凹凸と変曲点

== 凹凸と変曲点 ==

【第2次導関数を用いた凹凸の判定】
(1) f ”(x)>0となる区間では，
y=f(x)のグラフは下に凸である．
(2) f ”(x)<0となる区間では，
y=f(x)のグラフは上に凸である．

（解説）
　導関数を用いて関数の増減を調べるときの議論を思い出すと，ある関数f(x)の導関数f ’(x)が，f ’(x)>0となる区間において，関数f(x)は増加します．

(1) 同様にして，ある導関数f ’(x)の導関数f ”(x)が，f ”(x)>0となる区間において，導関数f ’(x)は増加します．
　このとき，右図のように下に凸(とつ：ふくらんでいること)のグラフになります．

(2) 逆に，ある導関数f ’(x)の導関数f ”(x)が，f ”(x)<0となる区間において，導関数f ’(x)は減少します．
　このとき，右図のように上に凸のグラフになります．

##間違いやすい##
この公式は，ウッカリしていると，プラスが山だろうと早合点して逆に覚えてしまう可能性が大です．
どこかの参考書に書いてあった次の覚え方がよいと思いますので，図と結び付けて覚えるとよいでしょう．（両手を上げているか下げているかを見ます）

　上に凸という代わりに下に凹，下に凸という代わりに上に凹と言ってはいけないのか？
⇒ 理屈上は同じことを表していますが，ほとんどの教科書，授業では「どちら向きに凸か」で表現しているので，それに合わせる方がよい．

【例1.1】
　次の関数の凹凸を調べてください．
$y=e^x$

（解答）
$y\apos =e^x$
$y\apos\apos =e^x\hspace{3}(\gt 0)$
だから，全区間 $-\infty\lt x\lt\infty$ で下に凸…（答）

【例1.2】
　次の関数の凹凸を調べてください．
$y=\log x\hspace{5}(x\gt 0)$

（解答）
$y\apos =\frac{1}{x}$
$y\apos\apos =-\frac{1}{x^2}\hspace{3}(\lt 0)$
だから，x>0において上に凸…（答）

【変曲点】
（解説）
　y=f(x)上の１点(a, f(a))を境として曲線の凹凸が変化するとき，この点を変曲点といいます．
　上に凸すなわち，f ”(x)>0の状態から，下に凸すなわち，f ”(x)<0の状態に変わるとき，その点でf ”(x)が定義されていれば，f ”(x)=0になります．
　また，下に凸すなわち，f ”(x)<0の状態から，上に凸すなわち，f ”(x)>0の状態に変わるときも，その点でf ”(x)が定義されていれば，f ”(x)=0になります．

f ”(x)=0，かつ，その点でf ”(x)の符号が変化する点は変曲点

（参考）
$y=\frac{1}{x}$ のグラフでは，x<0の区間とx>0の区間とで凹凸が異なるが，曲線が繋がっていない（x=0で定義されていない）．このような場合は，変曲点とは言いません．

【例2.1】
　次の関数の凹凸を調べてください．
$y=x^4-x^3$

（解答）
$y\apos =4x^3-3x^2=x^2(4x-3)$
$y\apos=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=0,\hspace{3}\frac{3}{4}$
$y\apos\apos =12x^2-6x=6x(2x-1)$
$y\apos\apos =0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=0,\hspace{3}\frac{1}{2}$

x	…	…	$\frac{1}{2}$ $ \displaystyle \frac{1}{2} $	…
y''	+	−	0	+
y	∪	∩	$-\frac{1}{16}$ $ \displaystyle -\frac{1}{16} $	∪

x<0のとき下に凸，(0, 0)は変曲点， $0\lt x\lt\frac{1}{2}$ のとき上に凸， $(\frac{1}{2},\hspace{3}-\frac{1}{16})$ は変曲点， $x\gt\frac{1}{2}$ のとき下に凸…（答）

次のように表で答える略式答案も多い

x	…	…	$\frac{1}{2}$ $ \displaystyle \frac{1}{2} $	…
y''	+	−	0	+
y	∪	∩	$-\frac{1}{16}$ $ \displaystyle -\frac{1}{16} $	∪

…（答）

凹凸を言葉で表現する答案も多い．

x	…	…	$\frac{1}{2}$ $ \displaystyle \frac{1}{2} $	…
y''	+	−	0	+
y	下に凸	上に凸	$-\frac{1}{16}$ $ \displaystyle -\frac{1}{16} $	下に凸

