空間における直線の方程式

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1. 1点を通り方向ベクトル $\vec{u}$ に平行な直線の方程式
2. 1点を通り直線2に平行な直線1の方程式
3. 2点を通る直線の方程式
4. 点と直線の距離
5. 平行な2直線間の距離
6. ねじれの位置にある2直線間の距離
7. 直線の方向余弦
8. ２直線のなす角

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1. 法線ベクトルによる平面の方程式
2. 2つのベクトルで張られる平面の方程式
3. 3点を通る平面の方程式
4. 点と平面の距離
5. ヘッセの標準形
6. 2平面のなす角
7. 2平面の交角を二等分する平面

1.　直線と平面の交点の座標
2.　2平面の交線の方程式
3.　直線と点を含む平面の方程式
4.　直線1を含み直線2と平行な平面の方程式

（交わる2直線を含む平面の方程式）

5.　直線を含み平面に垂直な平面の方程式

（2点を通り平面に垂直な平面の方程式）

6.　直線と平面がなす角

1. 1点を通り方向ベクトル $\vec{u}$ に平行な直線の方程式

　右図のような直線P₁Pのことを

　「点P₁を通り，方向ベクトル $\vec{u}$ に平行な直線」という．
　「点P₁を通り，方向ベクトル $\vec{u}$ の直線」「点P₁を通り，方向ベクトル $\vec{u}$ をもつ直線」ということもある．

【空間における直線の方程式】
点 $P_1(x_1,\hspace{2}y_1,\hspace{2}z_1)$ を通り，方向ベクトル $\vec{u}=(a,\hspace{2}b,\hspace{2}c)$ に平行な直線の方程式の標準形は
$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$

【例題1】　次の直線の方程式を「ベクトル表示」「媒介変数表示」「標準形」で示してください．
　点 $A(2,\hspace{2}-3,\hspace{2}4)$ を通り，方向ベクトル $\vec{u}=(-1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ に平行な直線

（解答）
直線上の任意の点の位置ベクトルを $\vec{p}=(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)$ とするとき，ベクトル表示は
$\vec{p}=\vec{OA}+ t\vec{u}$
すなわち
$(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)=(2,\hspace{2}-3,\hspace{2}4)+ t(-1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$

（tは任意の実数）

媒介変数表示は

x=2−t
y=−3+2t　（tは任意の実数）
z=4+3t
標準形は
$\frac{x-2}{-1}=\frac{y+ 3}{2}=\frac{z-4}{3}$

【問題1.1】　
　点 $A(-1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ を通り，方向ベクトル $\vec{u}=(4,\hspace{2}5,\hspace{2}6)$ に平行な直線の方程式を標準形で求めてください．

解答を見る解答を隠す

$\frac{x+ 1}{4}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-3}{6}$ …（答）

【問題1.2】　
　点 $A(0,\hspace{2}1,\hspace{2}-2)$ を通り，方向ベクトル $\vec{u}=(2,\hspace{2}-1,\hspace{2}3)$ に平行な直線の方程式を標準形で求めてください．

解答を見る解答を隠す

$\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+ 2}{3}$ …（答）

　直線の方程式の標準形
$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$
において，方向ベクトル $\vec{u}=(a,\hspace{2}b,\hspace{2}c)$ のいずれかの成分が0であるときは，その分数の分子も0になるものと解釈する．
【例1】
　点 $A(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ を通り，方向ベクトル $\vec{u}=(4,\hspace{2}0,\hspace{2}6)$ に平行な直線の方程式の標準形を上記の公式を用いて形式的に書けば
$\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{6}$ …(1)
となるが，この式の第2辺は「分母が0になっているから，分子も0になるものを表す」．すなわち，

$\frac{x-1}{4}=\frac{z-3}{6}$ …(2)
$y=2$
　高校では(1)の形の解答は許されず，(2)の形で書かなければならないが，大学では(1)の形でも良いとしていることが多い．（0で割る形が許されるのは，0÷0の形になる場合だけということが分かっていればよい）
【例2】
　点 $A(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ を通り，方向ベクトル $\vec{u}=(4,\hspace{2}0,\hspace{2}0)$ に平行な直線の方程式の標準形を上記の公式を用いて形式的に書けば
$\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{0}$ …(1)
となるが，この式の第2辺，第3辺は「分母が0になっているから，分子も0になるものを表す」．すなわち，

$y=2$ …(2)
$z=3$
( $x$ は任意)
　高校では(1)の形の解答は許されず，(2)の形で書かなければならないが，大学では(1)の形でもよいとすることがある．

