分数関数の極値,漸近線

♪～分数関数の極値，漸近線～♠

　次の関数の増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線を調べ，グラフを描いてください

【問題1】
$y=\frac{1}{x^2+ 1}$

（解答）
$y\apos=\frac{-2x}{(x^2+ 1)^2}$
$y\apos=0$ ⇔ $x=0$
$y\apos\apos=\frac{-2(x^2+ 1)^2-(-2x)\cdot 2(x^2+ 1)\cdot 2x}{(x^2+ 1)^4}$
$=\frac{-2(x^2+ 1)+ 8x^2}{(x^2+ 1)^3}=\frac{6x^2-2}{(x^2+ 1)^3}=\frac{2(3x^2-1)}{(x^2+ 1)^3}$

$y\apos\apos=0$ ⇔ $x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

x	−∞←	…	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$ $ -\frac{1}{\sqrt{3}} $	…	0	…	$\frac{1}{\sqrt{3}}$ $ \frac{1}{\sqrt{3}} $	…	→∞
y’		+	+	+	0	−	−	−
y”		+	0	−	−	−	0	+
y	0←		$\frac{3}{4}$ $ \frac{3}{4} $		1		$\frac{3}{4}$ $ \frac{3}{4} $		→0

［記号]

:増加で下に凸，

:増加で上に凸

:減少で下に凸，

:減少で上に凸

• x=0のとき，極大値1
• 変曲点の座標 $\big(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\hspace{3}\frac{3}{4}\big)$
≒(±0.577, 0.75)
• 漸近線の方程式 y=0
　（ $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=0$ )

※一般に，分数関数で（分母の次数）＞（分子の次数）のときは，x→±∞のときy→0，すなわち左右ともx軸が漸近線になる．

極大値	極小値	変曲点	横向き漸近線	縦向き漸近線	斜め漸近線
有り●	なし	有り●	有り---	なし	なし

グラフは，次の図のようになる
（y軸に関して対称）

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{3}{4}$

【問題2】
$y=\frac{x}{x^2+ 1}$

（解答）
$y\apos=\frac{1\cdot(x^2+ 1)-x\cdot 2x}{(x^2+ 1)^2}=\frac{-(x^2-1)}{(x^2+ 1)^2}=\frac{-(x-1)(x+ 1)}{(x^2+ 1)^2}$
$y\apos=0$ ⇔ $x=\pm 1$
$y\apos\apos=\frac{-2x(x^2+ 1)^2-(-x^2+ 1)\cdot 2(x^2+ 1)\cdot 2x}{(x^2+ 1)^4}$
$=\frac{-2x(x^2+ 1)-(-x^2+ 1)\cdot 4x}{(x^2+ 1)^3}$
$=\frac{-2x^3-2x+ 4x^3-4x}{(x^2+ 1)^3}$
$=\frac{2x^3-6x}{(x^2+ 1)^3}$
$=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+ 1)^3}$
$y\apos\apos=0$ ⇔ $x=\pm\sqrt{3}$

−∞←

…

$-\sqrt{3}$

…

−1

…

$\sqrt{3}$

…

→∞

y’

−

y”

−

0←

$-\frac{\sqrt{3}}{4}$

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

→0

［記号]

:増加で下に凸，

:増加で上に凸

:減少で下に凸，

:減少で上に凸

• x=1のとき，極大値 $\frac{1}{2}$
• x=−1のとき，極小値 $-\frac{1}{2}$
• 変曲点の座標 $\big(-\sqrt{3},\hspace{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\big),\hspace{3}(0,0),\hspace{3}\big(\sqrt{3},\hspace{3}\frac{\sqrt{3}}{4}\big)$
• 漸近線の方程式 y=0
　（ $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=0$ )

