■問題→公式チェック3■ ・・・レベル:章末問題,公務員試験,採用試験
....................○身に付いていない項目をチェックして補強する問題です。初めて学習するのには、適していません。
....................○使用法: 解答後まとめて[採点]してください。[ヒント]ボタンを押した問題は引き分けとなります。10問で30分を目標にしてください。
(1)
直線 (3+2k)x-(2-k)y-12-k=0 はkの値にかかわらず定点を通る。この定点の座標は
(2,3) (2,-3) (-2,3)
(-2,-3) (3,2)
[数II][図形と方程式][2直線の交点を通る直線]
○a+bk=0はa=b=0のときkのどんな値についても成り立つ恒等式です。
○(ax+by+c)+k(dx+ey+f)=0はax+by+c=0かつdx+ey+f=0となるx,yの値(2直線の交点)についてはkのどんな値についても成り立ちます。
→(ax+by+c)+k(dx+ey+f)=0は2直線ax+by+c=0,dx+ey+f=0の交点では常に成立します。

左の問題では,ア)kで整理するのが基本ですが、イ)問題文を「
信用して」kに適当な値を代入する裏技もあります。
ア)3x-2y-12+k(2x+y-1)=0より3x-2y-12=0と2x+y-1=0の交点(2,-3)を通る
イ)k=2を代入x=2
k=0を代入3x-2y-12=0→y=-3
(※十分性の証明が必要な問題では、交点ではkの1次式の係数が2つとも0になることから上記の恒等式になるとします。)
(2)
平行な2直線3x+4y-10=0,3x+4y=0の間の距離は
1 2 3 5 10
[数II][図形と方程式][点と直線の距離]

左の問題では,平行な2直線の距離はどこで測っても同じなので,一方の直線3x+4y=0上の点(0,0)と3x+4y-10=0の距離を求めると

(3)
3つの直線y=-x+6,y=x+2,x+3y=6 で囲まれる三角形の面積は
2 4 6 8 10
[数II][図形と方程式][三角形の面積]

(4)
2円x2+y2=9,(x-3)2+(y-2)2=2の2交点と点(3,1)を通る円の方程式は
x2+y2-6x-4y=0
x2+y2-6x-2y+1=0
x2+y2-3x-2y+1=0
x2+y2=2
x2+y2=10
[数II][図形と方程式][2円の交点を通る円]
2円x2+y2+ax+by+c=0,x2+y2+dx+ey+f=0が交わるとき,
x2+y2+ax+by+c+k(x2+y2+dx+ey+f)=0 (k≠-1) は2円x2+y2+ax+by+c=0,x2+y2+dx+ey+f=0の2交点を通る円となる。
(この式は円になり,かつ,2交点を通るから)
左の問題では,求める方程式を
(x-3)2+(y-2)2-2+k(x2+y2-9)=0とおき,(3,1)を代入するとk=1
このとき方程式は2x2+2y2-6x-4y+2=0
すなわち
x2+y2-3x-2y+1=0となります。
(5)
点A(0,-5)を直線x+2y=0に関して対称移動したときの点Bの座標は
(4,-3) (-4,-2)
(4,3) (5,0) (-5,0)
[数II][図形と方程式][対称移動]
左の問題では,求める点Bの座標を(p,q)とおくとき
ABの中点が与えられた直線上にあること・・(1)
ABが与えられた直線に垂直になること・・(2)
からp,qを求められます。

(6)
2点A(2,0),B(-1,0)からの距離の比が2:1となる点の軌跡の方程式は
x=0  x=1
x2+y2-x-2=0 x2+y2-6x+5=0 
x2+y2+4x=0
[数II][図形と方程式][アポロニウスの円]
○2定点からの距離の比が一定な点の軌跡は円になる。(特に、内分点と外分点が直径の両端となるので,これを利用して求めてもよい。
)
左の問題では,動点の座標を(x,y)とおくと
AP:PB=2:1 → AP=2PB → AP2=4PB2
(x-2)2+y2=4{(x+1)2+y2}
3x2+3y2+12x=0よりx2+y2+4x=0
(7)
円(x-a)2+(y-b)2=r2の周上の点(p,q)における接線の方程式は

(p-a)2+(q-b)2=r2
px+qy=r2
p(x-a)+q(y-b)=r2
(p-a)x+(q-b)y=r2
(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r2

[数II][図形と方程式][円の接線の方程式]
○円x2+y2=r2の周上の点(x0,y0)における接線の方程式はx0x+y0y=r2
○点(a,b)を中心とする円では
原点に移動→接線の方程式→戻す

左の問題では円(x-a)2+(y-b)2=r2と点(p,q)を原点が中心の円に移動すると
円x2+y2=r2上の点(p-a,q-b)の接線が
(p-a)x+(q-b)y=r2
これをx方向にa,y方向にb移動すると
(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r2
(8)
mが実数値をとって変化するとき,2直線y=mx,x+my-4=0の交点の軌跡は
円(x-2)2+y2=4 (点(4,0)を除く)
円(x-2)2+y2=4
(点(0,0)を除く)
円x2+y2=4
(点(2,0)を除く)
円x2+y2=4
(点(-2,0)を除く)
円x2+y2=4
(点(0,2)を除く)
[数II][図形と方程式][軌跡の方程式]
○交点を求めて媒介変数を消去すると求められますが
○連立方程式←→交点だから,初めの方程式から媒介変数を消去するだけで求められます。
左の問題では
y=mxより,
ア)x≠0のときm=y/xを代入
x+y2/x-4=0
x2+y2-4x=0
(x-2)2+y2=4
イ)x=0のときy=0はx+my-4=0を満たさないので点(0,0)は除外
(9)
次の図の斜線部(境界線を含まない)の領域を表わす不等式は

(y-x)(y+x)(x2+y2-9)>0
(y-x)(y+x)(x2+y2-9)<0
xy(x2+y2)>9
xy(x2+y2-9)>0

xy(x2+y2-9)<0
[数II][図形と方程式][軌跡の方程式]
市松模様(チェック模様)→因数分解型不等式
(1) 境界線の方程式を・・=0の形に表わす
(2) 因数分解型を作る
(3) 計算しやすい点の符号に合うように<>0を選択

左の問題では
(1) y-x=0,y+x=0,x2+y2-9=0
(2) (y-x)(y+x)(x2+y2-9)
(3) 例えば(4,0)を該当させるには
 (0-4)(0+4)(16+0-9)=(-4)(4)(7)をOKとする
 ゆえに(y-x)(y+x)(x2+y2-9)<0
(10)
連立不等式y≦x,y≧-x+2,y≧3(x-2)で表わされる領域において(x-1)2+y2の取り得る値の最大値は
2 3 4 9 13
[数II][図形と方程式][領域内の最大・最小]
○求める値をkとおくと方程式となりグラフが描けます。
左の問題では
(x-1)2+y2=kとおくと点(1,0)を中心とする円となり,kはその半径(の2乗)
頂点(3,3)が最も遠いから
(3-1)2+32=13
・・・・・ ・・・・・(記号) → 正答,誤答,引分
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