$(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)+ t(4,\hspace{2}0,\hspace{2}0)$
（tは任意の実数）
を分けて書くと

$x=1+ 4t$
$y=2+ 0\cdot t=2$
$z=3+ 0\cdot t=3$
( $t$ は任意の実数だから， $x$ は任意の実数になる)

【問題1.3】　
　点 $A(0,\hspace{2}-1,\hspace{2}2)$ を通り，方向ベクトル $\vec{u}=(3,\hspace{2}4,\hspace{2}0)$ に平行な直線の方程式を標準形で求めてください．

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分母が0の形も許して形式的に書くと
$\frac{x}{3}=\frac{y+ 1}{4}=\frac{z-2}{0}$
分母に0を使わない形で書くと
$\frac{x}{3}=\frac{y+ 1}{4},\hspace{3}z=2$ …（答）

【問題1.4】　
　点 $A(2,\hspace{2}-3,\hspace{2}4)$ を通り，方向ベクトル $\vec{u}=(0,\hspace{2}2,\hspace{2}0)$ に平行な直線の方程式を標準形で求めてください．

解答を見る解答を隠す

分母が0の形も許して形式的に書くと
$\frac{x-2}{0}=\frac{y+ 3}{2}=\frac{z-4}{0}$
分母に0を使わない形で書くと
$x=2,\hspace{3}z=4$ …（答）
（ $y$ について何も書かなければ $y$ は任意の実数ということを表すから， $y$ については何も書かなくてよい．）

2. 1点を通り直線2に平行な直線1の方程式

【例題2】
　点 $A(1,\hspace{2}-3,\hspace{2}2)$ を通り，直線 $\frac{x-2}{2}=\frac{y+ 1}{-1}=\frac{z-4}{3}$ に平行な直線の方程式を求めてください．

点 $A(1,\hspace{2}-3,\hspace{2}2)$ を通り，方向ベクトル $\vec{u}=(2,\hspace{2}-1,\hspace{2}3)$ に平行な直線の方程式を求めるとよい．
　元の直線が点 $(2,\hspace{2}-1,\hspace{2}4)$ を通るということは結果に影響しない．

（解答）
$\frac{x-1}{2}=\frac{y+ 3}{-1}=\frac{z-2}{3}$ …（答）

【問題2.1】　
　点 $P(0,\hspace{2}-1,\hspace{2}3)$ を通り，直線 $\frac{x+ 1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{-1}$ に平行な直線の方程式を求めてください．

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　点 $P(0,\hspace{2}-1,\hspace{2}3)$ を通り，方向ベクトル $\vec{u}=(2,\hspace{2}3,\hspace{2}-1)$ に平行な直線の方程式を求める
$\frac{x}{2}=\frac{y+ 1}{3}=\frac{z-3}{-1}$ …（答）

【問題2.2】　
　点 $P(4,\hspace{2}-2,\hspace{2}0)$ を通り，直線 $\frac{x-1}{2}=\frac{z+ 3}{3},\hspace{2}y=1$ に平行な直線の方程式を求めてください．

解答を見る解答を隠す

　点 $P(4,\hspace{2}-2,\hspace{2}0)$ を通り，方向ベクトル $\vec{u}=(2,\hspace{2}0,\hspace{2}3)$ に平行な直線の方程式を求める
$\frac{x-4}{2}=\frac{z}{3},\hspace{2}y=-2$ …（答）

3. 2点を通る直線の方程式

【2点を通る直線の方程式】
２点 $P_1(x_1,\hspace{2}y_1,\hspace{2}z_1),\hspace{2}P_2(x_2,\hspace{2}y_2,\hspace{2}z_2)$ を通る直線の方程式の標準形は
$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$

（解説）
点 $P_1(x_1,\hspace{2}y_1,\hspace{2}z_1)$ を通り方向ベクトル $\vec{u}=\vec{P_1P_2}=(x_2-x_1,\hspace{2}y_2-y_1,\hspace{2}z_2-z_1)$ に平行な直線と考えればよいから
$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ …(1)
（参考）
点 $P_2(x_2,\hspace{2}y_2,\hspace{2}z_2)$ を通り方向ベクトル $\vec{u}=\vec{P_1P_2}=(x_2-x_1,\hspace{2}y_2-y_1,\hspace{2}z_2-z_1)$ に平行な直線と考えれば
$\frac{x-x_2}{x_2-x_1}=\frac{y-y_2}{y_2-y_1}=\frac{z-z_2}{z_2-z_1}$ …(2)
となるが，これらは同じもの表わす．
　次の方程式も同じものを表す．
$\frac{x-x_2}{x_1-x_2}=\frac{y-y_2}{y_1-y_2}=\frac{z-z_2}{z_1-z_2}$ …(3)