…（答）

実際には，増減と凹凸を問う問題がほとんどなので，次のような表う使うことが多い．この場合，yの欄には増減と凹凸を組み合わせた次のような記号を用いる．

x	…	…	$\frac{1}{2}$ $ \displaystyle \frac{1}{2} $		$\frac{3}{4}$ $ \displaystyle \frac{3}{4} $	…
y'	−	−	−	−	0	+
y''	+	−	0	+	+	+
y			$-\frac{1}{16}$ $ \displaystyle -\frac{1}{16} $		$-\frac{27}{256}$ $ \displaystyle -\frac{27}{256} $

…（答）
※変曲点が問われているときは，次のように座標で答えなければなりません．変曲点は $(0,\hspace{3}0)$ ， $(\frac{1}{2},\hspace{3}-\frac{1}{16})$

【要約】
1. 変曲点は $(x_0,\hspace{3}y_0)$ の形の座標で答える．
2. 凹凸は次のいずれかの形で答える．

(1) 「0<x<1のとき上に凸」のように，区間を示して文章で表す．
(2) 表の中で∪，∩を用いて表す．
(3) 表の中で増減と凹凸を組み合わせた記号

で表す．

【例2.2】
　次の関数の凹凸，変曲点を調べてください．
$y=\sin x\hspace{5}(0\lt x\lt 2\pi)$

（解答）
$y\apos =\cos x$
$y\apos\apos =-\sin x$

x	0		$\frac{\pi}{2}$ $ \displaystyle \frac{\pi}{2} $		$\pi$ $ \displaystyle \pi $		$\frac{3}{2}\pi$ $ \displaystyle \frac{3}{2}\pi $		$2\pi$ $ \displaystyle 2\pi $
y'	+	+	0	−	−	−	0	+	+
y''	0	−	−	−	0	+	+	+	0
y			1		0		−1		0

青の二重線枠が定義域
凹凸は上の表の通り．変曲点は $(\pi,\hspace{3}0)$ …（答）

【問題１】　次の関数の凹凸，変曲点を調べてください．

(1)
$y=xe^{-x}$

解説を読む

$y\apos=e^{-x}+ x\times (-1)e^{-x}=e^{-x}(1-x)$
$y\apos\apos=-e^{-x}(1-x)+ e^{-x}\times(-1)=e^{-x}(x-2)$

x	…	1	…	2	…
y'	+	0	−	−	−
y''	−	−	−	0	+
y		極大 $\frac{1}{e}$ $ \displaystyle \frac{1}{e} $		変曲点 $\frac{2}{e^2}$ $ \displaystyle \frac{2}{e^2} $

x<2で上に凸，x>2で下に凸，
変曲点は $(2,\hspace{3}\frac{2}{e^2})$ …（答）…概形は右図（青丸は極大，赤丸は変曲点）

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(2)
$y=e^{-\frac{x^2}{2}}$

解説を読む

$y\apos=e^{-\frac{x^2}{2}}\times (-x)=-xe^{-\frac{x^2}{2}}$
$y\apos=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=0$
$y\apos\apos=-e^{-\frac{x^2}{2}}-xe^{-\frac{x^2}{2}}\times (-x)=e^{-\frac{x^2}{2}}(x^2-1)$
$y\apos\apos=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=\pm 1$

x		−1		0		1
y'	+	+	+	0	−	−	−
y''	+	0	−	−	−	0	+
y		変曲点 $\frac{1}{\sqrt{e}}$ $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}} $		極大 1		変曲点 $\frac{1}{\sqrt{e}}$ $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}} $

x<−1, x>1で下に凸，
−1<x<1で上に凸，
変曲点は $(\pm 1,\hspace{3}\frac{1}{\sqrt{e}})$ …（答）…概形は右図（青丸は極大，赤丸は変曲点）

