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=== 不等式の証明 ===

*** 目次 ***(クリックすれば該当項目にジャンプできます)



[1] 大小比較の原則
(1) 実数a, bについて,a<bを証明するには,b−a>0を示せばよい.(※差の符号を調べるとよい)
(解説)
不等式の両辺に同じ数を足してもよい.同じ数を引いてもよい.
そこで,baよりも大きいとは,b−aの符号が正になることによって定義されていると考えるとよい.
cが正の数であっても負の数であっても
b<aならばb+c<a+cが成り立つ.
b<aならばb−c<a−cが成り立つ.
b>aならばb+c>a+cが成り立つ.
b>aならばb−c>a−cが成り立つ.

特に
b>aならばb−a>0が成り立つ.
b−a>0ならばb>aが成り立つ.…(*)
(※移項できると考えてもよい.)

この最後の関係(*)を大小比較の判断に使い,ある数baよりも大きいかどうかを調べることよりも,b−aの符号を調べる方が簡単なので,b−aの符号で調べると考えたらよい.(本当はこれが定義)
【例題1.1】
a<b, c<dのとき,a−d<b−cが成り立つことを証明してください.
(解答)
仮定により
b−a>0, d−c>0
このとき
(b−c)−(a−d)=(b−a)+(d−c)>0
が成り立つ.
したがってa−d<b−cが成り立つ.
【例題1.2】
a<bのとき,が成り立つことを証明してください.
(解答)
仮定よりb−a>0


したがって

が成り立つ
→右上に続く
※以下の問題は本来は証明問題ですが,証明の途中経過を画面上で採点するのは難しいので,選択問題にします.

【問題1】 次の不等式について「つねに成立する」「成立するとは限らない」「つねに成立しない」のうちから選んでください.(クリックする)
(1)
a<b, c<dのとき,a+c<b+dが成立するかどうか調べてください.

(2)
a<b, c<dのとき,ac<bdが成立するかどうか調べてください.

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[2] 正負の数との積
(1) a<b, c>0のとき
が成り立つ
すなわち不等式a<bの両辺に正の数cを掛けても不等号の向きは変わらない

が成り立つ
すなわち不等式a<bの両辺を正の数cで割っても不等号の向きは変わらない

(2) a<b, c<0のとき
が成り立つ
すなわち不等式a<bの両辺に負の数cを掛けると不等号の向きが逆になる
が成り立つ
すなわち不等式a<bの両辺を負の数cで割ると不等号の向きが逆になる

【まとめ】
 注意しなければならないのは,負の数を掛けたり割ったりするときだけです.(3)だけは要注意

正の数や負の数を足しても引いても不等号の向きは変わらない.
(1) a<bのとき(cが正の数であっても負の数であっても)
が成り立つ
が成り立つ

(2) a<b, c>0のとき
が成り立つ
が成り立つ
(3) a<b, c<0のとき
が成り立つ
が成り立つ
【例題2.1】
0<a<b, 0<c<dのとき,ac<bdが成り立つことを証明してください.
(解答)
a<b0<cだから
ac<bc
c<d0<bだから
bc<dc
ゆえに
ac<bd
※次のような短縮答案でよい.
ac<bc<bd
【例題2.2】
|x|<1, |y|<1, |z|<1のとき,次の不等式が成り立つことを証明してください.
(1) xy+1>x+y
(2) xyz+2>x+y+z
(解答)
(1) 差の符号を調べる
(xy+1)−(x+y)=(x−1)(y−1)
ここで
|x|<1だからx−1<0
|y|<1だからy−1<0
したがって
(x−1)(y−1)>0
ゆえに
xy+1>x+y
(2) 因数分解できない.(1)を2回使って証明する
|xy|<1, |z|<1だから(1)により
(xy)(z)+1>(xy)+(z)
(xy)(z)+2>(xy)+(z)+1…(A)
さらに(1)により
xy+1>x+y…(B)
(A)(B)より
xyz+2>x+y+z
→右上に続く
【問題2】 次の不等式について「つねに成立する」「成立するとは限らない」「つねに成立しない」のうちから選んでください.(クリックする)
(1)
0<a<b, 0<c<dのとき,が成立するかどうか調べてください.

(2)
a, b≧2のとき,次の不等式が成立するかどうか調べてください.
ab>a+b

(3)
a, b, c≧2のとき,次の不等式が成立するかどうか調べてください.
3abc≧4(a+b+c)

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[3] 平方完成による絶対不等式の証明
 虚数には大小という考えはないので,不等式に登場するのは原則として実数です.
 実数は2乗すると0以上になるので,次のような平方完成の変形により正負の判断ができます.
 このような不等式は,登場する文字の正負などの条件にかかわらず成立するので「絶対不等式」と呼ばれることがあります.
(1) a2≧0 (等号はa=0のとき)
【例】 文字aのかわりに式が入るもの
a2−2ab+b2=(a−b)2≧0
(等号はa−b=0すなわちa=bのとき)
(2) a2+b2≧0(等号はa=b=0のとき)
【例】文字a, bのかわりに式が入るもの