(1)は

$x=x_1+ s(x_2-x_1)$
$y=y_1+ s(y_2-y_1)$
$z=z_1+ s(z_2-z_1)$
(2)は

$x=x_2+ t(x_2-x_1)$
$y=y_2+ t(y_2-y_1)$
$z=z_2+ t(z_2-z_1)$
と書けるから， $t=s-1$ とおけば対応が付く．
(3)は

$x=x_2+ u(x_1-x_2)$
$y=y_2+ u(y_1-y_2)$
$z=z_2+ u(z_1-z_2)$
と書けるから， $u=-t$ とおけば対応が付く．

(1)(2)(3)のどの書き方でもよい．

【例題3】
　２点 $P_1(-1,\hspace{2}2,\hspace{2}3),\hspace{2}P_2(4,\hspace{2}-5,\hspace{2}6)$ を通る直線の方程式を標準形で求めてください．

（解答）
$\frac{x+ 1}{4+ 1}=\frac{y-2}{-5-2}=\frac{z-3}{6-3}$
$\frac{x+ 1}{5}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z-3}{3}$ …（答）

【問題3.1】　
　２点 $P_1(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3),\hspace{2}P_2(2,\hspace{2}1,\hspace{2}0)$ を通る直線の方程式を標準形で求めてください．

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$\frac{x-1}{2-1}=\frac{y-2}{1-2}=\frac{z-3}{0-3}$
$x-1=2-y=\frac{3-z}{3}$ …（答）

【問題3.2】　
　２点 $P_1(1,\hspace{2}4,\hspace{2}3),\hspace{2}P_2(-2,\hspace{2}4,\hspace{2}5)$ を通る直線の方程式を標準形で求めてください．

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$\frac{x-1}{-2-1}=\frac{y-4}{4-4}=\frac{z-3}{5-3}$
$\frac{x-1}{-3}=\frac{y-4}{0}=\frac{z-3}{2}$ …（答）
分母に0を含まない形で書けば
$\frac{x-1}{-3}=\frac{z-3}{2},\hspace{3}y=4$ …（答）

【問題3.3】　
　２点 $P_1(1,\hspace{2}-2,\hspace{2}3),\hspace{2}P_2(4,\hspace{2}-2,\hspace{2}3)$ を通る直線の方程式を標準形で求めてください．

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$\frac{x-1}{4-1}=\frac{y+ 2}{-2+ 2}=\frac{z-3}{3-3}$
$\frac{x-1}{3}=\frac{y+ 2}{0}=\frac{z-3}{0}$ …（答）
分母に0を含まない形で書けば
$y=-2,\hspace{3}z=3$ …（答）

4. 点と直線の距離

【例題4】
　点 $P_0(1,\hspace{2}0,\hspace{2}2)$ と直線 $\frac{x-8}{4}=\frac{y+ 1}{3}=\frac{z-4}{2}$ の距離を求めてください．

（解答）

$\frac{x-8}{4}=\frac{y+ 1}{3}=\frac{z-4}{2}$ 上の点 $P(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)$ の座標は

$x=4t+ 8$
$y=3t-1$
$z=2t+ 4$
とおけるから，2点 $P_0P$ 間の距離（の２乗）は，tの2次関数で表される．
$\left|P_0P\right|^2=(4t+ 8-1)^2+(3t-1-0)^2+(2t+ 4-2)^2$
$=(4t+ 7)^2+(3t-1)^2+(2t+ 2)^2$
$=16t^2+ 56t+ 49+ 9t^2-6t+ 1+ 4t^2+ 8t+ 4$
$=29t^2+ 58t+ 54=29(t^2+ 2t)+ 54$
$=29(t+ 1)^2+ 25$
は，t=−1のとき最小値 $\left|P_0P\right|^2=25$ をとる．
$\left|P_0P\right|=5$ …（答）

（別解1）
$\vec{P_0P}\perp\vec{u}$ となる点 $P(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)$ を求める．
$\vec{u}=(4,\hspace{2}3,\hspace{2}2)$
$\vec{P_0P}=(4t+ 7,\hspace{2}3t-1,\hspace{2}2t+ 2)$
だから， $\vec{P_0P}\perp\vec{u}$ となるには
$4(4t+ 7)+ 3(3t-1)+ 2(2t+ 2)=0$
$29t+ 29=0$
$t=-1$
このとき
$\vec{P_0P}=(3,\hspace{2}-4,\hspace{2}0)$
$\|\vec{P_0P}\|=\sqrt{3^2+(-4)^2+ 0}=\sqrt{25}=5$ …（答）

