■閉曲線で囲まれた図形の面積2…(媒介変数表示)携帯版
【例1】
 x=t2−1 , y=−t2+2t+3x軸とで囲まれた図形の面積を求めてください.
(解答)
[曲線の概形を描く]
(1) tの変化に対応したxの増減を調べる.
=2t
t
0
0 +
x −1
(2) tの変化に対応したyの増減を調べる.
=−2t+2=−2(t−1)
t
1
+ 0
y 4
(3) x軸との交点を調べる.
y=−(t+1)(t−3)=0 → t=−1, 3 → x=0, 8
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる.
t −1
0
1
3
(x,y) (0,0)
(−1,3)
(0,4)
(8,0)
向き

次のような図形になります.
y dxの形で面積を表す]
青で示した部分の面積は
.y1 dx
ピンクで示した部分の面積は
.y2 dx
求める図形の面積は
.S=y1 dx−y2 dx
続く→
→続き
[ 置換積分により変数をtに直して計算する]
.S=y1 dx−y2 dx
.=(−t2+2t+3)2t dt−(−t2+2t+3)2t dt
.S=(−t2+2t+3)2t dt+(−t2+2t+3)2t dt
.=(−t2+2t+3)2t dt+(−t2+2t+3)2t dt
.=(−t2+2t+3)2t dt …(*)
.=2(−t3+2t2+3t)dt
.=2+t3+t2=……=
≪(*)の式でt=0 (x=−1)の区切りを省略してしまったら,
面積が引き算になる話はどうなってしまうのか??≫

(−t2+2t+3)2t dtでピンクの図形の面積を表します
だから
(−t2+2t+3)2t dt=−(−t2+2t+3)2t dt
が面積の引き算を表すようになるのです.
【例2】
 x=10−t2 , y=−t2+2t+8x軸とで囲まれた図形の面積を求めてください.
(解答)
[曲線の概形を描く]
(1) tの変化に対応したxの増減を調べる.
=−2t
t
0
+ 0
x 10
(2) tの変化に対応したyの増減を調べる.
=−2t+2=−2(t−1)
t
1
+ 0
y 9
(3) x軸との交点を調べる.
y=−(t+2)(t−4)=0 → t=−2, 4 → x=6, −6
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる.
t −2
0
1
4
(x,y) (6,0)
(10,8)
(9,9)
(−6,0)
向き

次のような図形になります.
y dxの形で面積を表す]
青で示した部分(右端は縦線)の面積は
.y1 dx
ピンクで示した部分の面積は
.y2 dx
求める図形の面積は
.S=y1 dx−y2 dx
続く→
→続き
[ 置換積分により変数をtに直して計算する]
S=y1 dx−y2 dx
=(−t2+2t+8)(−2t)dt−(−t2+2t+8)(−2t)dt
=(−t2+2t+8)(−2t)dt …(*)
=2(−t2+2t+8)tdt
=2(−t3+2t2+8t)dt
=2+t3+4t2=……=72
≪繰り返しになるが(*)の式でt=0 (x=10)の区切りを省略してしまったら,面積が引き算になる話はどうなってしまうのか??≫
(−t2+2t+8)(−2t)dt
でピンクの図形の面積を表すので
+(−t2+2t+8)(−2t)dt
が面積の引き算を表すようになるのです.
【例3】
 x=t2−2t−3 , y=t2−4tx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください.
(解答)
[曲線の概形を描く]
(1) tの変化に対応したxの増減を調べる.
=2(t−1)
t
1
0 +
x −4
(2) tの変化に対応したyの増減を調べる.
=2t−4=2(t−2)
t
2
0 +
y −4
(3) x軸との交点を調べる.
y=t(t−4)=0 → t=0, 4 → x=−3, 5
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる.
t 0
1
2
4
(x,y) (−3,0)
(−4,−3)
(−3,−4)
(5,0)
向き

次のような図形になります.
x軸よりも下にあるので,面積は(−y)dxの形で計算します.
y dxの形で面積を表す]
青で示した部分(左端は縦線)の面積は
.(−y1 )dx
ピンクで示した部分の面積は
.(−y2 )dx
求める図形の面積は
.S=(−y1 )dx−(−y2 )dx
続く→
→続き
[ 置換積分により変数をtに直して計算する]
.S=(−t2+4t)(2t−2)dt−(−t2+4t)(2t−2)dt
.=(−t2+4t)(2t−2)dt+(−t2+4t)(2t−2)dt
.=(−t2+4t)(2t−2)dt
.=2(−t2+4t)(t−1)dt
.=2(−t3+5t2−4t)dt
.=2+t3−2t2=……=
【問題1】x=t2 , y=−t2−2t+3x軸とで囲まれる図形について,各々正しいものを選んでください.
(1)このグラフとx軸との交点の(x)座標は


−3, 1 −1 , 3 1 , 9 −1 , −9
(2)曲線の向きについて
ア) −3<t<−1の範囲でtが増加するとき


イ) t=−1のとき


ウ) −1<t<0の範囲でtが増加するとき


エ) t=0のとき


オ) 0<t<1の範囲でtが増加するとき


(6)図のように曲線のうちで上にある部分をy1,下にある部分をy2で表すとき,この曲線とx軸とで囲まれた図形を表す式は


.y1 dx−y2 dx .y1 dx−y2 dx
.y1 dx−y2 dx .y1 dx−y2 dx
(7)(6)の結果を積分変数をtにして書き換えると,次のどの式になりますか.


.(−t2−2t+3)dt−(−t2−2t+3)dt
.(−t2−2t+3)dt−(−t2−2t+3)dt
.(−t2−2t+3)2t dt−(−t2−2t+3)2t dt
.(−t2−2t+3)2t dt−(−t2−2t+3)2t dt
(8)面積は,次のどの値になりますか.


【問題2】x=t2 , y=t2+t−2x軸とで囲まれる図形の面積を求めてください


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