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《解説》
○ 素数
1より大きい整数のうち,1と自分自身以外の整数では割り切れないような整数を素数といいます.

○ エラトステネスのふるい
素数を求める方法として,古来有名なものに「エラトステネスのふるい」があります.(エラトステネスはギリシア時代の人の名)
 もし1を素数に含めてしまうと,素因数分解が何通りでもできてしまい,素因数分解の理論がグチャグチャになってしまいます.
 例えば,1を素因数分解に含めない普通の立場では6の素因数分解は2×3のただ1通りに決まりますが,1を素因数に含めてしまうと1×2×3, 12×2×3, 13×2×3, 14×2×3, ...と素因数分解の仕方が何通りでもあることになり混乱が起こります.

その方法は,
 1は素数とはしないので除外する.(意外と忘れやすいので注意.中学生では,約束だと思えばよい.)
 2を残して2で割り切れるものを除外する.3を残して3で割り切れるものを除外する.
 (4は除外されている.) 5を残して5で割り切れるものを除外する.
 (6は除外されている.) 7を残して7で割り切れるものを除外する....
のように進めていき,残った数が素数と考えます.
○どんな正の整数Nでも,1と自分自身Nで必ず割り切れますが,1と自分自身N「以外の」整数では割り切れないとき,その整数Nは「素数」といいます.
【素数でないものの例】
4は,(1, 4以外で)2で割り切れるから「素数ではない」.
6は,(1, 6以外で)2, 3で割り切れるから「素数ではない」.
9は,(1, 9以外で)3で割り切れるから「素数ではない」.
【素数であるものの例】
2は,1, 2以外の整数では割り切れないから「素数です」.
3は,1, 3以外の整数では割り切れないから「素数です」.
5は,1, 5以外の整数では割り切れないから「素数です」.
【間違いやすいもの】
1は,上で解説したように「素数に入れません」.
0は,正の整数でないから「素数に入れません」.
《素数の例》
1は素数ではない.(これは約束)
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …は素数です.

○ 素数の見分け方
与えられた数が素数か素数でないかを見分けるには,2からN−1までの整数で割り切れるかどうか,「試しに割ってみる」とよい.例えば39が素数かどうか調べるには2から38までの整数で割り切れるかどうか調べてみて,1つでも割り切れるものがあれば素数でないといえます.
※中学校の基本では,「素数であるかどうかは小さい方の数字から順に割って見ればわかる」という立場を取ります.
次の(A)と(B)の違いは,約数がなかなか見つからないときに「大きい方はどこまで調べたらよいのか」という判断の仕方を示したものです.
《素数の調べ方:確実な方法1》
正の整数Nが素数かどうかを調べるには2からN−1までの整数で割ってみればよい.
⇒1つでも割り切れるものがあればNは素数ではない.どの整数でも割り切れなければNは素数
【例】
213で割り切れるから,それ以上大きな数で調べなくても「素数ではない」といえます.
355で割り切れるから,それ以上大きな数で調べなくても「素数ではない」といえます.
13は,2,3,5,7,11で割り切れないから「素数です」.
2を調べたら4,6,8,10,...は調べなくてもよい)
3を調べたら3,6,9,12,...は調べなくてもよい)
5を調べたら5,10,15,...は調べなくてもよい)

実際には, 39=3×13 などで,2から38まで調べなくても,2から =6.○△□までの整数(6まで)を調べればよい.
までには小さい方の約数3が登場するからです.運悪く,小さな素数がなかなか登場せず,121=11×11のように同じ数の積になっているときでも,=11まで調べれば分かります.

《素数の調べ方:最短の方法2》
正の整数 N が素数かどうかを調べるにはまでの整数で割ればよい.
⇒ 小さな素数が順に言えるようにし,までの素数で割ればよい.(2,3,5,7,...で割ればよい.)
【例】
31が素数であるかどうか調べるには,
すなわちだから5までの整数で割り切れるかどうか調べたらよい.やってみると,31は,2,3,5で割り切れないから「素数」といえます.
53が素数であるかどうか調べるには,
すなわちだから7までの整数で割り切れるかどうか調べたらよい.やってみると,53は,2,3,5,7で割り切れないから「素数」といえます.
○以上の解説で述べたこと
たとえば,100以下の整数が素因数分解できる場合,すなわちだから,10以下の素因数(2, 3, 5, 7)で割り切れるいうことです.
10以下の素因数が1つもない(10よりも大きな素数の積になっている)ような整数は必ず以上になるので,100以下の整数が10よりも大きな素因数ばかりの積になることはありません.
○以上の解説で述べていないこと
たとえば,34=2×1765=5×13のように,100以下の整数を素因数分解したときに10以上の素因数が登場することはあります.
ただし,10以下の素因数が1つ見つかれば,その数で割れば素因数分解はできます.
34÷2=17
65÷5=13

≪用語≫
正の整数a, bについて,abで割り切れるとき,
baの約数といいます.
abの倍数といいます.
【例】
62で割り切れるから,26の約数で,62の倍数です.

【問題1】 選択肢の中から正しいものを1つクリック
(1)
37の約数について,次のうちで正しいものを選んでください.
(2)
87の約数について,次のうちで正しいものを選んでください.
(3)
91の約数について,次のうちで正しいものを選んでください.
(4)
97の約数について,次のうちで正しいものを選んでください.


【よく使う倍数の見分け方】
2の倍数]・・・1の位の数が0,2,4,6,8 
5の倍数]・・・1の位の数が0,5 
3の倍数]・・・各位の数の和が3の倍数(例:234→2+3+4=9だから2343の倍数)
【問題2】 次の各組の数の中に素数が1つずつあります.各々の組の中で素数を選びなさい.(正しいものを1つクリック)
(1)
53 54 55 56
(2)
60 61 62 63
(3)
21 51 71 81 91
(4)
77 85 87 93 97


【問題3】 次の各組の数の中に素数でないものが1つずつあります.各々の組の中で素数でないものを選びなさい.(1つクリック)
(1)
11 13 15 17 19
(2)
59 69 79 89
(3)
31 41 51 61 71
(4)
43 53 63 73 83


※次の表は,啓林館の教科書に掲載されている表を100まで広げたものです.教科書自体にはこの表に解説は付いていませんが,何らかの規則性を示唆していることは読み取れます.発展学習の種が置いてあるのかもしれません.
【研究】
 次の表は100以下の整数を6列に並べたものです.背景色が水色のものは素数です.
 さて,このように6列に並べると,1列目と5列目に素数が集まっており,他の列にはほとんどありません.その理由を考えてください.
1列目2列目3列目4列目5列目6列目
123456
789101112
131415161718
192021222324
252627282930
313233343536
373839404142
434445464748
495051525354
555657585960
616263646566
676869707172
737475767778
798081828384
858687888990
919293949596
979899100


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■[個別の頁からの質問に対する回答][素数について/17.3.11]
HELPが書いてあったので、わからないところもヒントが見れて答えを導き出すことができました。 最初の説明の部分は、しっかりやり方をまとめ、もしこうなると...とあったので、これはやっちゃだめなんだよな、気をつけなきゃなと気づくことができました。また、素数のもの、素数ではないものの問題が二つに分かれており見やすかったです。ありがとうございました(^^♪
=>[作者]:連絡ありがとう.