※一般に，分数関数で（分母の次数）＞（分子の次数）のときは，x→±∞のときy→0，すなわち左右ともx軸が漸近線になる．

極大値	極小値	変曲点	横向き漸近線	縦向き漸近線	斜め漸近線
有り●	有り●	有り●	有り---	なし	なし

グラフは，次の図のようになる
（原点に関して対称）

$\sqrt{3}$ $-\sqrt{3}$

【問題3】
$y=\frac{x^2}{x^2+ 1}$

（解答）
$y=1-\frac{1}{x^2+ 1}$
と書けるから，【問題1】の結果を利用できる
$y\apos=\frac{2x}{(x^2+ 1)^2}$
$y\apos=0$ ⇔ $x=0$
$y\apos\apos=\frac{-2(3x^2-1)}{(x^2+ 1)^3}$

$y\apos\apos=0$ ⇔ $x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

x	−∞←	…	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$ $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	…	0	…	$\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	…	→∞
y’		−	−	−	0	+	+	+
y”		−	0	+	+	+	0	−
y	1←		$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$		0		$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$		→1

［記号]

:増加で下に凸，

:増加で上に凸

:減少で下に凸，

:減少で上に凸

• x=0のとき，極小値0
• 変曲点の座標 $\big(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\hspace{3}\frac{1}{4}\big)$
• 漸近線の方程式 y=1
　（ $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=1$ )

極大値	極小値	変曲点	横向き漸近線	縦向き漸近線	斜め漸近線
なし	有り●	有り●	有り---	なし	なし

グラフは，次の図のようになる
（原点に関して対称）

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{1}{4}$

♪～分数関数～♠

　次の関数のグラフを描いてください

変曲点を求めることにすると，第２次導関数が必要となり，計算が複雑すぎるので，以下の問題では，変曲点は求めなくてもよいことにする

【問題4】
$y=\frac{x-1}{x-2}$

（解答）

$y=b+\frac{k}{x-a}$ のグラフは， $y=\frac{k}{x}$ のグラフをx軸方向にa，y軸方向にbだけ平行移動したもので，漸近線の方程式はx=a, y=bとなる．
※この形は超基本なので，微分するまでもなくグラフを描ける

$y=\frac{x-1}{x-2}=1+\frac{1}{x-2}$
と変形できるから，漸近線の方程式は，x=2, y=1

※分母→0となるxの値が，y軸に平行（x軸に垂直）な漸近線を表す

　増減，極値，漸近線を調べて，次の関数のグラフを描いてください

【問題5】
$y=\frac{x-2}{(x-1)(x-3)}$

（解答）
• この問題のように，多くの式の積や商からなる関数を微分するときは「対数微分法」（←解説はこのページ）を利用すると楽になる．次のように行う．
$\log\mid y\mid=\log\mid x-2\mid-\log\mid x-1\mid-\log\mid x-3\mid$
$\frac{y\apos}{y}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-3}$
$=\frac{(x-1)(x-3)-(x-2)(x-3)-(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-1)(x-3)}$
$=\frac{x^2-4x+ 3-(x^2-5x+ 6)-(x^2-3x+ 2)}{(x-2)(x-1)(x-3)}$
$=\frac{-x^2+ 4x- 5}{(x-2)(x-1)(x-3)}$
$y\apos=\frac{-x^2+ 4x- 5}{(x-2)(x-1)(x-3)}\times\frac{x-2}{(x-1)(x-3)}$
$=\frac{-(x^2-4x+ 5)}{(x-1)^2(x-3)^2}=\frac{-\{(x-2)^2+ 1\}}{(x-1)^2(x-3)^2}\lt 0$

x	−∞←	…	1	…	2	…	3	…	→∞
y’		−	×	−	0	−	×	−
y	0←	$\searrow$ $ \searrow $	×	$\searrow$ $ \searrow $	0	$\searrow$ $ \searrow $	×	$\searrow$ $ \searrow $	→0

• 極値なし
• 漸近線の方程式 x=1, x=3, y=0
　（ $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=0$ )

• 分母→0となるxの値が，y軸に平行（x軸に垂直）な漸近線を表す(---)
　　x=1, x=3
• x→±∞のときのyの極限値がx軸に平行な漸近線を表す(---)
　　y=0
• 分子=0となるxの値が，x軸との交点を表す
　　x=2

