増減表１

増減表の作り方

■解説

＜元になる考え方＞
y ' は接線の傾きを表わすので，y ' の符号の変化を見れば，増加・減少が分かる．
y '>0 のところでは，グラフは増加となる．
y '<0 のところでは，グラフは減少となる．

例１
　y=x² - 2x　の増減表を求めるには：
■微分して y ' を求める ■
　y '=2x - 2=2（x - 1）　となる

■ y '=0　となる x の値を求める ■
　y '=0　となる x の値は 2（x - 1）=0　より x=1

■ y ' の符号を求める ■
　 x<1　のとき，例えば　x=0　のとき　y '= - 2　だから
　y ' の符号は - になる．
　 x>1　のとき，例えば　x=2　のとき　y '=2　だから
　y ' の符号は+になる．

■ 増減を矢印で表わす ■
y ' の符号が - のときは，y は減少．これを記号

で表わす． y ' の符号が+のときは，y は増加．これを記号

で表わす．

■ 極値を求める ■
　増加から減少に変化する場所を「極大」といい，そのときの y の値を「極大値」という．
　減少から増加に変化する場所を「極小」といい，そのときの y の値を「極小値」という．
　極大値と極小値をまとめて極値という．
　極値を表に書き込む．
　この問題では，x=1 のとき，極小値 y= - 1 となる．

　以上の結果を表にすると，次のようになる．このような表を増減表という．

x	x<1	1	1<x
y '	-	0	+
y		- 1

　x の値は，左に小さな値，右に大きな値があるものとする（数直線と同様）ので，この表の1行目は次のように省略してよい．

x		1
y '	-	0	+
y		- 1

例2
　 y= - 2x2+3x の増減表を求めるには：

■微分する ■
　y '=x² - 4x+3
■ y '=0 を解く ■
　y '=0 ⇔ x² - 4x+3=0 ⇔ (x - 1)(x - 3)=0 ⇔ x=1，3
■ y ' の符号を求める ■
x<1　のとき，例えば　x=0　のとき　y '=3　だから　y ' の符号は +
1<x<3　のとき，例えば　x=2　のとき　y '= - 1　だから，　y ' の符号は -
3<x　のとき，例えば　x=4　のとき　y '=3　だから　y ' の符号は+
■ 極値を求める ■
x=1 のとき， y=

x=3 のとき， y=0

x		1		3
y '	+	0	-	0	+
y				0

■■　増減表の作り方（要点）　■■

(1)　y ' を求める．
(2)　y '=0　となる x の値を求める．==>x の方程式を解く．
(3)　y '=0　となる x の値を区切り目として表を書く．

上の行は x の値、次の行は y ' の符号、一番下の行は y の値を表すものとして，表は上から下へ，左から右へ見ていく．

(4)　y ' の符号は，その区間にある x の一つの値を代入して判断する．
(5)　y ' が+ならば y は増加（

），y ' が - ならば y は減少(

)

■問題１　次の各関数について，増減表を完成しなさい．
　（左から空欄を一つ選択し，続いて右からその欄に入るものを選択しなさい．正しければ確定し，間違っていれば元に戻ります．）

(1)
　y=x³ - 3x²
　y '=3x² - 6x=3x(x - 2)　

x
y '
y

(2)
　y= - x³+3x
　y '= - 3x²+3= - 3(x+1)(x - 1)　

x
y '
y

(3)
　y= x² - 4x
　y '=2x - 4= 2(x - 2)　

x
y '
y

■解説

（備考）
平成11年告示の高等学校学習指導要領では，数学II で扱う微分は３次関数までとなっていますが，以下の解説においては，数学III や高校卒業後の数学も視野に入れて，この制限を外しています．

■y '=0 が虚数解をもつ場合
　右の例1のように，y '=0 が虚数解を持つときは，その虚数解はy '　の符号の変わり目とはならないので，y '=0 の実数解から増減表を作ればよい．

例1
y '=(x²+1)(x - 1) のとき，y '=0 の実数解はx=1 ，他の２つの解は虚数
　このとき，因数 x²+1 の符号はつねに正で，y ' の符号に影響していない．
　したがって，y ' の符号は
　　y '=2(x - 1)
　　y '=3(x - 1)
などと全く同じになる．
（これらと元の関数を比較すると，y ' の値は少し異なるが，符号は全く同じ．増減表においては，y ' の値には興味がなく，正，負，0 の符号のみに興味があるから，x²+1 を無視して増減表を作ることができる．）
○　増減表は次のようになる．
y=···
y '=(x²+1)(x - 1)

x		1
y '	-	0	+
y

■y '=0 が重解，3重解をもつ場合

　右の例２のように，y '=0 が（2）重解をもつ点においては，接線の傾きは一度 0 になるが，増減は変化しない．
（y ' の符号は２回変わる=変化しない）

　右の例３のように，y '=0 が3重解をもつ点においては，接線の傾きは一度 0 になり，増減は変化する．
（y ' の符号は3回変わる=1回変る）

※　例２のような場合，y '=0 が重解をもつ点は，極値とならない．

　y ' の符号が，　　+　→　0　→　+
　y ' の符号が，　　-　→　0　→　-

は，崖に道路の図･･･極値でない．

例2
y '=(x - 1)(x - 2)² のとき，y '=0 の実数解はx=1，x=2(重解)
となるが，
○　x=2 では y '=0 となるが，x=2 の前後で符号は変化していない．
　符号が2回変化すると考えてもよい．
　(x - 2)² は，２乗だから，つねに　≧0　と考えてもよい．

　ただし，x=2 では y '=0 となるので，接線の傾きは一度 0 になる．
○　増減表は次のようになる．
y=···
y '=(x - 1)(x - 2)²

x		1		2
y '	-	0	+	0	+
y

例3
y '=(x - 1)(x - 2)³ のとき，y '=0 の実数解はx=1，x=2(3重解)
となるが，
○　x=2 では y '=0 となって，x=2 の前後で符号は変化する．
　符号が3回変化する（1回と同じ）と考えてもよい．

　ただし，x=2 では y '=0 となるので，接線の傾きは一度 0 になる．
○　増減表は次のようになる．
y=···
y '=(x - 1)(x - 2)³

x		1		2
y '	+	0	-	0	+
y

■問題２　次の各関数について，増減表を完成しなさい．
　（左から空欄を一つ選択し，続いて右からその欄に入るものを選択しなさい．正しければ確定し，間違っていれば元に戻ります．）

(1)
　y=x⁴+2x²
　y '=4x³+4x=4x(x²+1)　

x
y '
y

(2)
　y= - (x+1)³
　y '= - 3(x+1)²

x
y '
y

(3)
　y=3x⁴ - 4x³
　y '=12x³ - 12x²=12x²(x - 1)　

x
y '
y

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