■三角関数の2倍角公式,半角公式(練習問題) → 携帯版は別頁
 この頁では2倍角公式,半角公式を使う簡単な計算問題を扱います.
【例題1】
 αが第2象限の角で,sinα=のとき,次の値を求めてください.
sin 2α, cos 2α, tan
(解答)
cos2α=1−sin2α=1−=
cosα=− (<0)
だから
sin 2α=2sinα·cosα=2××(−)=−
cos 2α=cos2α−sin2α==
tan 2α==(−=−
…この問題ではtanαの値をまだ求めていないので,上記のように求めることができます.tanα=−の値を求めてからtanの2倍角公式を使う方法もあります.
【例題2】
sin22.5°の値を求めてください.
半角公式を使えば,
 cosの値が分かる⇒sin α, cos α, tan αの値が求まる.
この問題では
 cos45°の値が分かる⇒sin22.5°, cos22.5°, tan22.5°の値が求まる.
(解答)
sin222.5°===
sin22.5°= (>0)
【2倍角公式】
 2倍角公式は加法定理においてα=βとおけば得られます.

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβにおいてα=βとおくと,
sin2α=2sinα·cosα
cos(α+β)=cosα·cosβ−sinα·sinβにおいてα=βとおくと,
cos2α=cos2α−sin2α
=1−2 sin2α (←cos2α=1−sin2αにより変形)
=2 cos2α−1 (←sin2α=1−cos2αにより変形)
tan(α+β)=においてα=βとおくと,
tan2α=
【半角公式】
 半角公式はcosの公式を逆に解けば得られます.(sin2α, tanの公式からは得られません.)

cos2α=1−2 sin2αを逆に解くと
sin2α=
すなわち
sinα=±αの象限で符号を選ぶ
cos2α=2 cos2α−1を逆に解くと
cos2α=
すなわち
cosα=±αの象限で符号を選ぶ
tan2α=により
tan2α=
すなわち
tanα=±αの象限で符号を選ぶ
【問題1】
 αが第3象限の角で,cosα=−のとき,次の値を求めてください.
sin 2α, cos 2α, tan
空欄に入るものを右の選択肢から選んでください.

 αは第3象限の角だからsinα<0になり,
sinα=−=(1)
だから




【問題2】
 <α<π, sinα=のとき,次の値を求めてください.
sin 2α, cos 2α, tan
空欄に入るものを右の選択肢から選んでください.

 αは第2象限の角だからcosα<0になり,
cosα=−=(1)
だから



【問題3】
 sin67.5°の値を求めてください.
空欄に入るものを右の選択肢から選んでください.

sin267.5°==(1)

【問題4】
 0<α<90°, cosα=のときsin値を求めてください.
空欄に入るものを右の選択肢から選んでください.

sin2==(1)

【問題5】
 <α<π, sinα=のときcos値を求めてください.
空欄に入るものを右の選択肢から選んでください.

<α<π, cosα<0だからcosα=(1)


(参考)の整数倍となる角の三角関数一覧(30°,45°の整数倍を除く)・・・結果を覚える必要はない

表1
差が15°であって,かつ,1つずつの三角関数の値が分かる2つの角度(45°と30°)を選び(他の組60°と45°などでもよい),三角関数の加法定理を用いて次のように計算できます.










などと求められます.
また,の結果を使って



のように求めてもよい.
半角公式を利用して求める場合は



などとできます.
表2
(1) の値は,75°=45°+30°, 75°=120°−45°のように和や差が75°となる2つの角度の組合せを考えて,三角関数の加法定理を使って計算することができます.



(2) また,半角公式を使って求めることもできます.


(3) さらに,表1の15°の三角関数の値を求めた後では,数学Tで習う三角関数の性質を使って簡単に求めることができます.

数学Tの公式 を使うと

数学Tの公式 を使うと

数学Tの公式 を使うと


以下,数学Tで登場する次の公式を利用することができます.
表3

上記の公式を使うと,これらの値は次のようになります.
4種類の値

とその符号を変えたものだけから成り立っています.
表(まとめ)
(参考)の整数倍となる角の三角関数一覧(45°の整数倍を除く)・・・結果を覚える必要はない

表4
半角公式を使うと,45°のような三角関数の値からその半分の角22.5°の三角関数の値を求めることができます.
(1) (符号は象限で判断)
の場合に適用すると


※分子の二重根号ははずれません。(と変形しても,積が2,和が4となる2つの整数は見つからないから)
(2) (符号は象限で判断)
の場合に適用すると


※この二重根号もはずれません.
(3)

表5
67.5°の場合も135°の半分ということを使って,半角公式から三角関数の値を求めることもできますが,右図のように67.5°=90°−22.5°であることを利用すれば表3の関係から簡単に求めることができます.
sin67.5°
=sin(90°−22.5°)
=cos22.5°

cos67.5°
=cos(90°−22.5°)
=sin22.5°


同様にして,次の表が得られます.この表は4種類の値

とその符号を変えたものだけから成り立っています.
表(まとめ2)
さらに半角公式を利用してなどの三角関数も求めることができますが・・・
(符号は象限で判断)
の場合に適用すると


このように三重根号になり,はずれません.
同様にして

このように四重根号になります.
参考:の値





(参考)の整数倍となる角の三角関数一覧・・・結果を覚える必要はない

表6


であるから,18°と36°の三角関数を求めると残りは埋まります.

とすると,により

倍角公式および3倍角公式により

ここでだから





36°については





などとします.
○メニューに戻る