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(3)
$y=\frac{x}{x^2+ 1}$

解説を読む

$y\apos=\frac{1\times (x^2+ 1)-x\times 2x}{(x^2+ 1)^2}=\frac{-x^2+ 1}{(x^2+ 1)^2}$
$y\apos=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=\pm 1$
$y\apos\apos=\frac{-2x(x^2+ 1)^2-(-x^2+ 1)\times 2(x^2+ 1)\times 2x}{(x^2+ 1)^4}$
$=\frac{-2x(x^2+ 1)(x^2+ 1-2x^2+ 2)}{(x^2+ 1)^4}$
$=\frac{-2x(x^2+ 1)(-x^2+ 3)}{(x^2+ 1)^4}$
$=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+ 1)^3}$
$y\apos\apos=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=0,\hspace{3}\pm\sqrt{3}$

x	…	$-\sqrt{3}$ $ \displaystyle -\sqrt{3} $	…	−1	…	0	…	1	…	$\sqrt{3}$ $ \displaystyle \sqrt{3} $	…
y'	−	−	−	0	+	+	+	0	−	−	−
y''	−	0	+	+	+	0	−	−	−	0	+
y		変曲点 $-\frac{\sqrt{3}}{4}$ $ \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{4} $		極小 $-\frac{1}{2}$ $ \displaystyle -\frac{1}{2} $		変曲点 0		極大 $\frac{1}{2}$ $ \displaystyle \frac{1}{2} $		変曲点 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ $ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} $

$x\lt -\sqrt{3},\hspace{3}0\lt x\lt\sqrt{3}$ で上に凸，
$-\sqrt{3}\lt x\lt 0,\hspace{3}x\gt \sqrt{3}$ で下に凸，
変曲点は
$(0,\hspace{3}0),\hspace{3}(-\sqrt{3},\hspace{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}),\hspace{3}(\sqrt{3},\hspace{3}\frac{\sqrt{3}}{4})$ …（答）
…概形は右図（青丸は極値，赤丸は変曲点）

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(4)
$y=\log (x^2+ 1)$

解説を読む

$y\apos=\frac{2x}{x^2+ 1}$
$y\apos=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=0$
$y\apos\apos=\frac{2(x^2+ 1)-2x\times 2x}{(x^2+ 1)^2}=-\frac{2(x^2-1}{(x^2+ 1)^2}$
$y\apos\apos=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=\pm 1$

x	…	−1	…	0	…	1	…
y'	−	−	−	0	+	+	+
y''	−	0	+	+	+	0	−
y		変曲点 $\log 2$ $ \displaystyle \log 2 $		極小 0		変曲点 $\log 2$ $ \displaystyle \log 2 $

x<−1, x>1で上に凸，
−1<x<1で下に凸，
変曲点は
$(-1,\hspace{3}\log 2),\hspace{3}(1,\hspace{3}\log 2)$ …（答）
…概形は右図（青丸は極小，赤丸は変曲点）

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【第2次導関数を用いた極値の判定】
(1) f ’(a)=0かつf ”(a)>0のとき，f(a)は極小値である．
(2) f ’(a)=0かつf ”(a)<0のとき，f(a)は極大値である．

（解説）

［イラストによる解説］
　このページの初めの方に登場した，右の図（第2次導関数がプラスだったら下に凸，第2次導関数がマイナスだったら上に凸）を思い出すと，谷底と山頂に対応しているから，極小値と極大値になる．

［言葉と論理による解説］
(1)のf ’(a)=0かつf ”(a)>0のとき，f(a)は極小値であることの証明：

x		a
y'	(A) −	(B) 0	(C) +
y''	(D) +	(E) +	(F) +
y	(G)	(H) f(a)	(I)

　(A)と(C)の符号を求めたいとする．
　与えられた条件から，x=aの前後でf ”(a)>0だから，右の表の(D)(E)(F)で示したy ”の符号+が埋まっている．
　次に，与えられた条件から(B)のy ’の符号0が埋まっている．
　さて，(D)によりy ”が+だから，y ’は増えてきて，(B)の0になる．したがって，それまでマイナスだったことになる→(A)がマイナスであることが示された．
　また，(B)の0から右に進むと，(F)によりy ”が+だから，y ’は増える．0から増えるのだから，それからはプラスになる．→(C)がプラスであることが示された．
　以上により，(A)(C)の符号が決まったので，増減をみるとf(a)が極小値であることが分かる．

増えてきて0になるなら，それまではマイナス
0から増えるのなら，それからはプラス

(2)のf ’(a)=0かつf ”(a)<0のとき，f(a)は極大値であることの証明：

x		a
y'	(A) +	(B) 0	(C) −
y''	(D) −	(E) −	(F) −
y	(G)	(H) f(a)	(I)

