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== 凹凸と変曲点 ==
【第2次導関数を用いた凹凸の判定】
(1) f ”(x)>0となる区間では,
y=f(x)のグラフは下に凸である
(2) f ”(x)<0となる区間では,
y=f(x)のグラフは上に凸である
(解説)
 導関数を用いて関数の増減を調べるときの議論を思い出すと,ある関数f(x)の導関数f ’(x)が,f ’(x)>0となる区間において,関数f(x)は増加します.
(1) 同様にして,ある導関数f ’(x)の導関数f ”(x)が,f ”(x)>0となる区間において,導関数f ’(x)は増加します.
 このとき,右図のように下に凸(とつ:ふくらんでいること)のグラフになります.
(2) 逆に,ある導関数f ’(x)の導関数f ”(x)が,f ”(x)<0となる区間において,導関数f ’(x)は減少します.
 このとき,右図のように上に凸のグラフになります.
##間違いやすい##
この公式は,ウッカリしていると,プラスが山だろうと早合点して逆に覚えてしまう可能性が大です.
どこかの参考書に書いてあった次の覚え方がよいと思いますので,図と結び付けて覚えるとよいでしょう.(両手を上げているか下げているかを見ます)
 上に凸という代わりに下に凹,下に凸という代わりに上に凹と言ってはいけないのか?
⇒ 理屈上は同じことを表していますが,ほとんどの教科書,授業では「どちら向きに凸か」で表現しているので,それに合わせる方がよい.

【例1.1】
 次の関数の凹凸を調べてください.

(解答)


だから,全区間で下に凸…(答)
【例1.2】
 次の関数の凹凸を調べてください.

(解答)


だから,において上に凸…(答)

【変曲点】
(解説)
 y=f(x)上の1点(a, f(a))を境として曲線の凹凸が変化するとき,この点を変曲点といいます.
 上に凸すなわち,f ”(x)>0の状態から,下に凸すなわち,f ”(x)<0の状態に変わるとき,その点でf ”(x)が定義されていれば,f ”(x)=0になります.
 また,下に凸すなわち,f ”(x)<0の状態から,上に凸すなわち,f ”(x)>0の状態に変わるときも,その点でf ”(x)が定義されていれば,f ”(x)=0になります.
f ”(x)=0,かつ,その点でf ”(x)の符号が変化する点は変曲点
(参考)
のグラフでは,の区間との区間とで凹凸が異なるが,曲線が繋がっていない(で定義されていない).このような場合は,変曲点とは言いません.

【例2.1】
 次の関数の凹凸を調べてください.

(解答)







++
のとき下に凸,は変曲点,のとき上に凸,は変曲点,のとき下に凸…(答)
場合によっては,表で答える略式答案でも許されることがあるでしょう



++
…(答)
凹凸を言葉で表現する答案も多い.



++
下に凸上に凸下に凸
…(答)

実際には,増減と凹凸を問う問題がほとんどなので,次のような表う使うことが多い.この場合,yの欄には増減と凹凸を組み合わせた次のような記号を用いる.




00+
+00+++
…(答)
※変曲点が問われているときは,次のように座標で答えなければなりません.変曲点は
【要約】
1. 変曲点はの形の座標で答える.
2. 凹凸は次のいずれかの形で答える.
(1) 「のとき上に凸」のように,区間を示して文章で表す.
(2) 表の中で∪,∩を用いて表す.
(3) 表の中で増減と凹凸を組み合わせた記号
で表す.

【例2.2】
 次の関数の凹凸,変曲点を調べてください.

(解答)


0



++00++
00+++0
10−10
青の二重線枠が定義域
凹凸は上の表の通り.変曲点は…(答)
【問題1】 次の関数の凹凸,変曲点を調べてください.
(1)

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(2)

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(3)

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(4)

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【第2次導関数を用いた極値の判定】
(1) f ’(a)=0かつf ”(a)>0のとき,f(a)は極小値である.
(2) f ’(a)=0かつf ”(a)<0のとき,f(a)は極大値である.
(解説)
[イラストによる解説]
 このページの初めの方に登場した,右の図(第2次導関数がプラスだったら下に凸,第2次導関数がマイナスだったら上に凸)を思い出すと,谷底と山頂に対応しているから,極小値と極大値になる.
[言葉と論理による解説]
(1)のf ’(a)=0かつf ”(a)>0のとき,f(a)は極小値であることの証明:


