→ 携帯用は別頁
== 三角形の証明問題と形状問題(よく出るもの) ==

証明問題
数学Tの正弦定理で解けるもの
…(1.1)
…(1.2)
…(1.3)
(解説)
三角関数を使った式,例えばsinAsin(B+C)は一般に変形しにくく,辺を使った式,例えばa(b+c)は展開しやすいので,なるべく辺だけで表すようにします.
ここでは,正弦定理を変形してとして使うとよいでしょう.sinB, sinCも同様です.
このとき,一時的に外接円の半径Rが登場しますが,両辺や分母・分子に対等に表れるので,問題ありません.
(1.1)←
を代入すると
(左辺)=
(右辺)=
よって,等式(1.1)が成り立つ
(1.2)←
を代入すると
(左辺)=

よって,等式(1.2)が成り立つ
(1.3)←
を代入すると
(左辺)=

(右辺)=
よって,等式(1.3)が成り立つ

数学Tの余弦定理で解けるもの
…(2.1)
…(2.2)
…(2.3)
…(2.4)
三角関数を使った式,例えばcosAcos(B+C)は一般に変形しにくく,辺を使った式,例えばa(b+c)は展開しやすいので,なるべく辺だけで表すようにします.
ここでは,余弦定理を変形してとして使うとよいでしょう.cosB, cosCも同様です.
(解説)
(2.1)←

を代入すると
(右辺)


(左辺)
よって等式(2.1)が成り立つ
(2.2)←

を代入すると
(左辺)
(右辺)
よって等式(2.2)が成り立つ
(2.3)←

を代入すると
(左辺)

(右辺)
よって等式(2.3)が成り立つ
(2.4)←

を代入すると
(左辺)=










(右辺)=



よって等式(2.4)が成り立つ

数学Tの正弦定理・余弦定理で解けるもの
…(3.1)
…(3.2)
…(3.3)
…(3.4)
…(3.5)

…(3.6)
(解説)

などを用いて角度の式を辺の式に直すのが基本です.
(3.1)←
(左辺)=

(右辺)=

よって等式(3.1)が成り立つ
(3.2)←
(左辺)=

(右辺)=
よって等式(3.2)が成り立つ
(3.3)←
(左辺)=
(右辺)=

よって等式(3.3)が成り立つ
(3.4)←
(左辺)=


=(右辺)
よって等式(3.4)が成り立つ

(3.5)←
(左辺)=















=(右辺)
よって等式(3.5)が成り立つ
(3.6)←
(第1辺)=


(第2辺)=


(第3辺)=


よって等式(3.6)が成り立つ

数学Tで面積Sや内接円の半径rに関するもの
面積をS,外接円の半径をR,内接円の半径をrで表すとき
…(4.1)
…(4.2)
…(4.3)
…(4.4)
…(4.5)
…(4.6)
…(4.7)
…(4.8)
…(4.9)
…(4.10)
…(4.11)
(解説)
(4.1)←
教科書に書かれている,次の公式は前提とします.

この式に,正弦定理から得られるを代入すると


よって等式(4.1)が成り立つ
(4.2)←
右図のように三角形を3つに分けると


よって等式(4.2)が成り立つ
(4.3)←
(4.2)に,正弦定理から得られるを代入すると


よって等式(4.3)が成り立つ

(4.4)←

に,正弦定理から得られるを代入すると

よって等式(4.4)が成り立つ
(4.5)←
(4.2)と(4.4)から

分母を払うと

よって等式(4.5)が成り立つ
(4.6)←
(4.5)の両辺をで割ると


よって等式(4.6)が成り立つ
(4.7)←
(4.2)から

この式に,を代入すると


(4.4)から

を代入すると

(4.2)から

を分子の1つのに代入すると

よって等式(4.7)が成り立つ
(4.8)←
(左辺)



(4.4)から

だから
(左辺)(右辺)
よって等式(4.8)が成り立つ
(4.9)←
右図において,x, y, zで示した部分の長さはそれぞれ等しく


またa=y+zだから
x=s−a
右図において,頂点Aから内接円の中心に引いた線は∠Aの二等分線だから

よって等式(4.9)が成り立つ
(4.10)←
三角形の3辺の長さは正だから,(相加平均)≧(相乗平均)の関係が成り立つ.
むずかしい!