　(A)と(C)の符号を求めたいとする．
　与えられた条件から，x=aの前後でf ”(a)<0だから，右の表の(D)(E)(F)で示したy ”の符号−が埋まっている．
　次に，与えられた条件から(B)のy ’の符号0が埋まっている．
　さて，(D)によりy ”が−だから，y ’は減ってきて，(B)の0になる．したがって，それまでプラスだったことになる→(A)がプラスであることが示された．
　また，(B)の0から右に進むと，(F)によりy ”が−だから，y ’は減る．0から減るのだから，それからはマイナスになる．→(C)がマイナスであることが示された．
　以上により，(A)(C)の符号が決まったので，増減をみるとf(a)が極大値であることが分かる．

減ってきて0になるなら，それまではプラス
0から減るのなら，それからはマイナス

（参考1）
　第2次導関数を用いた極値の判定の公式は「この公式を使って極値を判定することができる」ということを述べているだけで「この公式を使わなければ極値かどうかを判定することはできない」と述べているわけではない．実施のところ，x=aの前後でy’の符号の変化が分かれば，極値かどうかは分かる．
　一般に，y’を求める計算の方がy”を求める計算よりも簡単で間違いが少ないから，y’だけで増減が分かれば，y”を使わなくてもよい．高校生が出会う問題でy”を使わなければ極値の判定ができないような問題は，めったにない．（下に登場する問題で確かめておくとよい）

（参考2）

y"の図

　上記の証明（言葉と論理のよる解説）において，与えられた条件がf ’(a)とf ”(a)すなわち(B)と(E)の符号だけであるのに，(D)と(F)の符号を勝手に使うのはズルいと考える人へ
　「微分可能な関数は連続である」のでf”(x)が定義されている場合は，f”(x)は連続です．平たく言えば，つながっています．（右図の×印のようなことは起こりません）
　したがって，f”(a)>0のとき，x=aの近傍でもf”(x)>0になります．…遠くの方で符号が変わることがありますが，上記の証明にはx=aの近傍だけでよく，f”(x)>0である範囲の値を考えればよい．

【例3.1】
　次の関数の極値を調べてください．
$y=x^4-2x^2$

（解答）
$y\apos =4x^3-4x=4x(x^2-1)$
$y\apos=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=0,\hspace{3}\pm 1$
$y\apos\apos =12x^2-4$
$x=\pm 1$ のとき， $y\apos=0,\hspace{3}y\apos\apos=8\gt 0$ だから極小．
極小値は−1
x=0のとき，y'=0, y''=−4<0だから極大．
極大値は0
（参考）
　数学Ⅱで習ったように，第1次導関数までだけを使って求めることもできます．

x		−1		0		1
y'	−	0	+	0	−	0	+
y	$\searrow$ $ \displaystyle \searrow $	−1	$\nearrow$ $ \displaystyle \nearrow $	1	$\searrow$ $ \displaystyle \searrow $	−1	$\nearrow$ $ \displaystyle \nearrow $

x=±1のとき，極小．極小値は−1
x=0のとき，極大．極大値は0

【問題２】　次の関数の極値を調べてください．

(1)
$y=x-\sqrt{x}$

解説を読む

$y\apos=1-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}$
$y\apos\apos=\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{4x\sqrt{x}}\gt 0$
$x=\frac{1}{4}$ のとき， $y\apos=0,\hspace{3}y\apos\apos\gt 0$ だから極小．
極小値は $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$ …（答）

（別解）第１次導関数と増減表で求める方法

x	0		$\frac{1}{4}$ $ \displaystyle \frac{1}{4} $
y'	$\times$ $ \displaystyle \times $	−	0	+
y	$\times$ $ \displaystyle \times $	$\searrow$ $ \displaystyle \searrow $	$-\frac{1}{4}$ $ \displaystyle -\frac{1}{4} $	$\nearrow$ $ \displaystyle \nearrow $

青の二重線枠が定義域
$x=\frac{1}{4}$ のとき，極小．極小値は $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$ …（答）
…概形は右図

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(2)
$y=e^{-x}\sin x\hspace{3}(0\lt x\lt \pi)$