（別解2）
２つのベクトルの外積 $\vec{P_1P_0}\times\vec{u}$ はそれら２つに垂直な向きのベクトルになり，その大きさはベクトル $\vec{P_1P_0},\hspace{2}\vec{u}$ でできる平行四辺形の面積に等しい．
$S=\left|\vec{P_1P_0}\times\vec{u}\right|=\left|\vec{P_1P_0}\right|\cdot\left|\vec{u}\right|\cdot\sin\theta$
また，ベクトル $\vec{P_1P_0},\hspace{2}\vec{u}$ でできる平行四辺形の面積は， $\vec{u}$ と平行四辺形の高さ $h=P_0P$ との積に等しいから
$S=\left|\vec{u}\right|\cdot h$
以上により
$h=\frac{\left|\vec{P_1P_0}\times\vec{u}\right|}{\left|\vec{u}\right|}$ （公式として覚える場合もある）
$\vec{P_1P_0}=(-7,\hspace{2}1,\hspace{2}-2)$ ， $\vec{u}=(4,\hspace{2}3,\hspace{2}2)$ だから
$\vec{P_1P_0}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\-7& 1& -2\\ 4& 3& 2\end{vmatrix}=(8,\hspace{2}6,\hspace{2}-25)$
$h=\frac{\sqrt{64+ 36+ 625}}{\sqrt{16+ 9+ 4}}=\frac{\sqrt{725}}{\sqrt{29}}=\sqrt{25}=5$

【問題4.1】　
　原点 $O(0,\hspace{2}0,\hspace{2}0)$ と直線 $\frac{x+ 1}{-2}=\frac{y}{2}=\frac{z-5}{3}$ の距離を求めてください．

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（別解2）
$O(0,\hspace{2}0,\hspace{2}0),\hspace{2}P_1(-1,\hspace{2}0,\hspace{2}5)$ ， $\vec{u}=(-2,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ について
$\vec{P_1O}=(1,\hspace{2}0,\hspace{2}-5)$ だから
$\vec{P_1O}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\1& 0& -5\\ -2& 2& 3\end{vmatrix}=(10,\hspace{2}7,\hspace{2}2)$
$h=\frac{\sqrt{100+ 49+ 4}}{\sqrt{4+ 4+ 9}}=\frac{\sqrt{153}}{\sqrt{17}}=\sqrt{9}=3$ …（答）

（別解1）
点Pの座標を

$x=-2t-1$
$y=2t$
$z=3t+ 5$
とおくと， $\vec{OP}\perp\vec{u}$ となるには
$-2(-2t-1)+ 2(2t)+ 3(3t+ 5)=0$
$17t+ 17=0$
$t=-1$
このとき， $P(1,\hspace{2}2,\hspace{2}2)$ となるから
$OP=\sqrt{1+ 4+ 4}=\sqrt{9}=3$ …（答）

（解答）
点Pの座標を

$x=-2t-1$
$y=2t$
$z=3t+ 5$
とおくと，
$\|\vec{OP}\|^2=4t^2+ 4t+ 1+ 4t^2+ 9t^2+ 30t+ 25$
$=17t^2+ 34t+ 26=17(t+ 1)^2+ 9$
は，t=−1のとき最小となる．
$\|\vec{OP}\|=3$ …（答）

【問題4.2】　
　点 $P_0(-1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ と直線 $\frac{x-1}{3}=y-4=\frac{z-6}{2}$ の距離を求めてください．

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直線上の点 $P_1(1,\hspace{2}4,\hspace{2}6)$ と $P_0(-1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ を結ぶベクトル $\vec{P_1P_0}=(-2,\hspace{2}-2,\hspace{2}-3)$ と直線の方向ベクトル $\vec{u}=(3,\hspace{2}1,\hspace{2}2)$ から
$\vec{P_1P_0}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\-2&-2&-3\\3& 1& 2\end{vmatrix}=(-1,\hspace{2}-5,\hspace{2}4)$
だから
$h=\frac{\left|\vec{P_1P_0}\times\vec{u}\right|}{\left|\vec{u}\right|}=\frac{\sqrt{1+ 25+ 16}}{\sqrt{9+ 1+ 4}}=\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{14}}$
$=\sqrt{3}$ …（答）

5. 平行な2直線間の距離

【例題5】
　平行な2直線 $x-1=\frac{y-3}{2}=\frac{z+ 1}{-2},\hspace{2}x=\frac{y}{2}=\frac{z}{-2}$ 間の距離を求めてください．