　増減，極値，漸近線を調べて，次の関数のグラフを描いてください

【問題6】
$y=\frac{x-1}{(x+ 1)^2(x-2)}$

（解答）
• この問題のように，多くの式の積や商からなる関数を微分するときは「対数微分法」（←解説はこのページ）を利用すると楽になる．次のように行う．
$\log\mid y\mid=\log\mid x-1\mid-2\log\mid x+ 1\mid-\log\mid x-2\mid$
$\frac{y\apos}{y}=\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+ 1}-\frac{1}{x-2}$
$=\frac{(x+ 1)(x-2)-2(x-1)(x-2)-(x+ 1)(x-1)}{(x-1)(x+ 1)(x-2)}$
$=\frac{(x^2-x-2)-2(x^2-3x+ 2)-(x^2-1)}{(x-1)(x+ 1)(x-2)}$
$=\frac{-2x^2+ 5x-5}{(x-1)(x+ 1)(x-2)}$
$y\apos=\frac{-(2x^2-5x+ 5)}{(x-1)(x+ 1)(x-2)}\times\frac{x-1}{(x+ 1)^2(x-2)}$
$y\apos=\frac{-(2x^2-5x+ 5)}{(x+ 1)^3(x-2)^2}$
ここで，分子のカッコ内は，D=25−40=−15<0だから，(分子)はつねに負

x	−∞←	…	−1	…	2	…	→∞
y’		+	×	−	×	−
y	0←	$\nearrow$ $\nearrow$	×	$\searrow$ $\searrow$	×	$\searrow$ $\searrow$	→0

• 極値なし
• 漸近線の方程式 x=−1, x=2, y=0
　（ $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=0$ )

• 分母→0となるxの値が，y軸に平行（x軸に垂直）な漸近線を表す(---)
　　x=−1, x=2
• x→±∞のときのyの極限値がx軸に平行な漸近線を表す(---)
　　y=0
• 分子=0となるxの値が，x軸との交点を表す
　　x=1

　増減，極値，漸近線を調べて，次の関数のグラフを描いてください

【問題7】
$y=\frac{x^2}{x-1}$

（解答）
$y=x+ 1+ \frac{1}{x-1}$
と変形できるから
• 斜め方向の漸近線はy=x+1
• 縦方向の漸近線はx=1
$y\apos=1-\frac{1}{(x-1)^2}$
$=\frac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$

x	−∞←	…	…	1	…	2	…	→∞
y’		+	−	×	−	0	+
y	x+1←	$\nearrow$ $\large{ \nearrow }$	$\searrow$ $\large{ \searrow }$	×	$\searrow$ $\large{ \searrow }$	4	$\nearrow$ $\large{ \nearrow }$	→x+1

• x=0のとき，極大値0
• x=2のとき，極小値4
• 漸近線の方程式 y=x+1, x=1

　増減，極値，漸近線を調べて，次の関数のグラフを描いてください

【問題8】
$y=\frac{x^3+ 2}{x}$

（解答）
$y=x^2+ \frac{2}{x}$
と変形できるから， $y=x^2$ とx=0が漸近線であるが，高校数学では漸近線として直線だけを考えるので，x=0を答えるとよい．
$y\apos=2x-\frac{1}{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}$
$=\frac{2(x-1)(x^2+ x+ 1)}{x^2}$
$y\apos=0$ ⇔ $x=1$

x	−∞←	…	0	…	1	…	→∞
y’		−	×	−	0	+
y	∞←	$\searrow$ $\large{ \searrow }$	×	$\searrow$ $\large{ \searrow }$	3	$\nearrow$ $\large{ \nearrow }$	→∞

• 極大値なし
• x=1のとき，極小値3
• 漸近線の方程式 x=1

【漸近線の求め方(まとめ)】
　一般に，関数y=f(x)の漸近線は，次のように求めることができる．

① ［y軸に平行な漸近線］
$\lim_{x\rightarrow a+ 0}f(x)=\pm\infty$ または $\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=\pm\infty$ のとき，x=aが漸近線

(注1)

② ［x軸に平行な漸近線］
$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=a$ または $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=a$ のとき，y=aが漸近線

