■ 割り算について成り立つ等式(商と余りの関係,割り算の原理) → 携帯版
問題
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■解説
※定数項や1次式,2次式など単項式や多項式で表わされる式を整式という.
【 要約 】
 整式 A を 整式 B で割ると,商が Q 余りが R になるとき,
(1) A÷B=QR ⇔ A=BQ+R
(2) 余り R の次数は,割る式 B の次数よりも低い.
___________ ( B が1次 → R は定数)
___________ ( B が2次 → R は1次,定数)
___________ ( B が3次 → R は2次,1次,定数)
(証明)
 A÷B=QR のとき,
(1)
 割り算の中を見ると A - BQ=R だから
 A=BQ+R が成り立つ.(余りはかけ算に参加しない.)

(2) 数の割り算では,割る数が取り除ける限り取り除くので,余りは割る数よりも小さい.
 多項式の割り算では,割る式よりも次数が低くなるまで取り除くので,余りは割る式よりも次数が低い.

(蛇足)・・・割り算が何段階かに分けて行われるときも,上の説明でよい・・・
  数の割り算でも,多項式の割り算でも上ののように1段階で終わることは少なく,通常次のように,何段階かに分かれる.

 右の計算では,12円の
20倍の240円を引き出し,一旦残高が16円あることを確かめてから,12円の1倍の12円を引き出しているが,引き出した金額の合計は12×21であり,256-12×21=4になる.

 このように,割り算では何回かに分けて引くことはあるが,引いたものの合計はBQとなる.
数の割り算の場合
簡単な説明
(1)
(2) 数の割り算では,「余り」は「割る式」よりも小さい.
例1
 整式 Ax2+1 で割ると,商が 2x - 1 余りが x+3 になるとき,整式 A を求めよ.

(答案)
______A=(x2+1)(2x - 1)+(x+3)=2x3 - x2+3x+2 …(答)
例2
 整式 x3+x2 - x+2 を整式 B で割ると,商が x - 1 余りが 2x+1 になるとき,整式 B を求めよ.

(答案)
______x3+x2 - x+2=B (x - 1)+(2x+1)
______B (x - 1)=x3+x2 - x+2 -(2x+1)=x3+x2 - 3x+1
______B=(x3+x2 - 3x+1)÷(x - 1)=x2+2x - 1 …(答)
#危険な落とし穴#
A÷B=Q … R であっても  A÷Q=B … R とはならないことに注意(この問題では,Q:1次式で割って,余りが1次式となることはない.)
 したがって, x3+x2 - x+2x - 1 で割っても,求めるものは得られない.
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■[個別の頁からの質問に対する回答][割り算について成り立つ等式について/16.11.27]
とても分かりやすかったのでこれからも使わせて頂きます!!ありがとうございました
=>[作者]:連絡ありがとう.