（解答）
いずれか一方の直線上の点，例えば直線

$x-1=\frac{y-3}{2}=\frac{z+ 1}{-2}$ 上の点 $P_1(1,\hspace{2}3,\hspace{2}-1)$ と他方の直線 $x=\frac{y}{2}=\frac{z}{-2}$ の間の距離を測ればよい．
$\vec{P_0P_1}=(1,\hspace{2}3,\hspace{2}-1)$ ， $\vec{u}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}-2)$ だから
$\vec{P_0P_1}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\1& 3& -1\\ 1& 2& -2\end{vmatrix}=(-4,\hspace{2}1,\hspace{2}-1)$
$h=\frac{\sqrt{16+ 1+ 1}}{\sqrt{1+ 4+ 4}}=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{9}}=\sqrt{2}$ …（答）

【問題5.1】　
　平行な2直線 $\frac{x-1}{2}=y-2=z-3,\hspace{2}\frac{x-1}{2}=y+ 1=z$ 間の距離を求めてください．

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（解答）
一方の直線 $\frac{x-1}{2}=y-2=z-3$ 上の点 $P_1(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ と他方の直線 $\frac{x-1}{2}=y+ 1=z$ の間の距離を測ればよい．
点Pの座標を

$x=2t+ 1$
$y=t-1$
$z=t$
とおくと，
$|P_1P|^2=(2t)^2+(t-3)^2+(t-3)^2$
$|P_1P|^2=6t^2-12t+ 18=6(t-1)^2+ 12$
これはt=1のとき最小値をとる．
最小値は $|P_1P|=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ …（答）

（別解）
一方の直線 $\frac{x-1}{2}=y-2=z-3$ 上の点 $P_1(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ から他方の直線 $\frac{x-1}{2}=y+ 1=z$ に垂線を引けばよい．
点Pの座標を

$x=2t+ 1$
$y=t-1$
$z=t$
とおくと，
$\vec{P_1P}=(2t,\hspace{2}t-3,\hspace{2}t-3)$ が $\vec{u}=(2,\hspace{2}1,\hspace{2}1)$ と垂直になればよいから
$2(2t)+ (t-3)+ (t-3)=0$
$6t-6=0$
$t=1$
このとき
$P(3,\hspace{2}0,\hspace{2}1)$
$|P_1P|=\sqrt{(3-1)^2+(0-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ …（答）

【問題5.2】　
　平行な2直線 $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3},\hspace{2}z=3$ と $\frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{3},\hspace{2}z=2$ 間の距離を求めてください．

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（別解2）

直線 $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3},\hspace{2}z=3$ 上の1点P₀(1, 2, 3)と
直線 $\frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{3},\hspace{2}z=2$ 上の1点P₁(3, 5, 2)に対して例題5と同様に， $\vec{P_0P_1}=(2,\hspace{2}3,\hspace{2}-1)$ と方向ベクトル $\vec{u}=(3,\hspace{2}-2,\hspace{2}0)$ の外積を用いて計算すると
$\vec{P_0P_1}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\2& 3& -1\\2& 3& 0\end{vmatrix}=(3,\hspace{2}-2,\hspace{2}0)$
$h=\frac{|\vec{P_0P_1}\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=1$
（解答）
直線 $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3},\hspace{2}z=3$ 上の1点P₀(1, 2, 3)と
直線 $\frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{3},\hspace{2}z=2$ 上の点P(x, y, z)

$x=2t+ 3$
$y=3t+ 5$
$z=2$
の間の距離は
$P_0P^2=(2t+ 2)^2+(3t+ 3)^2+ 1^2$
$=4t^2+ 8t+ 4+ 9t^2+ 18t+ 9+ 1$
$=13t^2+ 26t+ 14=13(t+ 1)^2+ 1$
はt=-1のとき最小値 $P_0P=1$ となる．これが２直線間の距離に等しい．

【問題5.3】　
平行な2直線 $\frac{x-8}{4}=\frac{y+ 1}{3}=\frac{z-4}{2}$ と $\frac{x-1}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z-2}{2}$ と間の距離を求めてください．

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（別解2）

直線 $\frac{x-8}{4}=\frac{y+ 1}{3}=\frac{z-4}{2}$ 上の1点P₀(8, −1, 4)と
直線 $\frac{x-1}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z-2}{2}$ 上の1点P₁(1, 0, 2)に対して例題5と同様に， $\vec{P_0P_1}=(-7,\hspace{2}1,\hspace{2}-2)$ と方向ベクトル $\vec{u}=(4,\hspace{2}3,\hspace{2}2)$ の外積を用いて計算すると
$\vec{P_0P_1}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\-7& 1& -2\\4& 3& 2\end{vmatrix}=(8,\hspace{2}6,\hspace{2}-25)$
$h=\frac{|\vec{P_0P_1}\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}=\frac{\sqrt{725}}{\sqrt{29}}=5$
（解答）

