== 立体の体積 ==
(面積の復習)
 a≦x≦bの区間でx軸とy=f(x)とで囲まれる図形の面積が,縦の長さf(x)の積分で表された事情を振り返ってみます.
 aからxまでに描かれる図形の面積をS(x)とおくと
 xがわずかにだけ増加したとき,増える面積は黄色で示した長方形の面積,すなわち縦の長さf(x)と横の長さの積にほぼ等しくなります.
儡(x)≒f(x)凅
したがって
≒f(x)
 増分を限りなく0に近づけると,その極限は近似値ではなく正確f(x)に等しいと見なせます.

 元のものが直接には分からなくても,その微分が分かれば,積分によって面積S(x)が求まります.

 a≦x≦bの区間では

面積を求めたいとき
⇒ 面積の微分が縦の長さになるのでは縦の長さの積分で求められる
(体積の計算)
 立体の体積を求めるには,体積の微分が断面積になることを利用します.
 すなわち,左端aから座標xまでの区間にある体積をxの関数としてV(x)で表し,xにおける断面積をS(x)とおきます.
 上で復習した面積の求め方と同様にして
儼(x)≒S(x)凅
≒S(x)


が示されます.
体積を求めたいとき
⇒ 体積の微分が断面積になるのでは断面積の積分で求められる

【体積を求める積分計算】
多項式形の積分で数学Uの範囲で求められる体積の問題は,別のページにあります.
(1) 一般の立体の体積
x軸に垂直な平面で立体を切ったときの断面積がのとき,この立体の体積Vは

(2) 曲線,2直線で囲まれた図形を軸のまわりに回転させてできる回転体の体積

軸に垂直な断面は円になり,その半径がであるから断面積はになる.
は負の値も取り得るから正確にはというべきだが,2乗するので結果は同じになる.また,図のようにのグラフが軸を横切っていても構わない.
(3) 2曲線,2直線で囲まれた図形を軸のまわりに回転させてできる回転体の体積(ただし,において,とする)

ちくわのような中抜きの筒の体積を求めるには,外側の円の面積から内側の円の面積を引いたものが断面積だと考えるとよい.
間違っても,などとしてはいけない!
(4) 曲線,2直線で囲まれた図形を軸のまわりに回転させてできる回転体の体積

(2)のx軸とy軸の立場を入れ換えたものになるから,y軸に垂直な断面の半径はになる
(5) 媒介変数表示で表される曲線で,のとき,で囲まれる図形を軸のまわりに回転させてできる回転体の体積

により,を代入する

【例題1.1】
 右図のような半径が,高さがの直円柱を,斜めの平面で切ってできる「きゅうりのへた」のような立体(下半分)の体積を求めてください.
円柱の体積の半分だから,結果はだろうと予想できるが,これを積分計算として組み立てる練習です
(解答)
底面の円の直径方向に座標軸をとり,の範囲で断面を求めて積分する.
 底面の円に描いた黄色の直角三角形で,斜辺の長さは半径に等しいから,
 次に高さは,のときで傾きがの直線上にあるから,



ここで

は奇関数の積分だから0

は上半円の面積だから
ゆえに

【例題1.2】
 1辺の長さがの正四面体の体積を求めてください.
三平方の定理を使って,正四面体の高さを求め,底面積との比例計算で断面を求めます.
(解答)
底面の正三角形において頂点CからBDに引いた垂線の足をEとすると,直角三角形BCEの辺の長さは,であるから,三平方の定理により,
 次に,頂点Aから底面の△BCDに引いた垂線の足をHとおくと,Hは△BCDの重心だから,EH:HC=1:2

 さらに,△AHCは直角三角形だから三平方の定理により,
 右図のピンク色の図で,
 の面積比は相似比の2乗に比例するから





【例題2.1】
 曲線軸とで囲まれる図形を軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めてください.
(解答)

↑半角公式:を使う

【例題2.2】
 曲線と座標軸とで囲まれる図形を軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めてください.
(解答)





のように多項式の展開を要するとき,とおくと,展開しなくて済む
とおくと,



【例題3.1】
 とするとき,円軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めてください.
(解答)


と変形したとき,右図の青色で示した回転体で外側に来る曲線の方程式は

 赤色で示した内側に来る曲線の方程式は




とおく置換積分を行うと,




一般に回転体の体積は,(断面積)×(重心の通過距離)に等しいことが知られている(パップス・ギュルダンの定理)
この問題では,断面積,重心の通過距離で,となっている.
【例題3.2】
 曲線軸,軸,の直線で囲まれる図形が軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めてください.
(解答)
半径が1で,横向きの高さがeの円柱から,でできる図形を中抜きします.


次の部分積分を行う





【例題4.1】
 曲線と直線とで囲まれる図形を軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めてください.
(解答)




例題3.1で紹介したパップス・ギュルダンの定理で確かめておくと,図形の面積が

重心(x=1上にある)の移動距離はだからに等しい
【例題4.2】
 曲線,直線軸とで囲まれる図形を軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めてください.
(解答)

直接計算すると,逆三角関数の2乗の積分になるが,それは手ごわいので,置換積分で変数を取り換える
のとき,

次の部分積分を行う



さらに次の部分積分を行う


従って


【例題5.1】
 サイクロイド
)が軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めてください.
難しい公式を覚えない.単純に
と書いてから,変数をに置換積分する.
(解答)

において,次のように対応している.





根性物語になってきた〜
半角公式で次数を下げる


3倍角公式で次数を下げる





【例題5.2】
 アステロイドによって囲まれる図形が軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めてください.
難しい公式を覚えない.単純に
と書いてから,変数をに置換積分する.
 x軸,y軸に関して対称な図形だから,第1象限の部分を回転して2倍する.





積分計算を作るところまでは,簡単にできますが,ここから先がスラスラと書けるような人は,相当な計算力があるはずです.
幾つか方法はありますが,以下では定積分の漸化式を利用する方法で求めてみます.


ここで,とおき,の漸化式を作って,順次次数を下げていく.
次の部分積分を行う.(n≧2)







これにより,順次次数を下げると


結局


== 回転体の表面積 ==
最近の高校の教科書では,回転体の表面積の問題はほとんど扱われていません.
 曲線軸のまわりに1回転してできる回転体の表面積(両端の断面を含まない側面積)は
(解説)
 求める側面積は,正確には右図のアースカラーで示した円錐台の微小な幅の側面積を継ぎ足したものであるが,
が微小な幅であるとき,上の公式は次のことを表している.
 まず,横幅に対して,直角三角形の縦幅はになるから,三平方の定理により斜辺の長さは

 そこで,幅のテープが半径の円周の長さだけあることになり

円錐台であるから,実際には円柱の側面よりは狭い部分と広い部分があるが,積分に使うのは1次近似で,中央で見れば差し引き帳消しになると解釈できる


【例題6.1】
 半径の球の表面積はに等しいことを示してください.
(解答)
 原点を中心とする半径の円を軸のまわりに1回転してできる回転体の表面積を求める.左右対称だから右半分を求めて2倍する.
 円の方程式はだから
 
 
 


【例題6.2】
 放物線軸のまわりに1回転してできる回転体の放物面の面積を求めてください.
(解答)
 軸のまわりの回転だから,公式のの立場を入れ換える.

ここで



だから


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