(注2)

③ ［斜め方向の漸近線y=mx+k］
この形の漸近線の方程式は，次の2段階で求めることができる（順序が重要）(注3)

1)　 $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=m$ または $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f(x)}{x}=m$ のとき，傾きをmとする．
2)　1)で求めたmの値を使って， $\lim_{x\rightarrow \infty}\{f(x)-mx\}=k$ または $\lim_{x\rightarrow-\infty}\{f(x)-mx\}=k$ のとき，y切片をkとする．
1)2)から，y=mx+kを漸近線とする

　上記で述べたのは，一般の場合で，分母と分子がどちらも多項式の場合は，漸近線の方程式はもっと簡単に分かる．

① ［y軸に平行な漸近線］
• 関数 $y=\frac{x-2}{x-1}$ のように，分母が0となるxの実数値1があれば，x=1が漸近線となる．（分子のx=2はx軸との交点を表し，漸近線とは関係ない）
• 関数 $y=\frac{x-3}{(x-1)^2(x-2)}$ のように，分母が0となるxの実数値が複数個1, 2とあれば，複数個のx=1, x=2が漸近線となる．

• 関数 $y=\frac{x-2}{x^2+ 1}$ のように，分母が0となるxの実数値がないとき，y軸に平行な漸近線はない
② ［x軸に平行な漸近線］
• 関数 $y=\frac{x-2}{x^2-1}$ のように，(分子の次数)<(分母の次数)のときは， $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=0$ となるから，y=0が漸近線となる
• 関数 $y=\frac{3x^2-2}{2x^2-1}$ のように，(分子の次数)=(分母の次数)のときは， $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=\frac{3}{2}$ となるから，最高次の係数の比 $y=\frac{3}{2}$ が漸近線となる
③ ［斜め方向の漸近線y=mx+k］
• $y=\frac{x^2+ 2x-2}{x-1}$ のように，(分子の次数)>(分母の次数)となっているときは，「割り算を行って，商と余りに分ける変形」=「数研の参考書で『分数式は富士の山』と呼ばれる変形方法」により
$(x^2+ 2x-2)\div (x-1)=x+ 3\cdot\cdot\cdot 1$
$x^2+ 2x-2=x+ 3+\frac{1}{x-1}$
$y=x+ 3+\frac{1}{x-1}$

と変形すると， $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{1}{x-1}=0$ となるから，y=x+3が漸近線となる
• 【問題8】のように，商と余りに分けたときに，商が2次以上の多項式となる場合
$y=x^2+ \frac{2}{x}$
$y=x^2$ が漸近線になるが，「高校数学では，漸近線として直線までを扱う」ので，曲線となる漸近線は答えなくてもよい．

(注1)

右側極限 $\lim_{x\rightarrow a+ 0}f(x)$ と，左側極限 $\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)$ は，様々な組み合わせがある
「符号が逆の場合」

→ 【問題4】のx=2では
$\lim_{x\rightarrow 2+ 0}\frac{x-1}{x-2}=\infty$
$\lim_{x\rightarrow 2-0}\frac{x-1}{x-2}=-\infty$
であって，x=2が漸近線になっている

「符号が同じ場合」

→ 【問題6】のx=−1では
$\lim_{x\rightarrow -1+ 0}\frac{x-1}{(x+ 1)^2(x-2)}=\infty$
$\lim_{x\rightarrow -1-0}\frac{x-1}{(x+ 1)^2(x-2)}=\infty$
であって，x=−1が漸近線になっている

「左右で異なる極限値になる場合」がある

→ 右図は $y=e^{\frac{1}{x}}$ のグラフで
$\lim_{x\rightarrow + 0}\big(e^{\frac{1}{x}}\big)=\infty$
$\lim_{x\rightarrow -0}\big(e^{\frac{1}{x}}\big)=0$
左右で異なる極限値になるが，右側極限だけを見て，漸近線はx=0とする．

「一方だけ極限があるが他方はない場合」

→ 右図は $y=\log x$ のグラフで
$\lim_{x\rightarrow + 0}\big(\log x\big)=-\infty$
x≦0のときは関数は定義されないが，右側極限だけを見て，漸近線はx=0とする．