直線 $\frac{x-8}{4}=\frac{y+ 1}{3}=\frac{z-4}{2}$ 上の1点P₀(8, −1, 4)と
直線 $\frac{x-1}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z-2}{2}$ 上の点P(x, y, z)

$x=4t+ 1$
$y=3t$
$z=2t+ 2$
の間の距離は
$P_0P^2=(4t-7)^2+(3t+ 1)^2+ (2t-2)^2$
$=16t^2-56t+ 49+ 9t^2+ 6t+ 1+ 4t^2-8t+ 4$
$=29t^2-58t+ 54=29(t-1)^2+ 25$
はt=1のとき最小値 $P_0P=5$ となる．これが２直線間の距離に等しい．

6. ねじれの位置にある2直線間の距離

【例題6】

　点 $P_1(\vec{x_1})$ を通り，方向ベクトル $\vec{l_1}$ に平行な直線 $g_1$ と点 $P_2(\vec{x_2})$ を通り，方向ベクトル $\vec{l_2}$ に平行な直線 $g_2$ が「ねじれの位置」にあるとき，これら２直線の共通垂線の長さは
$d=\frac{\left|(\vec{x_2}-\vec{x_1})\cdot(\vec{l_1}\times\vec{l_2})\right|}{\left|\vec{l_1}\times\vec{l_2}\right|}$
で求められる．

（解説）
　２つのベクトル $\vec{l_1},\hspace{2}\vec{l_2}$ の外積 $\vec{n}=\vec{l_1}\times\vec{l_2}$ は $\vec{l_1},\hspace{2}\vec{l_2}$ に垂直だから，ベクトル $\vec{P_1P_2}=\vec{x_2}-\vec{x_1}$ を平行6面体に沿って３つの成分に分けると
$\vec{x_2}-\vec{x_1}=p\vec{l_1}+ q\vec{l_2}+ r\vec{n}$
の形に書ける．ここで， $\vec{n}$ は $\vec{l_1},\hspace{2}\vec{l_2}$ に垂直だから
$(\vec{x_2}-\vec{x_1})\cdot\vec{n}=r\vec{n}\cdot\vec{n}=r\left|\vec{n}\right|^2$
　求める共通垂線の長さは $\left|r\vec{n}\right|$ だから
$d=\frac{\left|(\vec{x_2}-\vec{x_1})\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|}=\frac{\left|(\vec{x_2}-\vec{x_1})\cdot(\vec{l_1}\times\vec{l_2})\right|}{\left|\vec{l_1}\times\vec{l_2}\right|}$

【問題6.1】
　ねじれの位置にある2直線 $\frac{x-5}{2}=y-4=z-2$ と $\frac{x+ 1}{-5}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-3}{-4}$ との距離を求めてください．

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（解答）
2直線の方向ベクトルは各々 $\vec{l_1}=(2,\hspace{2}1,\hspace{2}1),\hspace{2}\vec{l_2}=(-5,\hspace{2}2,\hspace{2}-4)$
$\vec{l_1}\times\vec{l_2}=(-6,\hspace{2}3,\hspace{2}9)$
直線上の2点 $P_1(5,\hspace{2}4,\hspace{2}2),\hspace{2}P_2(-1,\hspace{2}3,\hspace{2}3)$ を結ぶベクトルは $\vec{P_1P_2}=(-6,\hspace{2}-1,\hspace{2}1)$
$d=\frac{\left|\vec{P_1P_2}\cdot(\vec{l_1}\times\vec{l_2})\right|}{\left|\vec{l_1}\times\vec{l_2}\right|}=\frac{|36-3+ 9|}{\sqrt{36+ 9+ 81}}=\frac{42}{\sqrt{126}}$
$=\frac{42}{3\sqrt{14}}=\sqrt{14}$

（別解）

直線 $\frac{x-5}{2}=y-4=z-2$ 上の点 $P$ を

$x_1=2s+ 5$
$y_1=s+ 4$
$z_1=s+ 2$

直線 $\frac{x+ 1}{-5}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-3}{-4}$ 上の点 $Q$ を