解説を読む

$y\apos=-e^{-x}\sin x+ e^{-x}\cos x$
$=-e^{-x}(\cos x-\sin x)$
$y\apos=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\cos x=\sin x\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\tan x=1\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=\frac{\pi}{4}$
$y\apos\apos=-e^{-x}(\cos x-\sin x)+ e^{-x}(-\sin x-\cos x)$
$=-2e^{-x}\cos x$

$x=\frac{\pi}{4}$ のとき， $y\apos=0,\hspace{3}y\apos\apos\lt 0$ だから極大．
極大値は $e^{-\frac{\pi}{4}}\sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}}}$ …（答）

（別解）第１次導関数と増減表で求める方法

x	0	…	$\frac{\pi}{4}$ $ \displaystyle \frac{\pi}{4} $	…	$\pi$ $ \displaystyle \pi $
y'	$\times$ $ \displaystyle \times $	+	0	−	$\times$ $ \displaystyle \times $
y	$\times$ $ \displaystyle \times $	$\nearrow$ $ \displaystyle \nearrow $	$\frac{1}{\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}}}$	$\searrow$ $ \displaystyle \searrow $	$\times$ $ \displaystyle \times $

青の二重線枠が定義域
$x=\frac{\pi}{4}$ のとき，極大．
極大値は $\frac{1}{\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}}}$ …（答）
…概形は右図

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　授業で凹凸と変曲点の解説をするときは別として，凹凸だけを問う問題はあまり出ません．多いのは，「増減，極値，凹凸，変曲点，漸近線を調べてグラフを描け」という形の問題です．（漸近線の方程式の求め方については，≪1.このページ≫，≪2.このページ≫を見てください．）

【問題３】

(1)　次の関数の増減，極値，凹凸，変曲点，漸近線を調べてグラフを描いてください．
$y=x-\log x\hspace{5}(x\gt 0)$

解説を読む

$y\apos=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$
$y\apos\apos=\frac{x-(x-1)}{x^2}=\frac{1}{x^2}$

x	0		1
y'	$\times$ $ \displaystyle \times $	−	0	+
y''	$\times$ $ \displaystyle \times $	+	+	+
y	$\times$ $ \displaystyle \times $		1

青の二重線枠が定義域
x=1のとき，極小値1
極大値なし
x>0において下に凸，変曲点なし
漸近線の方程式はx=0
グラフの概形は右図…（答）

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(2)　次の関数の増減，極値，凹凸，変曲点，漸近線を調べてグラフを描いてください．
$y=x\log x\hspace{5}(x\gt 0)$

解説を読む

$y\apos=\log x+ 1$
$y\apos=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\log x=-1\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=e^{-1}$
$y\apos\apos=\frac{1}{x}\hspace{5}(\gt 0)$

x	0		$\frac{1}{e}$ $ \displaystyle \frac{1}{e} $
y'	$\times$ $ \displaystyle \times $	−	0	+
y''	$\times$ $ \displaystyle \times $	+	+	+
y	$\times$ $ \displaystyle \times $		$-\frac{1}{e}$ $ \displaystyle -\frac{1}{e} $

青の二重線枠が定義域
$x=\frac{1}{e}$ のとき，極小値 $-\frac{1}{e}$
極大値なし
x>0において下に凸，変曲点なし
漸近線なし
グラフの概形は右図…（答）
※このグラフで $\lim_{x\rightarrow+ 0}x\log x=0$ となること（x=0のときyは定義されないが，x→+0のときy→0となること：原点に〇が付いている）を示すのは，少し難しいが，ロピタルの定理を使って示せる．

$f(x),\hspace{3}g(x)$ が微分可能であるとき
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\apos(x)}{g\apos(x)}$

$\lim_{x\rightarrow+ 0}x\log x=\lim_{x\rightarrow+ 0}\frac{\log x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow+ 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}$
$=\lim_{x\rightarrow+ 0}(-x)=0$

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(3)　次の関数の増減，極値，凹凸，変曲点，漸近線を調べてグラフを描いてください．
$y=\frac{x}{x^2-1}$