(注2)

$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=a$ または $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=a$ のとき
xが正の無限大に発散するときの漸近線と，xが負の無限大に発散するときの漸近線の組合せは，様々で，
「それらの漸近線が一致する場合」
　　⇒ 【問題1】～【問題7】
「異なる漸近線になる場合」
　　⇒ 【追加問題2.1】～【追加問題2.2】
「一方だけ漸近線がある場合」
　　⇒ 【追加問題2.1】～【追加問題2.4】
「どちらも漸近線がない場合」
　　⇒ 【追加問題2.3】
があるが，関数が普通の単価関数（１つのxに対して１つのyが対応する関数）である限り「xが正の無限大に発散するときの漸近線が２つ以上になったり」「xが負の無限大に発散するときの漸近線が２つ以上になる」ことはない．

　これに対して，多価関数（１つのxに対して２つ以上のyが対応する関数）では，「xが正の無限大に発散するときの漸近線が２つ以上になったり」「xが負の無限大に発散するときの漸近線が２つ以上になる」ことがある．
　【多価関数の例】

$x^2+ y^2=9$ ↓↑

$y=\sqrt{9-x^2}$ $y=-\sqrt{9-x^2}$

$y^2=4x$ ↓↑

$y=\sqrt{4x}$ $y=-\sqrt{4x}$

$x^2-y^2=1$ ↓↑

$y=\sqrt{x^2-1}$ $y=-\sqrt{x^2-1}$

　上の例から分かるように， $y^2=f(x)$ の形で書かれる関数は，f(x)≧0である限り， $y=\pm\sqrt{f(x)}$ の形に変形できるので，２価関数になります．
　このような２価関数は，１つのxに対して２つのyが対応するので，「xが正の無限大に発散するときの漸近線が２つ以上になったり」「xが負の無限大に発散するときの漸近線が２つ以上になる」ことがある．（上記の双曲線は漸近線が２つある）

(注3)

m, kを求める手順によって，漸近線の方程式が求められることの証明
x→∞のとき，漸近線がy=mx+kになるということから，必要条件で絞り込むと
$\lim_{x\rightarrow \infty}\mid f(x)-mx-k\mid=0$
ならば，両辺をx(≠0)で割っても成り立つはず
$\lim_{x\rightarrow \infty}\mid\frac{f(x)}{x}-m-\frac{k}{x}\mid=0$
さらに
$\lim_{x\rightarrow \infty}\mid\frac{f(x)}{x}-m\mid=0$
そこで
$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=m$
とおく．次に
$\lim_{x\rightarrow \infty}\{f(x)-mx\}=k$
とおくと
$\lim_{x\rightarrow \infty}\{f(x)-mx-k\}=0$
となり
$\lim_{x\rightarrow \infty}\mid f(x)-mx-k\mid=0$
が成り立つから，十分条件も満たされる．
よって，このようにして定めたy=mx+kが漸近線になる．

　次の関数の漸近線を調べてください

【追加問題1】
(1.1) $y=\frac{2x}{x^2+ 2}$
(1.2) $y=\frac{x-3}{(x-1)(x-2)}$
(1.3) $y=\frac{x^2+ x-3}{x-1}$

（解答）

(1.1)
• 分母が0となる実数値xがないから，y軸に平行な漸近線はない
• (分母の次数)＞(分子の次数)で，x→∞のとき，y→0だから，x軸に平行な漸近線はy=0（右図青の破線）
• x軸に平行な漸近線があるから，斜め方向の漸近線はない

(1.2)
• 分母が0となる実数値はx=1, x=2だから，y軸に平行な漸近線は，x=1, x=2（右図赤の破線）
• (分母の次数)＞(分子の次数)で，x→∞のとき，y→0だから，x軸に平行な漸近線はy=0（右図青の破線）
• x軸に平行な漸近線があるから，斜め方向の漸近線はない