$x_2=-5t-1$
$y_2=2t+ 3$
$z_2=-4t+ 3$
とすると
$\vec{PQ}=(-5t-2s-6,\hspace{2}2t-s-1,\hspace{2}-4t-s+ 1)$
ここで $\vec{PQ}\perp\vec{l_1},\hspace{2}\vec{PQ}\perp\vec{l_2}$ となる $s,\hspace{2}t$ を求める
$\vec{PQ}\perp\vec{l_1}$ より
$2(-5t-2s-6)+(2t-s-1)+(-4t-s+ 1)=0$
$-12t-6s-12=0$
$-2t-s-2=0$ …(1)
$\vec{PQ}\perp\vec{l_2}$ より
$-5(-5t-2s-6)+ 2(2t-s-1)-4(-4t-s+ 1)=0$
$45t+ 12s+ 24=0$
$15t+ 4s+ 8=0$ …(2)
(1)(2)より $s=-2,\hspace{2}t=0$
このとき， $P(1,\hspace{2}2,\hspace{2}0),\hspace{2}Q(-1,\hspace{2}3,\hspace{2}3)$ より $PQ=\sqrt{4+ 1+ 9}=\sqrt{14}$

【問題6.2】
ねじれの位置にある2直線 $\frac{x}{3}=\frac{y-9}{-1}=z-2$ と $\frac{x+ 3}{-3}=\frac{y+ 7}{2}=\frac{z-6}{4}$ との距離を求めてください．

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（解答）
2直線の方向ベクトルは各々 $\vec{l_1}=(3,\hspace{2}-1,\hspace{2}1),\hspace{2}\vec{l_2}=(-3,\hspace{2}2,\hspace{2}4)$
$\vec{l_1}\times\vec{l_2}=(-6,\hspace{2}-15,\hspace{2}3)$
直線上の2点 $P_1(0,\hspace{2}9,\hspace{2}2),\hspace{2}P_2(-3,\hspace{2}-7,\hspace{2}6)$ を結ぶベクトルは $\vec{P_1P_2}=(-3,\hspace{2}-16,\hspace{2}4)$
$d=\frac{\left|\vec{P_1P_2}\cdot(\vec{l_1}\times\vec{l_2})\right|}{\left|\vec{l_1}\times\vec{l_2}\right|}=\frac{|18+ 240+ 12|}{\sqrt{36+ 225+ 9}}=\frac{270}{\sqrt{270}}$
$=\sqrt{270}=3\sqrt{30}$
（別解）

直線 $\frac{x}{3}=\frac{y-9}{-1}=z-2$ 上の点 $P$ を

$x_1=3s$
$y_1=-s+ 9$
$z_1=s+ 2$

直線 $\frac{x+ 3}{-3}=\frac{y+ 7}{2}=\frac{z-6}{4}$ 上の点 $Q$ を

$x_2=-3t-3$
$y_2=2t-7$
$z_2=4t+ 6$
とすると
$\vec{PQ}=(-3t-3s-3,\hspace{2}2t+ s-16,\hspace{2}4t-s+ 4)$
ここで $\vec{PQ}\perp\vec{l_1},\hspace{2}\vec{PQ}\perp\vec{l_2}$ となる $s,\hspace{2}t$ を求める
$\vec{PQ}\perp\vec{l_1}$ より
$3(-3t-3s-3)-(2t+ s-16)+(4t-s+ 4)=0$
$-7t-11s+ 11=0$ …(1)
$\vec{PQ}\perp\vec{l_2}$ より
$-3(-3t-3s-3)+ 2(2t+ s-16)+ 4(4t-s+ 4)=0$
$29t+ 7s-7=0$ …(2)
(1)(2)より $s=1,\hspace{2}t=0$
このとき， $P(3,\hspace{2}8,\hspace{2}3),\hspace{2}Q(-3,\hspace{2}-7,\hspace{2}6)$ より $PQ=\sqrt{36+ 225+ 9}=\sqrt{270}=3\sqrt{30}$

7. 直線の方向余弦

　直線の方向ベクトルを単位ベクトル（大きさが１）で定めたときその成分を方向余弦という．

　右図のように直線とx,y,z軸の正の向きがなす角を各々α, β, γとするとき，方向余弦はcosα, cosβ, cosγに等しい．
（備考）
(1) 方向ベクトルをその大きさで割ると単位ベクトルになるが，向きとしては，ある向きとその逆向きの2通りが考えられる．だから，単に「方向余弦を求めよ」と問われた場合には，複号で答えることになる．
(2) 単位ベクトルの成分を並べたものを方向余弦と呼ぶことが多い．単位ベクトルの成分表示そのものではない．

