== 増減，極値,凹凸，漸近線，グラフ ==

♪～指数関数～♠

　次の関数の増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線を調べ，グラフを描いてください

【問題】
$y=e^{-x^2}$

（解答）
$y\apos=-2xe^{-x^2}$
$y\apos=0$ ⇔ $x=0$
$y\apos\apos=-2e^{-x^2}-2x(-2x)e^{-x^2}=e^{-x^2}(4x^2-2)$

$y\apos\apos=0$ ⇔ $x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

x	−∞←	…	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	…	0	…	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	…	→∞
y’		+	+	+	0	−	−	−
y”		+	0	−	−	−	0	+
y	0←		$\frac{1}{\sqrt{e}}$		1		$\frac{1}{\sqrt{e}}$		→0

［記号]

:増加で下に凸，

:増加で上に凸

:減少で下に凸，

:減少で上に凸

• x=0のとき，極大値1
• 変曲点の座標 $\big(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\hspace{3}\frac{1}{\sqrt{e}}\big)$
• 漸近線の方程式 y=0
　（ $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=0$ )

極大値	極小値	変曲点	横向き漸近線	縦向き漸近線	斜め漸近線
有り●	なし	有り●	有り---	なし	なし

グラフは，次の図のようになる
（y軸に関して対称）

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{e}}$

♪～指数関数&多項式～♠

　次の関数の増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線を調べ，グラフを描いてください

【問題】
$y=x^2e^{-x}$

（解答）
$y\apos=2xe^{-x}+x^2\times(-e^{-x})=-x(x-2)e^{-x}$
$y\apos=0$ ⇔ $x=0,\hspace{3}2$
$y\apos\apos=2e^{-x}+ 2x\times(-e^{-x})+ 2x\times(-e^{-x})+ x^2e^{-x}$
$=(x^2-4x+ 2)e^{-x}$

$y\apos\apos=0$ ⇔ $x=2\pm\sqrt{2}$

x	−∞←	…	0	…	$2-\sqrt{2}$	…	2	…	$2+\sqrt{2}$	…	→∞
y’		−	0	+	+	+	0	−	−	−
y”		+	+	+	0	−	−	−	0	+
y	∞←		0		0.191		$\frac{4}{e^2}$		0.384		→0

［記号]

:増加で下に凸，

:増加で上に凸

:減少で下に凸，

:減少で上に凸

• x=2のとき，極大値 $\frac{4}{e^2}$ ≒0.541
• x=0のとき，極小値0
• 変曲点の座標 $\big(2-\sqrt{2},\hspace{3}(6-4\sqrt{2})e^{-2+\sqrt{2}}\big)$
≒(0.586, 0.191)
$\big(2+\sqrt{2},\hspace{3}(6+4\sqrt{2})e^{-2-\sqrt{2}}\big)$
≒(3.141, 0.384)
• 漸近線の方程式 y=0
　（ $\lim_{x\rightarrow\infty}y=0$ )

　 $e^x$ は，有限次のどのような多項式よりも速く発散することは，数Ⅲの授業を受けているときに覚えておきます．
　すなわち，任意の正の整数nについて，次の２つの式が成り立つことは，試験会場に来てから迷うのではなく，あらかじめ覚えておくようにしましょう．
• $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{x^n}=\infty$
• $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^n}{e^x}=0$

極大値	極小値	変曲点	横向き漸近線	縦向き漸近線	斜め漸近線
有り●	有り●	有り●	有り---	なし	なし

グラフは，次の図のようになる

$2+\sqrt{2}$ $2-\sqrt{2}$ $0.384$ $0.191$ $\frac{4}{e^2}$

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