(1.3)
• 分母が0となる実数値はx=1だから，y軸に平行な漸近線は，x=1（右図赤の破線）
• $y=x+ 2-\frac{1}{x-1}$ と変形できるから，x→∞のとき，斜め方向の漸近線はy=x+2（右図青の破線）

　次の関数の漸近線を調べてください

【追加問題2】
(2.1) $y=x+\sqrt{x^2+ 1}$
(2.2) $y=\frac{x}{\sqrt{x^2+ 1}}$
(2.3) $y=x+\sqrt{x}$
(2.4) $y=x+\frac{1}{\log x}$

（解答）

(2.1)
• 分母が0となる実数値xがないから，y軸に平行な漸近線はない
• x→∞のとき，漸近線の方程式をy=mx+kとおくと
$m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{y}{x}$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\big{1+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\big}$
=2
$k=\lim_{x\rightarrow\infty}(y-2x)$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\big{\sqrt{x^2+ 1}-x\big}$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\big{\frac{1}{\sqrt{x^2+ 1}+ x}\big}=0$
漸近線の方程式はy=2x（右図青の破線）
x→∞のとき，斜め方向の漸近線があるから，x軸に平行な漸近線はない
• x→−∞のとき，漸近線の方程式をy=mx+kとおくと
$m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{y}{x}$
$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\big{\frac{x+\sqrt{x^2+ 1}}{x}\big}$
$=\lim_{t\rightarrow\infty}\big{\frac{-t+\sqrt{t^2+ 1}}{-t}\big}$
$=\lim_{t\rightarrow\infty}\big{\frac{t-\sqrt{t^2+ 1}}{t}\big}$
$=\lim_{t\rightarrow\infty}\big{1-\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}\big}=0$
$k=\lim_{x\rightarrow-\infty}y=\lim_{x\rightarrow-\infty}(x+\sqrt{x^2+ 1})$
$=\lim_{t\rightarrow\infty}(-t+\sqrt{t^2+ 1})$
$=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{t^2+ 1}+ t}=0$
漸近線の方程式はy=0（右図青の破線）
x→−∞のとき，x軸に平行な漸近線があるから，斜め方向の漸近線はない

(2.2)
• 分母が0となる実数値xがないから，y軸に平行な漸近線はない
• x→∞のとき，漸近線の方程式をy=mx+kとおくと
$m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{y}{x}$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\big{\frac{1}{\sqrt{x^2+ 1}}\big}=0$
$k=\lim_{x\rightarrow\infty}y=\lim_{x\rightarrow\infty}\big{\frac{x}{\sqrt{x^2+ 1}}\big}$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\big{\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\big}=1$
漸近線の方程式はy=1（右図青の破線）
x→∞のとき，x軸に平行な漸近線があるから，斜め方向の漸近線はない
• x→−∞のとき，漸近線の方程式をy=mx+kとおくと
$m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{y}{x}$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\{\frac{1}{\sqrt{x^2+ 1}}\}=0$
$k=\lim_{x\rightarrow\infty}y=\lim_{x\rightarrow-\infty}\{\frac{x}{\sqrt{x^2+ 1}}\}$
$=\lim_{t\rightarrow\infty}\{\frac{-1}{\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}}\}=-1$
漸近線の方程式はy=−1（右図青の破線）
x→−∞のとき，x軸に平行な漸近線があるから，斜め方向の漸近線はない

(2.3)
• 分母が0となる実数値xがないから，y軸に平行な漸近線はない
• x→∞のとき，漸近線の方程式をy=mx+kとおくと
$m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{y}{x}$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\big{1+\frac{1}{\sqrt{x}}\big}=1$
$k=\lim_{x\rightarrow\infty}(y-x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{x}=\infty$
（傾きはm=1に収束するが，切片が発散するので，漸近線はない）

(2.4)
• 定義域はx>0
• $\log 1=0$ であるから，x=1のとき，分母が0になる．
したがって，y軸に平行な漸近線はx=1（右図赤の破線）
• x→∞のとき， $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\log x}=0$ だから，漸近線の方程式はy=x（右図青の破線）
x→∞のとき，斜め方向の漸近線があるから，x軸に平行な漸近線はない

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