(等号はすなわちa=b=0のとき)
(3) a2+(正の数)>0
【例】文字aのかわりに式が入るもの
x2−2x+3=(x−1)2+2>0
【例題3.1】
a2+b2≧2(a+b−1)が成り立つことを証明してください.
(解答)
(左辺)−(右辺)=a2+b2−2(a+b−1)
=(a2−2a+1)+(b2−2b+1)=(a−1)2+(b−1)2≧0
(等号が成立するのはa=b=1のとき)
よって(左辺)≧(右辺)が成立する.(等号はa=b=1のとき)
【例題3.2】
a, b>0のときが成り立つことを証明してください.
(解答)
(左辺)−(右辺)



分母は正,分子は(a−b)2≧0
よって
(左辺)−(右辺)≧0 (等号が成立するのはa=bのとき)
→右上に続く
【問題3】 次の不等式について「つねに成立する」「成立するとは限らない」「つねに成立しない」のうちから選んでください.(クリックする)
(1)
x2+1>xが成立するかどうか調べてください.

(2)
a2+b2+c2+ab+bc+ca>0が成立するかどうか調べてください.

(3)
(a2+b2)(c2+d2)≧(ac+bd)2が成立するかどうか調べてください.

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[4] n乗比較
x>0のときy=xnのグラフは単調増加関数になっており,
次の(1)(2)のいずれも成り立ちます.
a, b>0のとき
a<b → an<bn…(1)
an<bn → a<b…(2)
 特に(2)式は,2つの正の数の大小関係が調べにくいときに,代わりにn乗したもので比較してよいことを表しています.

【例題4.1】
2つの正の数a, bの相加平均,相乗平均,調和平均の大小を比較してください.
(解答)
相加平均,相乗平均は両方とも正の数なので2乗比較できる.


したがって

等号はa=bのとき

相乗平均,調和平均は両方とも正の数なので2乗比較できる.



したがって

等号はa=bのとき

結局

等号はいずれもa=bのとき
【例題4.2】
2つの正の数a, b

2乗平均と相加平均
の大小を比較してください.
(解答)
いずれも正の数だから何乗かして比較してよい.根号を取り除くために各々2乗する.



したがって

等号はa=bのとき
→右上に続く
【問題4】 次の2数の大小関係を調べてください.(選択肢のうち正しいものをクリック)
(1)
a, b>0のとき の大小関係を調べてください.

(2)
a, b, c>0のとき の大小関係を調べてください.

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[5] (相加平均)≧(相乗平均)≧(調和平均)の関係
○登場する文字がすべて正の数のとき,次に示す(相加平均)≧(相乗平均)の関係が成り立ちます.
a, b>0のとき
…(1)
等号はa=bのとき

a, b, c>0のとき
…(2)
等号はa=b=cのとき

a, b, c, d>0のとき
…(3)
等号はa=b=c=dのとき

5文字以上のときも同様にして成り立つ
○これらの公式の証明自体はn乗比較などの方法で行えますが,応用問題では(相加平均)≧(相乗平均)の関係からスタートすると見通しがよくなり,問題によってはしばしば短縮答案が書けます.
(1)の証明は例題4.1にあります.

(3)は(1)の結果を使って証明できます.


等号はa=b, c=d, ab=cdすなわちa=b=c=dのとき

(2)は(3)から証明できます.

において

とおくと


両辺を4乗すると



等号は

すなわちa=b=c=dのとき

※一般のn文字の(相加平均)≧(相乗平均)の関係の証明も,上記のように2n個から下っていく帰納法で証明できますが,直接的には対数関数が上に凸であることを利用すると速い(ここでは触れない)
【例題5.1】
a, b, c>0のとき(a+b)(b+c)(c+a)≧8abcが成り立つことを証明してください.
(解答)
すべて正の数だから(相加平均)≧(相乗平均)の関係が成り立つ



両辺とも正だから辺々かけても不等号の向きは変わらない


ゆえに

等号はa=b=cのとき
【例題5.2】
a, b, c>0のときが成り立つことを証明してください.
(解答)
すべて正の数だから(相加平均)≧(相乗平均)の関係が成り立つ



辺々加えると

等号はa=b=cのとき
→右上に続く
【問題5.1】 正しいものを選んでください.(選択肢のうち正しいものをクリック)
(1)
a, b, c>0のとき と定数の大小関係を調べてください.
大小関係は決まらない
(2)
a, b, c>0のとき を満たす定数の最大値は
1 2 3 4 6 9
(3)
a, b, c>0のとき を満たす定数の最大値は
1 2 3 4 6 9

x, y, z>0のときに成り立つ(相加平均)と(調和平均)の関係
なども参考にして次の問いに答えてください.
【問題5.2】 正しいものを選んでください.(選択肢のうち正しいものをクリック)
(1)
a, b, c>0のとき を満たす定数の最大値は
1 2 3 4 6 9
→右上に続く
(2)
a, b, cが三角形の3辺の長さを表すとき を満たす定数の最大値は
1 2 3 4 6 9
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[6] シュワルツの不等式
○次の不方式をシュワルツの不等式といいます.この不等式は登場する文字が正の数でなくても「実数でありさえすれば成り立ちます」.
(a2+b2)(x2+y2)≧(ax+by)2…(1)

