■問題→公式チェック2■ ・・・レベル:章末問題,公務員試験,採用試験
....................○身に付いていない項目をチェックして補強する問題です。初めて学習するのには、適していません。
....................○使用法: 解答後まとめて[採点]してください。[ヒント]ボタンを押した問題は引き分けとなります。10問で30分を目標にしてください。
(1)
3点A(-1,1),B(1,-2),C(4,0)を頂点とする三角形ABCは
正三角形
 ∠A=90°の直角三角形
 BC=CAの二等辺三角形
 ∠B=90°の直角二等辺三角形
∠Bが鈍角の鈍角三角形
[数II][図形と方程式][2点間の距離.三角形の形状]

三角形の形状を調べる問題では、「まず三辺の長さを計算」、次に下のどれに該当するか検討します。
1 AB=BCなど → 二等辺三角形
2 AB=BC=CAなど → 正三角形
3 AB2+BC2=CA2など →∠B=90°の直角三角形
4 AB2+BC2=CA2,AB=BCなど
 →∠B=90°の直角二等辺三角形

左の問題では
AB2=22+32=13
BC2=32+22=13
CA2=52+12=26 だからAB=BCかつ∠Bは直角
(2)
3点A,B(0,3),C(12,0)を頂点とする△ABCの重心の座標がG(6,6)であるとき,点Aの座標は
(18,45) (18,9)
(6,3) (6,15)
(6,6)
[数II][図形と方程式][分点の座標.重心の座標]

左の問題では点Aの座標を(x,y)とおくと

x=6,y=15
(3)
3点A(4,3),B(2,-1),C(3p,p)が一直線上にあるとき,点Cの座標は
(0,-5) (-5,-15)
(1,3) (3,1)
(-15,-5)
[数II][図形と方程式][2点を通る直線の方程式.一直線上にある条件]

左の問題ではABを通る直線の方程式を求めてからCの座標を代入します。
AB: y-3=2(x-4) → y=2x-5
Cを代入: p=6p-5
p=1
(4)
2点A(2,1),B(3,-2)を通る直線に点Bで垂直に交わる直線の方程式は
x-3y+1=0 3x+y-7=0
3x+y-9=0 x-3y+9=0
x-3y-9=0
[数II][図形と方程式][2直線の垂直条件]


2つの直線y=mx+kとy=m'x+k'が垂直
 → mm’
=-1
左の問題では直線ABの方程式y=-3x+7
点(3,-2)を通り傾き1/3の直線の方程式
→y+2=1/3(x-3) → x-3y-9=0
(5)
点A(0,-5)を直線x+2y=0に関して対称移動したときの点Bの座標は
(4,-3) (-4,-2)
(4,3) (5,0) (-5,0)
[数II][図形と方程式][対称移動]
左の問題では,求める点Bの座標を(p,q)とおくとき
ABの中点が与えられた直線上にあること・・(1)
ABが与えられた直線に垂直になること・・(2)
からp,qを求められます。

(6)
円(x-3)2+(y+4)2=4を点(2,1)に関して対称移動してできる円の方程式は
(x-1)2+(y-6)2=4  (x+3)2+(y-4)2=4
(x-2)2+(y-1)2=4  (x-1)2+(y-6)2=10 
(x-3)2+(y+4)2=10
[数II][図形と方程式][円の方程式]
○円の移動は中心の移動だけで考える。半径は変わらない。
○点対称移動
点P(p,q)に関して点A(a,b)と対称な点Qの座標を(x,y)とするとAはPQの中点

左の問題では,
中心の座標は(3,-4)
→中点(2,1)→(1,6)となります。
(7)
3点A(0,0),B(4,0),C(1,3)を通る円の方程式は

x2+y2-4x+2y=0 x2+y2-4x-2y=0
x2+y2+4x+2y=0 x2+y2+4x-2y=0
x2+y2=10

[数II][図形と方程式][3点を通る円の方程式]
○求める方程式をx2+y2+ax+by+c=0とおき
点の座標を代入してa,b,cを連立方程式から求める

左の問題では,
求める方程式をx2+y2+ax+by+c=0とおくと

(0,0)を通る→c=0
(4,0)を通る→16+4a+c=0
(1,3)を通る→1+9+a+3b+c=0

より
a=-4,b=-2,c=0
(8)
原点を通り円(x-1)2+(y-3)2=5に接する直線の方程式は

y=2x,y=-3x
[数II][図形と方程式][円の接線]
○円と直線が接する条件は,
ア) yを消去してxの2次方程式について(判別式)=0とする方法
イ) 中心と直線との距離が半径に等しいとする方法
があります。
左の問題をア)の方法で解くと
原点を通る直線の方程式をy=mxとおき
(x-1)2+(mx-3)2=5
x2-2x+1+m2x2-6mx+9=5
(m2+1)x2-2(3m+1)x+5=0
D’=(3m+1)2-5(m2+1)=0
2m2+3m-2=0
(2m-1)(m+2)=0
m=1/2,-2
(9)
aが実数値をとって変化するとき,円
x2+y2-2ax-2(2a-1)y+(5a2-4a)=0
の中心の軌跡は
y=2x+1 y=2x-1
y=-2x+1 y=-2x-1

x2+y2+2y=0
[数II][図形と方程式][軌跡の方程式]
○媒介変数を消去してxとyの関係式にするのが基本です。
左の問題では
円の方程式を変形すると
(x-a)2+(y-2a+1)2=1となり
中心の座標は
x=a,y=2a-1となります。
これより媒介変数aを消去して
y=2x-1
(10)
次の斜線部(境界線を含まない)で示される領域を表わす不等式は



[数II][図形と方程式][不等式と領域]
○円(x-a)2+(y-b)2=r2の内側
→ (x-a)2+(y-b)2 < r2
○円
(x-a)2+(y-b)2=r2の外側
→ (x-a)2+(y-b)2 > r2

・・・・・ ・・・・・(記号) → 正答,誤答,引分
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