■三角関数の2倍角公式,半角公式(練習問題) → 携帯版
 この頁では2倍角公式,半角公式を使う簡単な計算問題を扱います.
【例題1】
 αが第2象限の角で,sinα=のとき,次の値を求めてください.
sin 2α, cos 2α, tan
(解答)
cos2α=1−sin2α=1−=
cosα=− (<0)
だから
sin 2α=2sinα·cosα=2××(−)=−
cos 2α=cos2α−sin2α==
tan 2α==(−=−
…この問題ではtanαの値をまだ求めていないので,上記のように求めることができます.tanα=−の値を求めてからtanの2倍角公式を使う方法もあります.
【例題2】
sin22.5°の値を求めてください.
半角公式を使えば,
 cosの値が分かる⇒sin α, cos α, tan αの値が求まる.
この問題では
 cos45°の値が分かる⇒sin22.5°, cos22.5°, tan22.5°の値が求まる.
(解答)
sin222.5°===
sin22.5°= (>0)
【2倍角公式】
 2倍角公式は加法定理においてα=βとおけば得られます.

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβにおいてα=βとおくと,
sin2α=2sinα·cosα
cos(α+β)=cosα·cosβ−sinα·sinβにおいてα=βとおくと,
cos2α=cos2α−sin2α
=1−2 sin2α (←cos2α=1−sin2αにより変形)
=2 cos2α−1 (←sin2α=1−cos2αにより変形)
tan(α+β)=においてα=βとおくと,
tan2α=
【半角公式】
 半角公式はcosの公式を逆に解けば得られます.(sin2α, tanの公式からは得られません.)

cos2α=1−2 sin2αを逆に解くと
sin2α=
すなわち
sinα=±αの象限で符号を選ぶ
cos2α=2 cos2α−1を逆に解くと
cos2α=
すなわち
cosα=±αの象限で符号を選ぶ
tan2α=により
tan2α=
すなわち
tanα=±αの象限で符号を選ぶ
【問題1】
 αが第3象限の角で,cosα=−のとき,次の値を求めてください.
sin 2α, cos 2α, tan
空欄に入るものを右の選択肢から選んでください.

 αは第3象限の角だからsinα<0になり,
sinα=−=(1)
だから




【問題2】
 <α<π, sinα=のとき,次の値を求めてください.
sin 2α, cos 2α, tan
空欄に入るものを右の選択肢から選んでください.

 αは第2象限の角だからcosα<0になり,
cosα=−=(1)
だから



【問題3】
 sin67.5°の値を求めてください.
空欄に入るものを右の選択肢から選んでください.

sin267.5°==(1)

【問題4】
 0<α<90°, cosα=のときsin値を求めてください.
空欄に入るものを右の選択肢から選んでください.

sin2==(1)

【問題5】
 <α<π, sinα=のときcos値を求めてください.
空欄に入るものを右の選択肢から選んでください.

<α<π, cosα<0だからcosα=(1)

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