解説を読む

$y\apos=\frac{x^2-1-x\times 2x}{(x^2-1)^2}=\frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}=-\frac{x^2+ 1}{(x^2-1)^2}\hspace{3}(\lt 0)$
$y\apos\apos=\frac{-2x(x^2-1)^2-(-x^2-1)\times 2(x^2-1)2x}{(x^2-1)^4}$
$=\frac{(x^2-1)(-2x+ 4x(x^2+ 1))}{(x^2-1)^4}$
$=\frac{4x^3-2x+ 4x}{(x^2-1)^3}=\frac{4x^3+ 2x}{(x^2-1)^3}=\frac{2x(2x^2+ 1)}{(x^2-1)^3}$

x		−1		0		1
y'	−	$\times$ $ \displaystyle \times $	−	−	−	$\times$ $ \displaystyle \times $	−
y''	−	$\times$ $ \displaystyle \times $	+	0	−	$\times$ $ \displaystyle \times $	+
y		$\times$ $ \displaystyle \times $		0		$\times$ $ \displaystyle \times $

赤の破線部分は関数が定義されない
x<−1, −1<x<1, 1<xにおいて単調増加
極値なし
x<−1, 0<x<1において上に凸，−1<x<0, 1<xにおいて下に凸
(0, 0)は変曲点
漸近線の方程式は
x=−1, x=1, y=0
グラフの概形は右図 …（答）

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(4)
$y=2\cos x-\sin 2x\hspace{5}(0\underline{\le}x\underline{\le}\pi)$

解説を読む

$y\apos=-2\sin x-2\cos 2x$
$=-2\sin x-2(1-2\sin^2 x)$
$=4\sin^2 -2\sin x-2=2(2\sin^2 x-\sin x-1)$
$=2(2\sin x+ 1)(\sin x-1)$
$y\apos=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=\frac{\pi}{2}$
$y\apos\apos=-2\cos x+ 4\sin 2x$
$=-2\cos x+ 8\sin x\cos x$
$=2\cos x(4\sin x-1)$
$y\apos\apos=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=\frac{\pi}{2}$ および $\sin\alpha=\frac{1}{4}$ となる角 $\alpha$

$x$ $ \displaystyle x $	$0$ $ \displaystyle 0 $		$\alpha$ $ \displaystyle \alpha $		$\frac{\pi}{2}$ $ \displaystyle \frac{\pi}{2} $		$\pi-\alpha$ $ \displaystyle \pi-\alpha $		$\pi$ $ \displaystyle \pi $
y'	−	−	−	−	0	−	−	−	−
y''	−	−	0	+	0	−	0	+	+
y	2		変曲点 $\frac{3\sqrt{15}}{8}$		変曲点 0		変曲点 $-\frac{3\sqrt{15}}{8}$		−2

0≦x≦πにおいて単調減少
極値なし
$0\lt\alpha,\hspace{3}\frac{\pi}{2}\lt x\lt \pi-\alpha$ において上に凸， $\alpha\lt x\lt\frac{\pi}{2},\hspace{3}\pi-\alpha\lt x\lt\pi$
において下に凸
変曲点は $(\alpha,\hspace{3}\frac{3\sqrt{15}}{8}),\hspace{3}(0,\hspace{3}0),$
$\hspace{3}(\pi-\alpha,\hspace{3}-\frac{3\sqrt{15}}{8})$
漸近線なし
グラフの概形は右図

※この問題は，高校生にとっては難しい．その１つの理由は，角 $\alpha$ が既知の数値で表せなくて， $\sin\alpha=\frac{1}{4}$ となる角という具合に間接的に表現せざるを得ない点にある．このような問題でも，何問か練習するとできるようになる．

$\sin\alpha=\frac{1}{4}\hspace{3}(0\lt x\lt\frac{\pi}{2})$ のとき， $\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$
$\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos\alpha=2\times\frac{1}{4}\times\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{8}$
などとして， $y$ の値を求める．
　もう1つ， $y\apos\apos$ の符号を決める計算も難しいが，次のように地道に積み上げていくとできる．
$\cos x$ ⇒ $0\underline{\le}x\lt\frac{\pi}{2}$ で正， $x=\frac{\pi}{2}$ で0， $\frac{\pi}{2}\lt x\underline{\le}\pi$ で負
$4\sin x-1$ ⇒ $0\underline{\le}x\lt\alpha$ で負， $x=\alpha$ で0， $\alpha\lt x\lt\pi-\alpha$ で正， $\pi-\alpha\lt x\underline{\le}\pi$ で負