【例】

直線 $\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-2}=z-3$ の方向余弦を求めよ．

（解答）
　直線の方向ベクトルは $\vec{u}=(2,\hspace{2}-2,\hspace{2}1)$ だから
$\left|\vec{u}\right|=\sqrt{2^2+ (-2)^2+ 1^2}=3$

　方向余弦は $\frac{2}{3},\hspace{2}-\frac{2}{3},\hspace{2}\frac{1}{3}$ および $-\frac{2}{3},\hspace{2}\frac{2}{3},\hspace{2}-\frac{1}{3}$
$\pm\frac{2}{3},\hspace{2}\mp\frac{2}{3},\hspace{2}\pm\frac{1}{3}$ （複号同順）…（答）
　まれに， $\pm(\frac{2}{3},\hspace{2}-\frac{2}{3},\hspace{2}\frac{1}{3})$ （複号同順）の形の単位ベクトルを方向余弦とする書物もあるが，通常は，単位ベクトルの成分を並べただけのものを方向余弦とする．

【例題7】
　次の直線の方向余弦を求めてください．
$\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-4}{6}$

（解答）
　直線の方向ベクトルは $\vec{u}=(2,\hspace{2}-3,\hspace{2}6)$ だから
$\left|\vec{u}\right|=\sqrt{2^2+ (-3)^2+ 6^2}=\sqrt{49}=7$

$\pm\frac{2}{7},\hspace{2}\mp\frac{3}{7},\hspace{2}\pm\frac{6}{7}$ （複号同順）…（答）

【問題7.1】
　次の直線の方向余弦を求めてください．
$\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z+ 1}{12}$

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（解答）
　直線の方向ベクトルは $\vec{u}=(-3,\hspace{2}4,\hspace{2}12)$ だから
$\left|\vec{u}\right|=\sqrt{(-3)^2+ 4^2+ 12^2}=\sqrt{169}=13$

$\mp\frac{3}{13},\hspace{2}\pm\frac{4}{13},\hspace{2}\pm\frac{12}{13}$ （複号同順）…（答）

8. ２直線のなす角

　2直線のなす角は，2直線の方向ベクトルのなす角で定義される．ねじれの位置にある場合でも2直線のなす角を考えます．

【例題8】
(1) 次の２直線のなす角を求めてください．
$x-2=\frac{y-3}{2}=\frac{z+ 1}{3}$
$1-x=\frac{y+ 2}{2}=\frac{z+ 3}{-1}$
(2) 次の2直線のなす角をθとするとき，cosθの値を求めてください．
$x-2=\frac{y-1}{2}=\frac{z+ 3}{-2}$
$\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{5}=\frac{z}{4}$

（解答）
(1)　2直線の方向ベクトルを $\vec{u},\hspace{2}\vec{v}$ ，それらがなす角を $\theta$ とおくと
$\vec{u}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$
$\vec{v}=(-1,\hspace{2}2,\hspace{2}-1)$
$\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}=\frac{-1+ 4-3}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}=0$
$\theta=\frac{\pi}{2}$ …（答）
(2) 　2直線の方向ベクトルを $\vec{u},\hspace{2}\vec{v}$ ，それらがなす角を $\theta$ とおくと
$\vec{u}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}-2)$
$\vec{v}=(3,\hspace{2}5,\hspace{2}4)$
$\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}=\frac{3+ 10-8}{3\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{1}{3\sqrt{2}}$ …（答）

【問題8.1】
(1) 次の２直線のなす角を求めてください．
$\frac{x+ 3}{-1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+ 1}{2}$
$\frac{x-2}{3}=\frac{y+ 1}{4}=\frac{z+ 3}{5}$
(2) 次の2直線のなす角をθとするとき，cosθの値を求めてください．
$x-2=\frac{y-1}{2}=\frac{z+ 3}{2}$
$\frac{x-2}{-2}=y=\frac{z}{2}$

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（解答）
(1)　2直線の方向ベクトルを $\vec{u},\hspace{2}\vec{v}$ ，それらがなす角を $\theta$ とおくと
$\vec{u}=(-1,\hspace{2}2,\hspace{2}2)$
$\vec{v}=(3,\hspace{2}4,\hspace{2}5)$
$\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}=\frac{-3+ 8+ 10}{3\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{15}{15\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta=\frac{\pi}{4}$ …（答）
(2)　2直線の方向ベクトルを $\vec{u},\hspace{2}\vec{v}$ ，それらがなす角を $\theta$ とおくと
$\vec{u}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}2)$
$\vec{v}=(-2,\hspace{2}1,\hspace{2}2)$
$\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}=\frac{-2+ 2+ 4}{3\cdot 3}=\frac{4}{9}$ …（答）

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