中一／比例 no２

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== 比例のグラフ ==
【問題１】
　次の表は，y=3xという関係式を満たすx, yの値の組を各々上下に対応するように書き並べたものです．
(1)
　表の残りの空欄を埋めてください．（下の選択肢から選んでください）

x	…	−3	−2	−1	0	1	2	3	…
y	…	−9	−6	ア	イ	3	ウ	9	…

アの欄→ −5 −4 −3 −2 −1 0

解説やり直す

y=3xでx=−1のとき，y=3×(−1)=−3になります．

イの欄→ −3 −2 −1 0 1 2

解説やり直す

y=3xでx=0のとき，y=3×0=0になります．

ウの欄→ 1 2 3 4 5 6

解説やり直す

y=3xでx=2のとき，y=3×2=6になります．

(2)
　次の図の中で，上記の(−1, ア), (0, イ), (2, ウ)で示される点を「アイウの順に」クリックしてください．

【問題２】
　次の表は，y=−2xという関係式を満たすx, yの値の組を各々上下に対応するように書き並べたものです．
(1)
　表の残りの空欄を埋めてください．（下の選択肢から選んでください）

x	…	−3	−2	−1	0	1	2	3	…
y	…	6	4	ア	イ	−2	ウ	−6	…

アの欄→ −6 −4 −2 2 4 6

解説やり直す

y=−2xでx=−1のとき，y=−2×(−1)=2になります．

イの欄→ −3 −2 −1 0 1 2

解説やり直す

y=−2xでx=0のとき，y=−2×0=0になります．

ウの欄→ −6 −4 −1 0 2 4

解説やり直す

y=−2xでx=2のとき，y=−2×2=−4になります．

(2)
　次の図の中で，上記の(−1, ア), (0, イ), (2, ウ)で示される点を「アイウの順に」クリックしてください．

【問題３】
　次の表は， $y=\frac{1}{2}x$ という関係式を満たすx, yの値の組を各々上下に対応するように書き並べたものです．
(1)
　表の残りの空欄を埋めてください．（下の選択肢から選んでください）

x	…	−3	−2	−1	0	1	2	3	…
y	…	$-\frac{3}{2}$ \( \displaystyle -\frac{3}{2} \)	$-1$ \( \displaystyle -1 \)	ア	イ	$\frac{1}{2}$ \( \displaystyle \frac{1}{2} \)	ウ	$\frac{3}{2}$ \( \displaystyle \frac{3}{2} \)	…

アの欄→ $-\frac{3}{2}$ $-1$ $-\frac{1}{2}$ $0$ $\frac{1}{2}$ $1$

解説やり直す

$y=\frac{1}{2}x$ でx=−1のとき， $y=\frac{1}{2}\times(-1)=-\frac{1}{2}$ になります．

イの欄→ −3 −2 −1 0 1 2

解説やり直す

$y=\frac{1}{2}x$ でx=0のとき， $y=\frac{1}{2}\times 0=0$ になります．

ウの欄→ $\frac{1}{2}$ $1$ $\frac{3}{2}$ $2$ $\frac{5}{2}$ $3$

解説やり直す

$y=\frac{1}{2}x$ でx=2のとき， $y=\frac{1}{2}\times 2=1$ になります．

(2)
　次の図の中で，上記の(−1, ア), (0, イ), (2, ウ)で示される点を「アイウの順に」クリックしてください．

【問題４】
(1) 次の図の中からy=2xのグラフを選んでください．
（正しいものをクリック）

解説やり直す

$y=2x$ のグラフでは，例えば
x=−1のとき， $y=2\times (-1)=-2$ → (−1, −2)を通る
x=0のとき， $y=2\times 0=0$ → (0, 0)を通る
x=1のとき， $y=2\times 1=2$ →(1, 2) を通る
以上から，左上のグラフが答になります．

(2) 次の図の中からy=−3xのグラフを選んでください．
（正しいものをクリック）

解説やり直す

$y=-3x$ のグラフでは，例えば
x=−1のとき， $y=-3\times (-1)=3$ → (−1, 3)を通る
x=0のとき， $y=-3\times 0=0$ → (0, 0)を通る
x=1のとき， $y=-3\times 1=-3$ →(1, −3) を通る
以上から，右上のグラフが答になります．

(3) 次の図の中から $y=-\frac{1}{3}x$ のグラフを選んでください．
（正しいものをクリック）

解説やり直す

$y=-\frac{1}{3}x$ のグラフでは，例えば
x=−3のとき， $y=-\frac{1}{3}\times (-3)=1$ → (−3, 1)を通る
x=0のとき， $y=-\frac{1}{3}\times 0=0$ → (0, 0)を通る
x=3のとき， $y=-\frac{1}{3}\times 3=-1$ →(3, −1) を通る
以上から，右下のグラフが答になります．

（※x=1のとき， $y=-\frac{1}{3}\times 1=-\frac{1}{3}$ → $(1, -\frac{1}{3})$ を通るなどと考えてもよい）

【解説１】
aが0でない定数であるとき，
y=ax のような式で表される関係があるとき，
　yはxに比例するといいます．
　またこのとき，aを比例定数といいます．