$x$ $ \displaystyle x $		$\alpha$ $ \displaystyle \alpha $		$\frac{\pi}{2}$ $ \displaystyle \frac{\pi}{2} $		$\pi-\alpha$ $ \displaystyle \pi-\alpha $
$\cos x$ $ \displaystyle \cos x $	+	+	+	0	−	−	−
$4\sin x-1$ $ \displaystyle 4\sin x-1 $	−	0	+	+	+	0	−
２つの符号の積	−	0	+	0	−	0	+

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凹凸，変曲点の大学入試問題

【問題4.1】

　関数 $y=\frac{x^2-x+ 1}{x^2}$ の値の増減，グラフの凹凸，漸近線の有無について調べ，そのグラフの概形を描け．

（2005年愛知教育大）

解説を読む

$y\apos=\frac{(2x-1)x^2-(x^2-x+ 1)2x}{x^4}$
$=\frac{2x^3-x^2-2x^3+ 2x^2-2x}{x^4}$
$=\frac{x^2-2x}{x^4}=\frac{x-2}{x^3}$
$y\apos\apos=\frac{x^3-(x-2)3x^2}{x^6}=\frac{x^3-3x^3+ 6x^2}{x^6}$
$=\frac{-2x^3+ 6x^2}{x^6}=-\frac{2(x-3)}{x^4}$

x	−∞		0		2		3		∞
y'		+	$\times$ $ \displaystyle \times $	−	0	+	+	+
y''		+	$\times$ $ \displaystyle \times $	+	+	+	0	−
y	(1←)		$\times$ $ \displaystyle \times $		極小 $\frac{3}{4}$ $ \displaystyle \frac{3}{4} $		変曲点 $\frac{7}{9}$ $ \displaystyle \frac{7}{9} $		(→1)

x<0, 2<xにおいて単調増加，0<x<2において単調減少
x=2において極小．極小値は $\frac{3}{4}$ ，極大値はなし
x<0, 0<x<3において下に凸，3<xにおいて上に凸
$(3,\hspace{3}\frac{3}{4})$ は変曲点
$\lim_{x\rightarrow 0}y=\infty$ だから，直線x=0は漸近線
$\lim_{x\rightarrow -\infty}y=1,\hspace{5}\lim_{x\rightarrow \infty}y=1$ だから，直線y=1は漸近線
グラフの概形は次の図

…（答）

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【問題4.2】

　関数 $f(x)=x+\cos(2x)$ がある．
(1) f(x)の導関数f’(x)を求めよ．
(2) f(x)の第2次導関数f”(x)を求めよ．
(3) 曲線y=f(x)（ただし， $0\underline{\le}x\underline{\le}\frac{\pi}{2}$ ）の増減表を書け．増減表には，増減のほか，凹凸についても明示すること．
(4) 曲線y=f(x)（ただし， $0\underline{\le}x\underline{\le}\frac{\pi}{2}$ ）のグラフを描け．

（2011年山形大）

解説を読む

(1) $f\apos(x)=1-2\sin 2x$
(2) $f\apos\apos(x)=-4\cos 2x$
(3) $0\underline{\le}x\underline{\le}\frac{\pi}{2}$ のとき $0\underline{\le}2x\underline{\le}\pi$
$1-2\sin 2x=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\sin 2x=\frac{1}{2}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}2x=\frac{\pi}{6},\hspace{3}\frac{5}{6}\pi$
$\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=\frac{\pi}{12},\hspace{3}\frac{5}{12}\pi$
$-4\sin 2x=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\sin 2x=0\overset{\rightarrow}{\leftarrow}2x=\frac{\pi}{2}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=\frac{\pi}{4}$

x	0		$\frac{\pi}{12}$ $ \displaystyle \frac{\pi}{12} $		$\frac{\pi}{4}$ $ \displaystyle \frac{\pi}{4} $		$\frac{5\pi}{12}$ $ \displaystyle \frac{5\pi}{12} $		$\frac{\pi}{2}$ $ \displaystyle \frac{\pi}{2} $
y'	+	+	0	−	−	−	0	+	+
y''	−	−	−	−	0	+	+	+	+
y	1		極大 $\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$		変曲点 $\frac{\pi}{4}$ $ \displaystyle \frac{\pi}{4} $		極小 $\frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}$		$\frac{\pi}{2}-1$ $ \displaystyle \frac{\pi}{2}-1 $

グラフは次の図

$\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\pi}{12}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{5}{2}\pi$