(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≧(ax+by+cz)2…(2)

※この関係は変数がn個×2のときも成り立ちます
(証明)
(1)の3文字×2の場合について示す.(文字数が多いときも同様に証明できる)

ア) (左辺)−(右辺)を変形して平方完成を行う方法

(左辺)−(右辺)
=(a2+b2)(x2+y2)−(ax+by)2
=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2−a2x2−2abxy−b2y2
=a2y2+b2x2−2abxy
=(ay−bx)2>0
楽しくのときと言いたいところであるが,この形で書くとa, bが0になるとき分母が0になって困る
そこで,まとめて書く方法を考える

等号が成立するのは,ay=bxのとき

すなわち,a:x=b:yのとき
ただし,左辺のn番目の文字が0のときは,右辺のn番目の文字も0になるものとする.

イ) ベクトルの内積で考える方法

高校数学Bで習うベクトルをつかうと図形的な意味が分かります.

2つのベクトルがなす角をθとするとき,これらの内積と各々のベクトルの長さとは次の関係を満たす.

これを成分で書くと

したがって

すなわち,内積は2つのベクトルが同じ向きのとき最大になり,逆向きのとき最小になり,その間の角度のときはその間の値をとる.
だから

2つのベクトルが同じ向き(または逆向き)のときに等号が成り立つ.

すなわち,a:x=b:yのとき
ただし,左辺のn番目の文字が0のときは,右辺のn番目の文字も0になるものとする.
→右上に続く
【問題6】 正しいものを選んでください.(選択肢のうち正しいものをクリック)
(1)
実数a, b, cについて を満たす定数の最小値は
1 2 3 4 6 9
(2)
実数a, b, cについて
を満たす定数の最小値は
1 2 3 4 6 9
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[7] チェビシェフの不等式
○次の不等式をチェビシェフの不等式といいます.この不等式では登場する文字が必ずしも正の数とは限らないことに注意しましょう」.
a≦b, x≦yのとき
…(1)
等号はa=bまたはx=yのとき

a≦b≦c, x≦y≦cのとき
…(2)
等号はa=b=cまたはx=y=zのとき
※文字数がn個×2のときも同様の関係が成り立つ
 この不等式を証明するためには,仮定の使い方を考えることが重要です.
b−a≧0, y−x≧0の形を作るしかない!
(証明)
(1)←
仮定より
b−a≧0, y−x≧0
(右辺)−(左辺)





等号はa=bまたはx=yのとき
(21)←
仮定より
b−a≧0, c−b≧0, y−x≧0, z−y≧0
(右辺)−(左辺)












ここでb−a≧0, c−b≧0, c−a≧0, y−x≧0, z−y≧0, z−x≧0だから(右辺)≧(左辺)が成り立つ.
等号はa=b=cまたはx=y=zのとき
【例題7.1】
a, b>0のとき

が成り立つことを証明してください.
一見,チェビシェフの不等式がそのまま使えそうに見えますが,その前提条件a≦bが満たされておらず,代わりにa, b>0となっていることに注意
仕方がないので,初めから自分で証明する方がよい
(解答)
(右辺)−(左辺)




a>b(>0)のときだから
(右辺)>(左辺)
(0lt;)a≦bのときだから
(右辺)≧(左辺)
いずれの場合も,(右辺)≧(左辺)が成り立つ.(等号はa=bのとき)
→右上に続く
【例題7.2】
0<a≦b≦cのとき

が成り立つことを証明してください.
大学入試の記述式答案では「高校の教科書に書いてある定理・公式は黙って使ってもよい」「高校の教科書に書いてない定理・公式は黙って使ってはいけない」というのが通常の採点基準でしょう.
チェビシェフの不等式は,ほとんどの教科書に書いてないので,使うときは「証明してから使う」「公式名と公式を書いてから使う」方が無難でしょう.
(解答)
仮定より0<a≦b≦cだから0<a2≦b2≦c2および0<a3≦b3≦c3が成り立つ.

チェビシェフの不等式
p≦q≦r, x≦y≦cのとき

等号はp=q=rまたはx=y=zのとき
において,p=a2, q=b2, r=c2およびx=a3, y=b3, z=c3とおくと

したがって

が成り立つ.
等号は0<a2=b2=c2または0<a3=b3=c3から
a=b=cのとき
【問題7】 正しいものを選んでください.(選択肢のうち正しいものをクリック)
(1)
(0<)a≦b≦cのとき
を満たす定数の最小値は
1 2 3 4 6 9
(2)
a≦b≦c, x≦2y≦3z, a+b+c=0のとき の最小値は
−3 −2 −1 0 1 2 3
(3)
a≦b≦cのとき,次の不等式のの箇所に入る式を求めてください
2 3 2n−1 3n−1 2n 3n
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