(A)
(B)
0
(C)
+
(D)
+
(E)
+
(F)
+
(G)
(H)
(I)
 (A)と(C)の符号を求めたいとする.
 与えられた条件から,x=aの前後でf ”(a)>0だから,右の表の(D)(E)(F)で示したy ”の符号+が埋まっている.
 次に,与えられた条件から(B)のy ’の符号0が埋まっている.
 さて,(D)によりy ”+だから,y ’は増えてきて,(B)の0になる.したがって,それまでマイナスだったことになる→(A)がマイナスであることが示された.
 また,(B)の0から右に進むと,(F)によりy ”+だから,y ’は増える.0から増えるのだから,それからはプラスになる.→(C)がプラスであることが示された.
 以上により,(A)(C)の符号が決まったので,増減をみるとf(a)が極小値であることが分かる.
増えてきて0になるなら,それまではマイナス
0から増えるのなら,それからはプラス
(2)のf ’(a)=0かつf ”(a)<0のとき,f(a)は極大値であることの証明:


(A)
+
(B)
0
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I)
 (A)と(C)の符号を求めたいとする.
 与えられた条件から,x=aの前後でf ”(a)<0だから,右の表の(D)(E)(F)で示したy ”の符号が埋まっている.
 次に,与えられた条件から(B)のy ’の符号0が埋まっている.
 さて,(D)によりy ”だから,y ’は減ってきて,(B)の0になる.したがって,それまでプラスだったことになる→(A)がプラスであることが示された.
 また,(B)の0から右に進むと,(F)によりy ”だから,y ’は減る.0から減るのだから,それからはマイナスになる.→(C)がマイナスであることが示された.
 以上により,(A)(C)の符号が決まったので,増減をみるとf(a)が極大値であることが分かる.
減ってきて0になるなら,それまではプラス
0から減るのなら,それからはマイナス

(参考1)
 第2次導関数を用いた極値の判定の公式は「この公式を使って極値を判定することができる」ということを述べているだけで「この公式を使わなければ極値かどうかを判定することはできない」と述べているわけではない.実施のところ,x=aの前後でy’の符号の変化が分かれば,極値かどうかは分かる.
 一般に,y’を求める計算の方がy”を求める計算よりも簡単で間違いが少ないから,y’だけで増減が分かれば,y”を使わなくてもよい.高校生が出会う問題でy”を使わなければ極値の判定ができないような問題は,めったにない.(下に登場する問題で確かめておくとよい)
(参考2)

y"の図
 上記の証明(言葉と論理のよる解説)において,与えられた条件がf ’(a)f ”(a)すなわち(B)と(E)の符号だけであるのに,(D)と(F)の符号を勝手に使うのはズルいと考える人へ
 「微分可能な関数は連続である」のでf”(x)が定義されている場合は,f”(x)は連続です.平たく言えば,つながっています.(右図の×印のようなことは起こりません)
 したがって,f”(a)>0のとき,x=aの近傍でもf”(x)>0になります.…遠くの方で符号が変わることがありますが,上記の証明にはx=aの近傍だけでよく,f”(x)>0である範囲の値を考えればよい.

【例3.1】
 次の関数の極値を調べてください.

(解答)



のとき,だから極小.
極小値は
のとき,だから極大.
極大値は
(参考)
 次のように,第1次導関数までを使って求めることもできます.

−1
0
1
0+00+
−11−1
のとき,極小.極小値は
のとき,極大.極大値は
【問題2】 次の関数の極値を調べてください.
(1)

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(2)

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 授業で凹凸と変曲点の解説をするときは別として,凹凸だけを問う問題はあまり出ません.多いのは,「増減,極値,凹凸,変曲点,漸近線を調べてグラフを描け」という形の問題です.(漸近線の方程式の求め方については,≪1.このページ≫≪2.このページ≫を見てください.)
【問題3】
(1) 次の関数の増減,極値,凹凸,変曲点,漸近線を調べてグラフを描いてください.

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(2) 次の関数の増減,極値,凹凸,変曲点,漸近線を調べてグラフを描いてください.

解説を読む
(3) 次の関数の増減,極値,凹凸,変曲点,漸近線を調べてグラフを描いてください.