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（参考）
　f ’(a)=0かつf ”(a)が正（負）のとき，f(a)は極小値（極大値）と言えますが，f ”(a)も０なら極値かどうか判定できません．
　その場合は，さらに第3次導関数を使って求めることができます．
　一般に，第１次導関数から第ｎ次導関数まですべて０で，第n+1次導関数が正負のいずれかであるとき，極値か否かを判定することができます．
(1) f ’(a)=0, f ”(a)=0かつf (3)(a)>0のとき

f (n)(x)は第ｎ次導関数を表す記号です

x		a
y'	(A) +	(B) 0	(C) +
y''	(D) −	(E) 0	(F) +
$y^{(3)}$ $ \displaystyle y^{(3)} $	(G) +	(H) +	(I) +
y	(J) $\nearrow$ $ \displaystyle \nearrow $	(K) f(a)	(L) $\nearrow$ $ \displaystyle \nearrow $

　前にやった議論を思い出すと，次のように符号が埋まっていきます．
　(H)が＋で微分可能だから，(G)が＋になり，(E)が０だから，(D)のところは「増えて０になるのだから」それまでは−であったことになります．
　次に，(D)が−で(B)が０だから，(A)のところは「減って０になるのだから」それまでは＋であったことになります．
　右半分は，(I)が＋で(E)が０だから，(F)のところは「０から増えるのだから」そこからは＋になります．
　さらに，(F)が＋で(B)が０だから，(C)のところは「０から増えるのだから」そこからは＋になります．
　結局，(A)が＋,(C)も＋となって，f(a)は極値ではないことが分かります．

例えばf(x)=x3のとき，f’(x)=3x2, f”(x)=6x,
f (3)(x)=6だから，f’(0)=0, f”(0)=0, f (3)(0)>0となりますが，f(0)=0は極値ではありません．

(2) f ’(a)=0, f ”(a)=0, f (3)(a)=0かつf (4)(a)>0のとき

x		a
y'	(A) −	(B) 0	(C) +
y''	(D) +	(E) 0	(F) +
$y^{(3)}$ $ \displaystyle y^{(3)} $	(G) −	(H) 0	(I) +
$y^{(4)}$ $ \displaystyle y^{(4)} $	(J) +	(K) +	(L) +
y	(M) $\searrow$ $ \displaystyle \searrow $	(N) f(a)	(O) $\nearrow$ $ \displaystyle \nearrow $

　(K)が＋で微分可能だから，(J)が＋になり，(H)が０だから，(G)のところは「増えて０になるのだから」それまでは−であったことになります．
　次に，(G)が−で(E)が０だから，(D)のところは「減って０になるのだから」それまでは＋であったことになります．
　さらに，(D)が＋で(B)が０だから，(A)のところは「増えて０になるのだから」それまでは−であったことになります．
　右半分は，(L)が＋で(H)が０だから，(I)のところは「０から増えるのだから」そこからは＋になります．
　さらに，(I)が＋で(E)が０だから，(F)のところは「０から増えるのだから」そこからは＋になります．
　さらに，(F)が＋で(B)が０だから，(C)のところは「０から増えるのだから」そこからは＋になります．
　結局，(A)が−,(C)は＋となって，f(a)は極小値であることが分かります．

例えばf(x)=x4のとき，f’(x)=4x3, f”(x)=12x2,
f (3)(x)=24x, f (4)(x)=24だから，f’(0)=0, f”(0)=0, f (3)(0)=0, f (4)(0)>0となり，f(0)=0は極小値になります．

(*) 以上の議論を振り返ってみると，右半分の符号は
f (n)(0)の符号に一致していることが分かります．０から増える（逆の場合は減る）だけだから．
　左半分は，「増えて０になる」「減って０になる」が交代するので，＋と−が交互に登場することが分かります．
　以上の結果をまとめると，f’(a)=0, f”(a)=0, f (3)(a)=0, … , f (2n−1)(a)=0, f (2n)(a)>0のとき，f(a)は極小値
　f’(a)=0, f”(a)=0, f (3)(a)=0, … , f (2n)(a)=0,
f (2n+1)(a)>0のとき，f(a)は極値ではないと言えます．

(**) f’(a)=0, f”(a)=0, f (3)(a)=0, … , f (2n−1)(a)=0,
f (2n)(a)<0のとき等の場合については，以上の議論と符号が逆になります．

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