sinθ+cosθsinθ cosθ→ 携帯版は別頁
問題__________[ 第1問 / 全5問中 ]
■解説
【 要点 】
(解説)
  2つの変数 x , y があるときに,それらの和 x+y の値が与えられても,それらの積 xy の値は決まらないし,逆にそれらの積 xy の値が与えられても,それらの和 x+y の値も決まらない.
 しかし,sinθ , cosθ の値は,sin2θ+cos2θ=1 の関係式で結ばれており,この関係を利用すると,
__________sinθ+cosθ の値 → sinθ cosθ の値
逆に,
__________sinθ cosθ の値 → (符号は別)sinθ+cosθ の値
が求められる.(※右の例で確かめよ.)
○ 一般に,sinθ+cosθ の値を t とおくと,
______sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ=t2
 ここで,sin2θ+cos2θ=1 だから
______1+2sinθ cosθ=t2
______sinθ cosθ= となる.

○ 応用問題として,sin3θ+cos3θ
=(sinθ+cosθ)(sin2θ−sinθ cosθ+cos2θ)
=(sinθ+cosθ)(1−sinθ cosθ)=t(1−)


の変形を利用する問題もよく出題される.
例1
 sinθ+cosθ= のとき,sinθ cosθ の値は次のようにして求められる.
sinθ+cosθ= の両辺を2乗すると

______sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ=
sin2θ+cos2θ=1 だから

______1+2sinθ cosθ=

______2sinθ cosθ=−

______sinθ cosθ=− …(答)
例2
 sinθ cosθ= のとき,sinθ+cosθ の値は次のようにして求められる.
sinθ+cosθ=t とおくと
______t2=sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ=1+2·=2
______t=± …(答)
(2乗して求めているので符号は決まらない)
※実際,
ア) θ=45°のときは sinθ=cosθ= だから,

sinθ cosθ=sinθ+cosθ=

イ) θ=225°のときは sinθ=cosθ=− だから,

sinθ cosθ=sinθ+cosθ=−

となり,いずれの値も取り得る.

■[個別の頁からの質問に対する回答][sinθ+cosθについて/17.3.23]
(5)の3乗公式が間違っていると思います
=>[作者]:連絡ありがとう.HELPの中の途中経過の符号が違うということで訂正しました.
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