【例１】
$y=2x$ のとき

yはxに比例します．
比例定数は2です．

【例２】
$y=-x$ のとき

比例定数は−などと言わないように！
$y=-x$ は $y=-1x,\hspace{10}y=(-1)x$ の省略形です

yはxに比例します．
比例定数は−1です．

【例３】
$y=0.5x$ のとき

yはxに比例します．
比例定数は0.5です．

【例４】
$y=\frac{x}{2}$ のとき

yはxに比例します．
比例定数は $\frac{1}{2}$ です．

（注） $y=\frac{x}{2}$ は， $y=\frac{1}{2}x$ と同じものです．どちらの形で書いてもよい．さらにまた，これは $y=0.5x$ と書くこともできます．
だから,【例３】と【例４】は同じ関係を表しています．

【問題５】
次の各々の関係式においてyはxに比例するといえるか，比例する場合に比例定数は幾らになるか，下の選択肢から１つクリックしてください．

(1)
$y=3x$

比例定数は $3x$ 比例定数は $3$ yはxに比例しない解説やり直す

y=3xは，y=axの形の式でa=3とおいたものなので，
yはxに比例するといえる
比例定数は3になる
（※xの付いた式3xではなくxの係数3が比例定数！）

(2)
$y=-5x$

比例定数は $-5x$ 比例定数は $-5$ yはxに比例しない解説やり直す

y=−5xは，y=axの形の式でa=−5とおいたものなので，
yはxに比例するといえる
比例定数は−5になる

(3)
$y=\frac{x}{3}$

比例定数は $3$ 比例定数は $\frac{1}{3}$ yはxに比例しない解説やり直す

$y=\frac{x}{3}$ は， $y=\frac{1}{3}x$ と書くこともでき， $a=\frac{1}{3}$ になっているから，
yはxに比例し，比例定数は $\frac{1}{3}$ になる

(4)
$y=2x+ 3$

比例定数は $2$ 比例定数は $3$ yはxに比例しない解説やり直す

$y=ax$ の $a$ にどんな値を代入しても， $y=2x+ 3$ にはならないから，
yはxに比例しない

※この形の式は，一次関数と呼ばれ，中学校２年生で習う．この式のように $+ 3$ が付いていると，xを２倍してもyは２倍にならない．xを３倍してもyは３倍にならない．

≪y=2xのとき≫
x=1 → y=2（元の値）
x=2 → y=4（２倍）
x=3 → y=6（３倍）

≪y=2x+3のとき≫
x=1 → y=5
x=2 → y=7
x=3 → y=9

(5)
$y=\frac{6}{x}$

比例定数は $2$ 比例定数は $3$ yはxに比例しない解説やり直す

$y=ax$ の $a$ にどんな値を代入しても， $y=\frac{6}{x}$ にはならないから，yはxに比例しない

※この形の式は反比例と呼ばれ，比例のすぐ後で習う．

【問題６】
次の各々の表は，yがxに比例する関係になっています．

1.

x	…	−3	−2	−1	0	1	2	3	…
y	…	−6	−4	−2	0	2	4	6	…

(1)
yをxで表す式は，次の内のどの式になりますか．
$y=-3x$ $y=-2x$ $y=2x$ $y=3x$

解説やり直す

xの値を2倍すると（xに2を掛けると）yになっているから，y=2x
（x=1のときのyの値が比例定数に等しいからa=2，したがってy=2xと考えてもよい）

(2)
x=5のときyの値は幾らになりますか．
$7$ $8$ $9$ $10$

解説やり直す

y=2xにおいてx=5を代入すると
y=2×5=10

2.

x	…	−3	−2	−1	0	1	2	3	…
y	…	$\frac{3}{2}$ \( \displaystyle \frac{3}{2} \)	$1$ \( \displaystyle 1 \)	$\frac{1}{2}$ \( \displaystyle \frac{1}{2} \)	$0$ \( \displaystyle 0 \)	$-\frac{1}{2}$ \( \displaystyle -\frac{1}{2} \)	$-1$ \( \displaystyle -1 \)	$-\frac{3}{2}$ \( \displaystyle -\frac{3}{2} \)	…

(1)
yをxで表す式は，次の内のどの式になりますか．
$y=-\frac{1}{2}x$ $y=-2x$ $y=2x$ $y=\frac{1}{2}x$

解説やり直す

xの値を2で割って符号を変えるとyになっているから
$y=-\frac{1}{2}x$
（x=1のときのyの値が比例定数に等しいから $a=-\frac{1}{2}$ ，したがって $y=-\frac{1}{2}x$ と考えてもよい）

(2)
$x=\frac{1}{2}$ のときyの値は幾らになりますか．

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $-\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{4}$

解説やり直す

$y=-\frac{1}{2}x$ において $x=\frac{1}{2}$ を代入すると $y=-\frac{1}{4}x$
（※上の表はxが整数となる点を示したものなので，表の中にはxが分数となる点は書いてない．しかし，式の方を使うとxのどんな値に対してもyの値を求められます）

3.

x	…	−3	−2	−1	0	1	2	3	…
y	…	−1.2	−0.8	−0.4	0	0.4	0.8	1.2	…

(1)
yをxで表す式は，次の内のどの式になりますか．
y=0.2x y=−0.2x y=0.4x y=−0.4x

解説やり直す

xの値に0.4を掛けるとyになっているから y=0.4x
（x=1のときのyの値が比例定数に等しいからa=0.4，したがってy=0.4xと考えてもよい）

(2)
y=4となるようなxの値は幾らですか．

0.8 1.6 8 10

解説やり直す

y=0.4xにおいてy=4を代入すると，4=0.4x
この方程式を解くと，x=10
（※x=4のときのyの値を求めているのではないので注意）

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