■センター試験問題 三角関数・指数関数・対数関数
【センター試験 2006年度:数学II・B(本試験) 第1問】
[1] 0°≦θ<180°の範囲で関数f(θ)=3cos2θ+4sinθを考える.

sinθ=tとおけば

cos2θ= t

であるから,y=f(θ)とおくと

y=− t + t +

である.したがって,yの最大値はであり,最小値はである.
 また,a0°<α<90°を満たす角度でf(α)=3のとき

sin(α+30°)=

である.
≪次の解答欄から各々選んでください.≫



± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

[2] 不等式
2log3 x−4logx 27≦5 ……(*)
が成り立つようなxの値の範囲を求めよう.

(1) 不等式(*)において,xは対数の底であるから
x> かつ x≠
を満たさなければならない.また
logx 27=
である.

(2) 不等式(*)は
 <x<のとき
(log3 x)2log3 x−テト≧0
 x>のとき
(log3 x)2log3 x−テト≦0
と変形できる.したがって,求めるxの値の範囲は
<x≦, <x≦ヌネ
である.


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


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± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


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± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2007年度:数学II・B(本試験) 第1問】
[1] 不等式
sin 2x>cos(x+)+
を満たすxの範囲を求めよう.ただし,0≦x<2πとする.
a=sin x, b=cos xとおくと,与えられた不等式は
ab+a−b−1>0
となる.左辺の因数分解を利用してxの範囲を求めると
<x<πまたはπ<x<π
である.
≪次の解答欄から各々選んでください.≫



± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


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± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

[2] 不等式
2+log3<log y81+2 log y(1−)
の表す領域を求めよう.
 yは対数の底であるからy>, y≠である.真数は正であるからx<である.ただし,対数logabに対し,aを底といい,bを真数という.
 また
log3=, logy81=
であるから,与えられた不等式は
1<+
となる.よって
y>のとき,log3y<log3{ (1−)}
<y<のとき,log3y>log3{ (1−)}
となる.
 求める領域を図示すると,次の図のの影をつけた部分となる.ただし,境界(境界線)は含まない.に当てはまるものを,次の03のうちから一つ選べ.
01
23

± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


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± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2008年度:数学II・B(本試験) 第1問】
[1] 実数x, y
31+log10x−5y=1 ……(*)
を満たしている.このとき
K=+3−log10x
の最小値を求めよう.
 真数の条件によりx>である.ただし,対数logabに対し,aを底といい,bを真数という.次に,(*)により
5y=·3log10x−1
である.z=3log10xとおくと,5y>0であるから,zのとり得る値の範囲は
z>
となる.さらに
K=z+
となるから,Kz=のとき,最小値をとる.このと
き,x= , y=logである.

≪次の解答欄から各々選んでください.≫



± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

[2] aを正の定数とする.点Oを原点とする座標平面において,中心がOで,半径が1の円と半径が2の円をそれぞれC1 , C2とする.θ≧0を満たす実数θに対して,角の動径
C1との交点をPとし,角の動径とC2との交点をQ
する.ここで,動径はOを中心とし,その始線はx軸の正の部分とする.

(1) θ=πのとき,Qの座標は( , )である.

(2) 3点O, P, Qがこの順に一直線上にあるような最小のθの値は
π
である.θ
0≦θ≦π
の範囲を動くとき,円C2において点Qの軌跡を弧とする(おうぎ)形の面積は
π
である.
(3) 線分PQの長さの2乗PQ2
sin(θ)
である.

(4) xの関数f(x)
f(x)=sin(x)
とおき,f(x)の正の周期のうち最小のものがであるとすると,
a=である.


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


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± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


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【センター試験 2009年度:数学II・B(本試験) 第1問】
[1] x≧2, y≧2, 8≦xy≦16のとき,z=log2+log2 yの最大値を求めよう.
  s=log2x , t=log2 yとおくと,s, t, s+tのとり得る値の範囲はそれぞれ
s≧ , t≧ , ≦s+t≦
となる.また
z= s+t
が成り立つから,zs= , t=のとき最大値をとる.
したがって,zx= , y=のとき最大値をとる.

≪次の解答欄から各々選んでください.≫



± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

[2] 0≦θ<2πの範囲で
5 sin θ−3 cos 2θ=3 ……(*)
を満たすθについて考えよう.
 方程式(*)をsin θを用いて表すと
sin2θ+5 sinθ−=0
となる.したがって,−1≦sin θ≦1より
sinθ=
であり,0≦θ<2πの範囲での範囲でこの等式を満たすθのうち,小さい方をθ1,大きい方をθ2とすると
cosθ1= , cosθ2=
である.
 θ1について不等式が成り立つ.に当てはまるものを,次の05のうちから一つ選べ.
0 0<θ1< 1 1< 2 1<
3 1< 4 1< 5 1<
ただし,必要ならば,次の値
cos= , cos=
を用いてもよい.
 さらに,不等式12を満たす自然数nのうち最小のものはである.


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


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± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


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± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

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