たまにはむずかしい問題もあります


両辺とも正だから,辺々掛けると


ここでa+b+c=2sだから

よって不等式(4.10)が成り立つ
(4.11)←
ヘロンの公式から

…(*)
ここで,三角形の2辺の和は他の1辺よりも大きいから
b+c−a>0, c+a−b>0, a+b−c>0



そこで,正の数s−a, s−b, s−cに(相加平均)≧(相乗平均)の関係を適用すると


(*)から



よって不等式(4.10)が成り立つ

数学Uの加法定理,倍角,半角公式に関するもの
…(5.1)
…(5.2)
…(5.3)
…(5.4)
…(5.5)
…(5.6)
…(5.7)
…(5.8)
(5.1)←











よって等式(5.1)が成り立つ
(5.2)←








よって等式(5.2)が成り立つ
(5.3)←









よって等式(5.3)が成り立つ
(5.4)←










よって等式(5.4)が成り立つ
(5.5)←

分母を払うと


よって等式(5.5)が成り立つ
(5.6)←

分母を払うと


よって等式(5.6)が成り立つ
(5.7)←


したがって

分母を払うと


よって等式(5.7)が成り立つ
(5.8)←
(5.7)の両辺をで割ると得られる

形状問題
次の等式が成り立つとき,この三角形ABCはどのような形の三角形か
数学Tの正弦定理で解けるもの
…(6.1)
…(6.2)
…(6.3)

…(6.4)
…(6.5)
三角形の形状問題も,角度に関する式を辺に関する式に直してから考えるのが基本です.
a=bなどa=bの→二等辺三角形
a2=b2+c2など→∠A=90°の直角三角形
などど答えます.
(単に「二等辺三角形」と答えると,どの2辺が等しいのか分かりませんので,等しい2辺も書くようにします.)
a2=b2+c2などは,辺に関する式から角に関する結論を出すものですが,これは中学校で習う三平方の定理の逆なので,簡単に分かるでしょう.
 詳しく言えば,からA=90°ということですが,このように基本に立ち帰って考える練習をしておくと,次のような応用的な問題でも対応できるようになります.
a2=b2+c2+bcならば

などと答えることができます.
(解説)
(6.1)→
などを代入すると


∠A=90°の直角三角形…(答)
(6.2)→
などを代入すると


∠A=90°の直角三角形…(答)
(6.3)→
などを代入すると



∠B=90°の直角三角形…(答)
(6.4)→


などを代入すると






∠A=60°の三角形…(答)
(6.5)→
※一般には,などを使って,角を辺に直すのが基本ですが,この問題のようにがある場合には,その式が複雑になりすぎます.
次のように,を使うともっと簡単にできます.







…(*)または…(**)
(*)よりb=cの二等辺三角形
(**)より
∠A=120°の三角形
ゆえに,b=cの二等辺三角形または∠A=120°の三角形…(答)

次の等式が成り立つとき,この三角形ABCはどのような形の三角形か
数学Tの余弦定理で解けるもの
…(7.1)
…(7.2)
…(7.3)
…(7.4)
…(7.5)
…(7.6)
(解説)
(7.1)→
を代入すると



だから
の二等辺三角形…(答)
(7.2)→
などを代入すると



だから
の二等辺三角形…(答)
(7.3)→

などを代入すると

などを代入すると









ゆえに,a=bの二等辺三角形または∠C=90°の直角三角形…(答)
(7.4)→

などを代入すると





ゆえに,∠B=90°の直角三角形…(答)
(7.5)→

などを代入すると





ゆえに,∠A=90°の直角三角形または∠B=90°の直角三角形…(答)
(7.6)→

などを代入すると




(連立!)
よりa=b
よりb=c
ゆえに,a=b=cとなって正三角形…(答)

次の等式が成り立つとき,この三角形ABCはどのような形の三角形か
数学Tの正弦定理・余弦定理で解けるもの
…(8.1)
…(8.2)
…(8.3)
…(8.4)
…(8.5)
…(8.6)
…(8.7)
(解説)
(8.1)→

などを代入すると



ゆえに,b=cの二等辺三角形…(答)
(8.2)→

などを代入すると




ゆえに,a=bの二等辺三角形…(答)
※この問題については,原式からのとき
からA=Bを導く短縮答案が可能であるが,例外処理が長くなる
A=90°のときは,原式からとなって矛盾.B=90°のときも同様に矛盾.以上からA, B≠90°を言う)
(8.3)→

などを代入すると







b+c>0により,∠A=90°の直角三角形…(答)
(8.4)→

などを代入すると







または
ゆえに,∠A=90°の直角三角形または∠B=90°の直角三角形…(答)
(8.5)→


などを代入すると







ゆえに,a=bの二等辺三角形または∠C=90°の直角三角形…(答)
(8.6)→


により,両辺をで割ると


この式に などを代入すると







ゆえに,a=bの二等辺三角形または∠C=90°の直角三角形…(答)
(8.7)→
※普通に変形すると,左辺に2Rが残ってしまうので,これを避けるために一時的になどをで表してみる
(6.5)のときと話が逆になってるじゃないか?

いろいろ試してみるということです




ここで,第1余弦定理によりだから

ゆえに,∠A=90°の直角三角形…(答)
...メニューに戻る