解説を読む

(4)

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凹凸,変曲点の大学入試問題
【問題4.1】
 関数の値の増減,グラフの凹凸,漸近線の有無について調べ,そのグラフの概形を描け.
(2005年 愛知教育大)
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【問題4.2】
 関数がある.
(1) の導関数を求めよ.
(2) の第2次導関数を求めよ.
(3) 曲線(ただし,)の増減表を書け.増減表には,増減のほか,凹凸についても明示すること.
(4) 曲線(ただし,)のグラフを描け.
(2011年山形大)
解説を読む

(参考)
 f ’(a)=0かつf ”(a)が正(負)のとき,f(a)は極小値(極大値)と言えますが,f ”(a)も0なら極値かどうか判定できません.
 その場合は,さらに第3次導関数を使って求めることができます.
 一般に,第1次導関数から第n次導関数まですべて0で,第n+1次導関数が正負のいずれかであるとき,極値か否かを判定することができます.
(1) f ’(a)=0, f ”(a)=0かつf (3)(a)>0のとき
f (n)(x)は第n次導関数を表す記号です


(A)
+
(B)
0
(C)
+
(D)
(E)
0
(F)
+
(G)
+
(H)
+
(I)
+
(J)
(K)
(L)
 前にやった議論を思い出すと,次のように符号が埋まっていきます.
 (H)が+で微分可能だから,(G)が+になり,(E)が0だから,(D)のところは「増えて0になるのだから」それまでは−であったことになります.
 次に,(D)が−で(B)が0だから,(A)のところは「減って0になるのだから」それまでは+であったことになります.
 右半分は,(I)が+で(E)が0だから,(F)のところは「0から増えるのだから」そこからは+になります.
 さらに,(F)が+で(B)が0だから,(C)のところは「0から増えるのだから」そこからは+になります.
 結局,(A)が+,(C)も+となって,は極値ではないことが分かります.
例えばf(x)=x3のとき,f’(x)=3x2, f”(x)=6x,
f (3)(x)=6
だから,f’(0)=0, f”(0)=0, f (3)(0)>0となりますが,f(0)=0は極値ではありません.
(2) f ’(a)=0, f ”(a)=0, f (3)(a)=0かつf (4)(a)>0のとき


(A)
(B)
0
(C)
+
(D)
+
(E)
0
(F)
+
(G)
(H)
0
(I)
+
(J)
+
(K)
+
(L)
+
(M)
(N)
(O)
 (K)が+で微分可能だから,(J)が+になり,(H)が0だから,(G)のところは「増えて0になるのだから」それまでは−であったことになります.
 次に,(G)が−で(E)が0だから,(D)のところは「減って0になるのだから」それまでは+であったことになります.
 さらに,(D)が+で(B)が0だから,(A)のところは「増えて0になるのだから」それまでは−であったことになります.
 右半分は,(L)が+で(H)が0だから,(I)のところは「0から増えるのだから」そこからは+になります.
 さらに,(I)が+で(E)が0だから,(F)のところは「0から増えるのだから」そこからは+になります.
 さらに,(F)が+で(B)が0だから,(C)のところは「0から増えるのだから」そこからは+になります.
 結局,(A)が−,(C)は+となって,は極小値であることが分かります.
例えばf(x)=x4のとき,f’(x)=4x3, f”(x)=12x2,
f (3)(x)=24x, f (4)(x)=24
だから,f’(0)=0, f”(0)=0, f (3)(0)=0, f (4)(0)>0となり,f(0)=0は極小値になります.
(*) 以上の議論を振り返ってみると,右半分の符号は
f (n)(0)の符号に一致していることが分かります.0から増える(逆の場合は減る)だけだから.
 左半分は,「増えて0になる」「減って0になる」が交代するので,+と−が交互に登場することが分かります.
 以上の結果をまとめると,f’(a)=0, f”(a)=0, f (3)(a)=0, … , f (2n−1)(a)=0, f (2n)(a)>0のとき,f(a)は極小値
 f’(a)=0, f”(a)=0, f (3)(a)=0, … , f (2n)(a)=0,
f (2n+1)(a)>0
のとき,f(a)は極値ではないと言えます.
(**) f’(a)=0, f”(a)=0, f (3)(a)=0, … , f (2n−1)(a)=0,
f (2n)(a)<0
のとき等の場合については,以上の議論と符号が逆になります.
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