内分点・外分点 2

【解説】 内分点の座標

 線分A(a),B(b)をm:nに内分する点Pの座標は

   
na+mb

   
m+n
   


【解説】
 まず,原点から点Aまで進みます.
(+a)
 次に,AからPへ進みます.
  このとき,AB=b−a だから
 
 
 
AP

(b−a)
 
 
m+n
 
 ゆえに
 
 
(+a)+

(b−a)
 
m+n
 
 
(m+n)a+m(b−a)

 
m+n
 
ma+na+mb−ma

 
m+n
 
na+mb

 
m+n
        (終)
【別の解説】
 Pの座標をxとおくと
AP:PB=(x−a):(b−x)
となる.

 これがm:nに等しいのだから
(−a):(b−)=m:n

 この式を,未知数xの方程式として解く
m(b−)=n(−a)
mb−m=n−na
(−m−n)=−na−mb
(m+n)=na+mb
 これより
 

   
na+mb

   
m+n
(終)

 

【例】

線分ABを4:3に内分する点P

 

   
3a+4b

   
4+3
   
3a+4b
 

   
線分ABを1:2に内分する点Q

 

   
2a+b

   
1+2
   
2a+b
 

   


《問題》 以下の問題において,分母の空欄が2つあるところは,公式の順に数値を入れるものとします.(タブキーで空欄の移動ができます.)
 
(1)
 2点A(3),B(7)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点Pの座標pは
×3+×7


(2)
 2点A(-2),B(5)を結ぶ線分ABを1:3に内分する点Qの座標qは
(ただし、負の分数の符号は分子に付けるものとします)
×(-2)+×5
q


(3) 1:1に内分する点を「中点」といいます.

 2点A(5),B(−3)を結ぶ線分ABの中点Mの座標mは

×5+×(−3)

 
 


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