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■解説■
○ 高校数学Iで登場する「三角比の相互関係」とは、次の2つの公式のことです。
sin2A+cos2A=1 …(1)
tanA = …(2)

 三角比sinA , cosA , tanAのうち1つ分かれば、残りはこれらの公式を使って「芋づる式に」求まります。
○ 例えば、sinAが分かれば(1)を使ってcosAが求まり、さらに(2)を使ってtanAが求まります。

 しかし、例えばtanA = のように、三角比のうちでtanAだけが与えられて残りのsinA , cosAを求めるときは要注意です。
 (2)からsinA=3 , cosA=4などと間違う生徒が多いからです。(−1sinA , cosA1を満たしていないものは、三角比になりません。ここでは、比だけが与えられている場合には、
.、 、 … 
などの可能性も考えなければなりません。
正しいのは、またはになります.)

 このように、tanAcosA(またはsinA)の関係式が必要なときは、(1)の両辺をcos2A(またはsin2A)で割って次の公式(3)(4)を「その場で作ればよい」。(「公式」を覚えるのでなく、必要になったときに作るようにします・・・「公式がある」ということだけを覚えておく…覚えなければならない公式の数を減らして、公式間の関連をつかむようにする

tan2A+1 = …(3)
1+ = …(4)

(1)の証明:
x2+y2=r2の両辺をr2で割ると
( )2+( )2=1
ここで、=cosA , =sinAだから
(1)が得られる。

(2)の証明:
tanA = , sinA = , cosA = だから
= = · = = tanA

(3)の証明:
sin2A+cos2A=1の両辺をcos2Aで割ると
+1=
ここで(2)を用いて左辺を変形すると
tan2A+1 =

(4)の証明:
(3)と同様にして両辺をsin2Aで割ります。
このとき、
tanA=  → =
=
に注意します。
《問題》 次のア〜コに等しい式を右の欄から選んで記号(数字)で答えなさい.
ア (sinA+cosA)2
イ (sinA−cosA)2
 
ウ 
cosA
 
cosA


1−sinA
 
1+sinA
 
エ 
cosA
 
1−sinA


1−sinA
 
cosA
 
オ sin3A+cos3
カ tanAcosA
キ 
 
 
cosA
sinA

 
 
tanA
 
ク 
cosA
 
 

tanA
1−sinA
 
 
 
ケ 
 
 
tanA

 
 
tanA
 
コ tan2A−sin2
 
1 sinA

2 cosA


  
4 
  
5 
 

  

  1+2sinAcosA


  1-2sinAcosA


  

10
  tan2A sin2A

11
  

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■[個別の頁からの質問に対する回答][三角比の相互関係について/17.1.31]
公式2の証明、仮定の部分でsinA=y/xになっていますが、y/rの間違いではないでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.入力ミスですので訂正しました.