法で解く途中経過を述べたものです.空欄に正しい式を入れなさい. 
3x−y=5・・(1)
x+3y=5・・(2)
 
を解くには,
(1)をy=3x−5・・・(3) と変形し,(2)に代入します.そうすると(2)は 
 x+3()=5 となります. 
左辺を簡単にすると 
 10x−15=5 
これを解くとx=2 ・・・(4) 
(4)を(3)に代入するとy=1 
ゆえに(x,y)=(2,1)・・・答 
  




3.
 次の文章は,連立方程式を代入法で解く途中経過を述べたものです.空欄に正しい式を入れなさい. 
y=3x・・(1)
2x+y=15・・(2)
 
を解くには,
(1)のyを(2)に代入消去すると(2)は 
 =15 となります. 
これを解くとx=3 ・・・(4) 
(4)を(1)に代入するとy=9 
ゆえに(x,y)=(3,9)・・・答 
  



4.
 次の連立方程式を解きなさい. 
y=x−2・・(1)
2x+y=1・・(2)
 
(x,y)=()・・・答 
  



5.
 次の連立方程式を解きなさい. 
x=y+1・・(1)
2x+y=−7・・(2)
 
 
(x,y)=()・・・答 
  


【付録】
 各自で確かめたい連立方程式を書き込んでください.
ただし
• 整数係数の問題に限ります.
• 解がただ一つに定まる問題に限ります.
{
()x+()y=() …(1)
()x+()y=() …(2)
解く消す

(参考):この問題解きプログラムを使うとき
※次のように右辺または両辺にがあったり,左辺に定数がある問題は,移項してを左辺に集め,定数を右辺に集めてから解きます.
移項する
移項する
※次のような分数係数の問題は,分母を払って整数係数の問題に直してから解きます.
両辺に6を掛けて分母を払う
※次のような小数係数の問題は,10倍,100倍して整数係数の問題に直してから解きます.
両辺に10を掛けて整数係数にする
両辺に100を掛けて整数係数にする
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